11.3 角的平分线的性质

11.3 角的平分线的性质 木桥小学刘万成

尺规作图：平分已知角 ＭＣＯＮ已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线作法： A １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．Ｂ３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

O A B 你能把一个平角平分吗？平分平角∠AOB，得到∠AOB的平分线OC以后，把它反向延长得到直线 CD，直线CD与直线AB是什么关系？ C D

在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 题设：结论：一个点在一个角的平分线上它到角的两边的距离相等 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E ∴ PD＝PE

1.已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D。求证：OC=OD；证明：（1）∵P是∠AOB角平分线上的一点， PC⊥OA， PD⊥OB ，垂足分别为C、D。 ∴＝（）在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL) ∴OC=OD（） 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，若BD=2DE=6cm，则BC= 。 PC PD 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等全等三角形对应边相等 9cm

3.如图：∠C=90°，AM平分∠CAB，BM=25cm，CM=20cm，那么点M到AB的距离是cm。3.如图：∠C=90°，AM平分∠CAB，BM=25cm，CM=20cm，那么点M到AB的距离是cm。 20 E

例．如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等 变式练习：如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,若DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：EB=CF.

证明： ∵点O在∠平分线BAC的上，OD⊥AC，OE⊥AB ∴ OD＝OE （角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∴ ∠BEO＝∠CDO＝900 （垂直定义）在△BEO和△CDO中 ∠BEO＝∠CDO OD＝OE ；； ∠EOB＝∠DOC（对顶角相等） ∴△BEO≌△CDO（ASA） ∴OB＝OC（全等三角形对应边相等）例，如图：已知，点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC， CO⊥AB，垂足分别是点D、E 求证：OB＝OC 分析： OB＝OC 全等三角形对应边相等 △BEO≌△CDO “ASA”公理 ∠BEO＝∠CDO＝900 ∠EOB＝∠DOC （对顶角相等） OD＝OE 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等垂直的定义点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB

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