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電腦科學的理論基礎

電腦科學的理論基礎. 空大面授教師 何 秀 蘭. 第一章簡單的數學與邏輯理論. 認識電腦系統. 電腦簡要結構圖. 主記憶體. CPU 中央處理器. 週邊設備. 儲存設備. 程式. 算術運算單元. 邏輯運算單元. 資料. 列印設備. 系統. 網路設備. 資料暫存區. 資料匯流區. 運算理論方法. 建構式証明（ proof by construction ） 矛盾證明法（ proof by contradiction ） 歸納式証明（ proof by induction ） 基礎事實、推演步驟.

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電腦科學的理論基礎

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Presentation Transcript

  1. 電腦科學的理論基礎 空大面授教師 何 秀 蘭

  2. 第一章簡單的數學與邏輯理論 認識電腦系統

  3. 電腦簡要結構圖 主記憶體 CPU 中央處理器 週邊設備 儲存設備 程式 算術運算單元 邏輯運算單元 資料 列印設備 系統 網路設備 資料暫存區 資料匯流區

  4. 運算理論方法 • 建構式証明（proof by construction） • 矛盾證明法（proof by contradiction） • 歸納式証明（proof by induction） 基礎事實、推演步驟

  5. 離散數學 (discrete mathematics) • 代數 • 邏輯 • 組合數學（計數 、圖型理論 ） • 圖論 • 有限狀態機 • 運算性 (computability) • 演算法分析

  6. ∩ ∩ ∩ ∩ 認識「數」 (numbers) P N Z Q R 正整數的集合 （不含0） 正整數的集合 （包含0） 所有整數集合 有理數集合 實數集合 P={n：n是一個正整數} N={n：n是一個自然數} Z={n：n是一個整數} Q={a/b：a與b為整數，b=0} R={x：x是一個實數}

  7. 2補述表示負數的方式

  8. 數學基礎 • 集合 (set) • 函數 (function) • 關聯 (relation) • 序列 (sequence)

  9. 集合 (sets) • 一群物件的組合 • 成員都是該集合的成員（元素 element） • 集合中沒有重複的成員 • 集合元素可以用波浪括弧框起來

  10. Power set p (s) • 一個集合的所有子集合所形成的集合 • S為集合，用 p (s)表示 • 假如 s有 n個元素，則 p（s）有2n個元素

  11. 集合的運算 • 聯集（union）A∪B • 交集（intersection）A∩B • 相對互補（relative complement）A\B • 對稱差（symmetric difference）A⊕B • A⊕ B =（A∪B）\ （A∩B）=(A\B) ∪(B\A)

  12. 集合相關的定律

  13. 關聯(relation) 二元關聯的定義： S與T為集合，從 S到T的二元關聯(binary relation) 是SxT的子集合，以R來表示。所以R是由有序數對(ordered pairs)組成的集合，有序數對可以用(S，t)來表示。

  14. 函數（functions） • 運算式 • 含有變數 • 變數的值會決定函數的值 • 函數代表某種對應，存在於變數與函數的輸出值之間

  15. 函數的結合 u T S g € f g(f(X)) X f(X) g o f (g o f )(x)=g (f (x)) ，x€s

  16. F (x) = 3x-4，g (y)=2y+5，則 g o f (x) 與 f o g (x)為何? g o f (x)=g (f (x)) =2(3x-4)+5 =6x-3 f o g(y)=f (g (y)) =3(2y+5)-4 =6y+11

  17. 函數特性 • 1對多 • 1對1 • 1對1(每各均都對應到) • 多對1，不是函數

  18. 序列（sequences） • 函數可以看成一種序列 • 序列中變數很適合用下標表示 • 序列表示法： • 加總： =1+4+9+…..+400 • 階乘 ：n!=1x2x3x4x…x n • =Π K 20 N=1 n N-1

  19. 邏輯理論 • 表達論述(arguments) • 區分有效的或無效的 • 發展出嚴謹的証明 • 探討命題（propostions）之間邏輯關係 • 命題可能是真（true）或是偽（false）

  20. 命題邏輯（propositional logic） • 命題演算 • 發展正式規則，用來分析與處理命題 • 看成一種命題代數 • 快速算出命題真值 • 命題可能是真（true）或是偽（false）

  21. 命題邏輯連接符號表示法 • ﹁：代表not 或否定 • ：代表and • ：代表 or • ：代表暗示，有條件推論 • ：代表若且唯若 • ⊕ ：代表 or（exclusive）

  22. 真假值

  23. 第二章問題的表示與解決方法 • 解決問題方法 • 數學歸納法 • 遞迴 • 計數

  24. 資料結構 • 資料結構是資料的表示法 • 資料結構簡化解決問題程序 • 資料結構離不開演算法 • 演算法是解決問題方法 • 經由演算法分析後，可以某種程式語言撰寫演算法所代表程式資 • 必須以適當資料結構來描述問題中抽象或具體事實

  25. 資料結構分類 • 基本資料型式（整數、浮點數、字串、布林值 ) • 系統內定或使用者自訂的資料型態 • 抽象資料型式

  26. 資料結構表示方法 • 代數（c=5/9*（f-32） • 表格式 • 資料流程圖（DFD） • 控制流程圖

  27. 資料流程圖（Data Flow Diagram） 資料流 • DFD偏重 於資料被處理方式與順序 • 描述演算表功能 • 說明資料操作之間交換資料 • ( x+y+a)*( a+b*c) • 請参閱p42 圖2-5 輸出 功能 輸入

