Ecuaciones
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Ecuaciones diferenciales. 5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Objetivo El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución. Ecuaciones diferenciales parciales.

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Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones

diferenciales

5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

Objetivo

El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución


Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

parciales

  • Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

  • Tipos de EDP homogéneas con coeficientes constantes

  • Solución de una EDP

  • EDP clásicas

  • Obtención de una EDP a partir de una solución dada


Ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial parcial lineal

de segundo orden

  • Los coeficientes A, B, C, D, E, F son constantes o dependen sólo de las variables independientes

  • El término G es constante o depende sólo de las variables independientes

  • La función u(x,y) y todas sus derivadas tienen potencia 1


Ecuaciones diferenciales

Tipos de EDP lineales homogéneas con coeficientes constantes

  • Tipo de EDP Condición

  • Hiperbólica

  • Parabólica

  • Elíptica


Ecuaciones diferenciales

Solución de una EDP

  • Es una función de dos o más variables independientes

  • Satisface a la EDP en alguna región dada

  • El número de variables independientes en la solución depende de las dimensiones del problema

  • El número de funciones arbitrarias presentes en la solución indica el orden de la EDP

La forma de la solución de una EDP para el caso unidimensional puede ser de dos formas:


Ecuaciones diferenciales

Solución completa de una EDP

Son las soluciones que contienen el mismo número de funciones arbitrarias que de variables independientes en una EDP

Solución general de una EDP

Es una solución que contiene un número de funciones arbitrarias igual al orden de la EDP


Ecuaciones diferenciales

EDP clásicas:

  • Ecuación de calor

  • Ecuación de onda

  • Ecuación de Laplace


Ecuaciones diferenciales

T

f(x)

x

Problema de difusión de calor

k es la conductividad térmica del material

Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera


Ecuaciones diferenciales

Ley de enfriamiento de Newton:

Modelo matemático:

M

t0

T ≠ M

t

M es la temperatura constante del medio

T es la temperatura de un objeto

t es el tiempo

Problema que resuelve:

¿En cuánto tiempo el cuerpo inmerso adquiere la temperatura del medio?

M

tf = ?

T = M


Ecuaciones diferenciales

w0

Suelo compresible, Cv

DH = ?

H

Consolidación unidimensional de los suelos

Cv es el coeficiente de consolidación del suelo

El modelo predice la distribución de presión de poro en el suelo


Ecuaciones diferenciales

Problema de la cuerda vibrante

v es la velocidad de propagación de la onda

http://www.math.ubc.ca/~feldman/demos/demo6c.html


Ecuaciones diferenciales

Propagación de ondas sísmicas

Movimiento de salida

(respuesta)

Estrato de suelo, v

Roca

Movimiento de entrada

(sismo)


Ecuaciones diferenciales

Ecuación de Laplace

Este modelo se presenta en problemas independientes del tiempo relacionados con potenciales electrostáticos, gravitacionales y con la velocidad en mecánica de fluidos. También puede interpretarse como una distribución de temperatura de estado estable:


Ecuaciones diferenciales

Flujo bidimensional de agua en medios porosos

kx, ky son las permeabilidades del suelo en las direcciones x, y respectivamente

El modelo calcula el potencial hidráulico (cabeza de agua) en la región de interés


Ecuaciones diferenciales

Soluciones gráficas de la ecuación de Laplace para distintas condiciones de frontera: redes de flujo


Ecuaciones diferenciales

Obtención de una EDP a partir de una solución dada

  • La EDP se obtiene mediante el proceso de eliminación de funciones arbitrarias:

  • Identificar el orden de la EDP

  • Derivar parcialmente de acuerdo con este orden

  • Sumar algebraicamente aquellas derivadas que se anulen


Ecuaciones diferenciales

Ejercicios

Obtengas las EDPs a partir de las soluciones siguientes

1

2

3


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