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Funzioni. Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di B. L\'insieme di partenza A è il dominio della funzione; l\'insieme di arrivo B il codominio. In simboli, una

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funzioni

Funzioni

Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una

legge che associa a ciascun elemento di A uno e un solo

elemento di B. L\'insieme di partenza A è il dominio della

funzione; l\'insieme di arrivo B il codominio. In simboli, una

funzione f di dominio A e codominio B verrà indicata con

f:A→B. Se la funzione f manda l\'elemento a appartenente ad

A nell\'elemento b appartenente a B, scriveremo b = f(a), e

diremo che b è immagine di a tramite f. L\'insieme degli

elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A è

l\'immagine di f, e viene indicata con Imf oppure con f(A);

f a b b b f a per qualche a a
f(A) = {b Є B | b = f(a) per qualche a Є A}

Oppure in modo più compatto:

f(A) ={f(a) ЄB \ a Є A}

b f a

b = f(a)

Variabile dipendente

Variabile indipendente

Mentre a può esserequalsiasi elemento del dominio e dunque variabile indipendente, l’ elemento b del codominio è determinato univocamente da a e da f e pertanto è la variabile dipendente.

slide4
Esempi:
  • Il lancio di un dado genera sei eventi e se il dado non è truccato tutti hanno la stessa probabilità. La probabilità è un numero tra 0 e 1 . Dunque una prova aleatoria da luogo ad una funzione che associa ad ogni evento un numero reale compreso tra 0 e 1

1/6

Numeri

reali

da 0 a 1

Codominio

Dominio

slide5
Si consideri l’ insieme dei bambini (A) e l’ insieme delle donne (B). Mediante la funzione mamma (f) è possibile associare ad ogni bambino la donna che lo ha generato. Ma se consideriamo come insieme di partenza le mamme e come insieme di arrivo i bambini questa è anch’ essa una funzione ?

?

f:{mamme}→ {bambini}

slide6
L’ andamento della popolazione italiana dall’ unità di Italia ad oggi è una funzione che presenta come dominio gli anni dal 1861 ai giorni nostri e come codominio la popolazione italiana in ciascun anno. Ovviamente questa funzione non è trasformazione algebrica del dominio ma è ottenuta osservando empiricamente la popolazione italiana nel trascorrere degli anni.
slide7

Funzioni suriettive, iniettive e biettive, : dominio A: l\'insieme su cui una funzione è definitacodominio B: l\'insieme di valori che una funzione può assumereimmagine: l\'insieme di valori che una funzione assume, ovvero gli elementi b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=bfunzione suriettiva:quando l\'immagine coincide col codominio, cioè per ogni elemento b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=bfunzione iniettiva: quando elementi distinti del dominio hanno un\'immagine distinta, cioè ogni elemento del codominio corrisponde a un solo o a nessun elemento del dominio.una funzione allo stesso tempo iniettiva e suriettiva è biettivafunzione biettiva: o corrispondenza biunivoca, è una funzione che a ogni elemento del dominio A corrisponde uno e un solo elemento del codominio B, e a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A.

slide8
Funzioni biiettive posseggono l’ inversa:
  • Si considera la seguente funzione biiettiva: f: A→B. Chiameremofunzione inversa:
  • f—1(B) = A
  • Ovvero:
esempi
ESEMPI

SURIETTIVE

  • A={bambini}; B = {mamme} ; ƒ: "essere figlio di"
  • Ogni mamma (per definizione!) lo è di qualche bambino . Un figlio
  • purtroppo può essere orfano di madre ma se si ha una mamma questa è unica,
  • non esiste una mamma che non abbia un figlio (non stiamo qui a precisare le tragedie che possono capitare..).

INIETTIVE

  • A: {donne}; B: {uomini}; ƒ: (in un paese monogamico) “essere sposata con"
  • Ogni uomo (elemento del codominio) può essere sposato con una o nessuna donna (elemento del dominio),
  • non accade mai che due donne (elementi del dominio) siano sposate con lo stesso uomo (elemento del codominio).
  • Ovviamente stiamo parlando di paesi monogami.

BIIETTIVE codice fiscale (fare esempio)

slide10
Gran parte del nostro corso si occuperà di funzioni reali di una variabile reale ovvero di funzioni f con dominio costituito da numeri reali se non da tutti i numeri reali e un codominio costituito dai numeri reali, dunque:

Per queste funzioni è dunque essenziale stabilire i valori che definiscono il dominio della funzione. Il dominio della funzione viene chiamato Campo di Esistenza.

Esempio: la funzione : è definita per tutti i reali ad eccezione di 0.

Dunque il suo Campo di Esistenza è:

La funzione: ha come Campo di Esistenza :

ad