  28. 控制流程圖（CFD） • 控制流程與資料流程是演算法一體兩面 • 說明各功能是如何達成 false 條件 操作 true

  29. 解決問題 資料結構、演算法、程式語言之關係 資料 結構 演算法 程式 具體化

  30. 資料結構內涵 資料結構的用途 演算法 功能定義 程式語言 儲存結構 演算法

  31. 字典 • 儲存成對資料 • 成對值的序列或樹 • 集合（set） • 關聯 （relations) ：有序對的集合 • 映射 (mapping) ：集合之間特殊的關聯

  32. 映射與關聯的差異 有效關聯但不是有效的映射 有效關聯也是有效的映射

  33. 解決問題的方法 • 解決問題要先了解問題 • 解決問題的方法不只一種 • 解決問題時需要分析思考 • 理論根基可幫助有系統的分析思考

  34. CRC • CRC 內涵 類別、責任、合作 • 物件導向分析方法 • 是用小型開發群組 • 配合漸進式軟體開發程序

  35. 第三章布林代數 • 一個含有0與1的集合B，兩個二元運算元 • 「 」or 與 「 」and • 一個單元運算元，及「-」或「ˋ」

  36. 基本的定理

  37. x y x .y x y x + y x x’ • 0 0 0 • 0 1 0 • 1 0 0 • 1 1 1 • 0 0 0 • 0 1 1 • 1 0 1 • 1 1 1 • 0 1 • 1 0 二值布耳代數 • 定義在一個二元素集合上，即 B={0，1}

  38. 布耳代數的基本定義與性質 • 基本定理

  39. 布耳函數 • 布耳函數即由二進位變數，OR、AND兩個二進位運算元，及單一運算子NOT，括弧，以及一各等號所組成表示式。 • 可以藉由代數運算而加以簡化 • 例： • x + x’y=(x + x’)(x + y)=1*(x + y)=x + y • x(x’ + y)=xx’ + xy =0 + xy =xy

  40. Boolean expression E=(x v y z') (y z)' 真值表

  41. X Y X Y X Y X Y X Y x 基本電路元件（gates） 邏輯電路設計

  42. X Y Z W (X y)’ v z v (x z’ w)

  43. 成本考量得到最適合設計 • 是布林代數venn diagram 與真假值混合 卡諾圖( karnaugh maps)

  44. 尋找 optimal desing 的步驟如下: 1.依據所描述的函數+號放入卡諾圖中 2.劃分區域: (1)畫出8個方塊有涵蓋有+號的地方,假如8個方塊都有 +號,則Boolean function為1 (2)畫出4個方塊有涵蓋+號但之前沒有被涵蓋的地方 (3)畫出2個方塊來涵蓋有+號但之前沒有被涵蓋的地方 (4)畫出剩下有+號但之前沒有被涵蓋的地方 3.選擇一組畫出來的區域: (1)整體上要包括所有含有+號的地方 (2)越少方塊越好 4.使越少literals越好

  45. Y’z Yz Yz’ Y’z’ Y’z Yz Yz’ Y’z’ x + + x + + + x’ + + x’ Xyz’ v x’ y’ x Y’z Y’z Yz Yz’ Y’z’ Yz Yz’ Y’z’ x + + x + + + + + + x’ x’ + Z’ x’ y’ v z

  46. Y’z Yz’ Y’z’ Y’z Yz Yz’ Y’z’ + x + + + x + + + x’ + + + x’ + + + X v y v z’ Y v xz’ v x’z

  47. 第四章 認識數理邏輯(predicate calculus) • 也稱為數理演算，跟命題演算不太一樣。 • 邏輯程式設計與人工智慧，主要是以數理演算為基礎的。 • 數理邏輯 (predicate calculus)導入量詞(quantifiers)的使用。 • 量詞(quantifiers) ：所有量詞 • 存在量詞 • 運算子（OPERATOR）： A E V V ﹂

  48. 多重量詞用法 • 同時使用 與 的情況，必須注意量詞出現順序 • 例： P(X，Y)=「X是Y的上司」 • X P(X，Y)意思是所有的人都是Y的上司 • Y P(X，Y) 意思是X是所有的人的上司 • Y P(X，Y) 意思是X是某人所有的上司 • X P(X，Y) 意思是某人是Y的上司 A E A A E E

  49. 認識命題演算(propositional calculus) • 命題演算使用的命題符號(propositional symbols)是英文的大寫字母 • 命題符號用來表示命題 • 有關於現實世界的敘述，可能為真(true)或偽(false)， • 這些符號用來組成句子(sentences)，合法的句子(legal sentences)也稱為WFFs (well-formed formulas)。

  50. 數理演算特點來自量詞(quantifier)的導入 • 能處理述詞以及述詞中的成員，推理出其他的句子 • 可以從語法(syntax)與語意(semantics)上來認識數理演算 • 數理演算中的符號包括真值符號(truth symbols)、常數符號(constant symbols)、變數符號(variable symbols)與函數符號(function symbols)， • 數理演算很像一種邏輯程式語言(logic programming language)。 認識數理演算(predicate calculus)

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