Signali i sustavi
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 58

Signali i sustavi PowerPoint PPT Presentation


  • 66 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Signali i sustavi. AUDITORNE VJEŽBE 9. LS&S FER-ZESOI. x ( t ). x ( t ). t. t. diskretizacija amplitude. x ( t ). x ( t ). t. t. diskretizacija vremena (vrem. diskretni signal). diskretizacija vremena i amplitude (digitalni signal). Diskretni signali. u ( t 0 ). u ( t 2 ).

Download Presentation

Signali i sustavi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Signali i sustavi

Signali i sustavi

AUDITORNE VJEŽBE 9

LS&S

FER-ZESOI


Diskretni signali

x(t)

x(t)

t

t

diskretizacija amplitude

x(t)

x(t)

t

t

diskretizacija vremena

(vrem. diskretni signal)

diskretizacija vremena i

amplitude (digitalni signal)

Diskretni signali


Diskretni signali1

u(t0)

u(t2)

u(t–2)

u(t–3)

u(t3)

t–1

t1

u(t4)

tk

t0

t–3

t–2

t2

t3

t4

u(t–1)

u(t1)

Diskretni signali

  • Uobičajena interpretacija diskretnog signala:

    {u(tk) | kÎ Z}.

  • Ako govorimo o vremenskim signalima, nezavisnu varijablu možemo označiti sa tk.

  • Nezavisna varijabla poprima diskretne vrijednosti.

  • Primjer diskretnog signala:


Diskretni signali2

Diskretni signali

  • Diskretni signal je definiran samo u diskretnim trenucima tk.

  • Korisno je interpretirati ga kao niz brojeva.... u(t–2), u(t–1), u(t0), u(t1), u(t2), poredanih kako to određuje nezavisna varijabla.

  • Često diskretni signali nastaju otipkavanjem kontinuiranih signala.

  • Trenutna vrijednost diskretnog signala u u(tk) naziva se uzorkom signala u trenutku tk.

  • U primjeru radilo se o diskretnom signalu čiji uzorci nisu ekvidistantno raspodijeljeni na osi tk.


Diskretni signali3

Diskretni signali

  • Radi jednostavnosti, obično se koriste signali čiji su uzorci ekvidistantni.

  • Tada diskretni signal označavamo sa u(k) umjesto u(tk).

  • Varijablu k obično nazivamo diskretna vremenska varijabla.

  • Čest je naziv i varijabla koraka, pa se kaže da je u(k) vrijednost diskretnog signala u koraku k.


Diskretni signali4

Diskretni signali

  • Primjer ekvidistantnog diskretnog signala:

u(t0)

u(t2)

u(t–2)

u(t–3)

u(t3)

t–1

t1

u(t4)

tk

t0

t–3

t–2

t2

t3

t4

u(t–1)

u(t1)


Diskretni signali5

Diskretni signali

  • Ovaj niz možemo prikazati i nizom brojeva:

    ...

    u(–3) = 1

    u(–2) = 2

    u(–1) = –0,5

    u(0) = 2,5

    u(1) = –1,5

    u(2) = 2

    u(3) = 1

    u(4) = 0,5

    ...

  • odnosno:

  • { u(k) } = { ..., 1, 2, –0.5, 2.5, –1.5, 2, 1, 0.5, ... }

Uočimo konvenciju:

uzorak k=0 potcrtamo!


Elementarni diskretni signali

d(k)

1

k

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Elementarni diskretni signali

Jedinični impuls

  • Diskretni niz Kroneckerov delta ili jedinični impuls definira se kao:


Elementarni diskretni signali1

s(k)

1

k

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Elementarni diskretni signali

Jedinična stepenica

  • Ovaj diskretni signal definira se kao:


Elementarni diskretni signali2

r(k)

4

3

2

1

k

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Elementarni diskretni signali

Jedinična kosina

  • Definira se kao:


Diskretna jedini na stepenica i kosina kao rezultat otipkavanja kontinuirane stepenice i kosine

Diskretna jedinična stepenica i kosina kao rezultat otipkavanja kontinuirane stepenice i kosine

  • Kontinuirana jedinična stepenica i kosina definirane su kao:


Diskretni signali kao rezultat otipkavanja

u(kT)

u(t)

Diskretni signali kao rezultat otipkavanja

  • Nezavisna varijabla t poprima vrijednosti iz R.

  • Diskretizaciju signala postižemo otipkavanjem tj. definiranjem signala u trenucima t = kT.

  • Pretpostavljeno je uniformno otipkavanje:

    • T je vremenski razmak između uzoraka,

    • k ÎZ.

  • Model postupka otipkavanja može se prikazati slikom:


Jedini na stepenica kao rezultat otipkavanja

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja

  • Polazimo od kontinuirane jedinične stepenice s(t).

  • Otipkamo je - tj. promatramo vrijednosti s(t) samo u diskretnim trenucima t = kT.


Jedini na stepenica kao rezultat otipkavanja1

s(t)

1

t

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

s(kT)

T = 1s

1

kT

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

s(kT)

T = 0,25s

kT

–8

–4

0

1

2

3

4

8

12

16

20

24

28

32

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja

  • Slijedeće slike prikazuju otipkavanje kontinuirane stepenice za različite vrijednosti perioda T:


Jedini na stepenica kao rezultat otipkavanja2

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja

mjerna jedinica:

sekunde

s(t)

1

t

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

s(kT)

T = 1s

1

kT

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

s(kT)

T = 0,25s

kT

–8

–4

0

1

2

3

4

8

12

16

20

24

28

32


Jedini na stepenica kao rezultat otipkavanja3

nisu više

sekunde!

s(k)

1

k

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja

  • Radi jednostavnijeg opisivanja diskretnih signala, izostavljamo T, te se umjesto u(kT) pišemo samo u(k).

  • Diskretne nizove crtamo prikazujući u(k) kao funkciju uzoraka k, a ne kao u(kT).


Jedini na stepenica kao rezultat otipkavanja4

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja

  • Bez obzira na odabrani T niz s(k) možemo prikazati i na slijedeće načine:

  • {s(k)} = { ..., 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, ... }, ili:

  • Naravno, želimo li ove signale prikazati u stvarnoj vremenskoj skali, treba uzeti u obzir vrijednost T(period otipkavanja).


Jedini na kosina kao rezultat otipkavanja

tj.

r(t)

4

3

2

1

t

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja

  • Slično se može razmatrati i otipkavanje jedinične kosine, za t = kT slijedi:


Jedini na kosina kao rezultat otipkavanja1

r(k)

4

3

T=1

2

Ista kosina r(t)

otipkana različitim

periodom rezultira

različitim nizom

brojeva!

1

k

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

r(k)

4

T=2

2

k

–2

–1

0

1

2

Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja


Diskretna kompleksna eksponencijala

z

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale

  • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala:

  • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw.

  • Otipkamo x(t) u trenucima t = kT:


Diskretna kompleksna eksponencijala1

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale

  • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala:

  • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw.

  • Otipkamo x(t) u trenucima t = kT:

z


Diskretna kompleksna eksponencijala2

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale

  • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala:

  • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw.

  • Otipkamo x(t) u trenucima t = kT:

z


Diskretna kompleksna eksponencijala3

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Dobiveni niz brojeva x(k)=zk je diskretna kompleksna eksponencijala.

  • Uočimo da je x(kT) zamijenjeno s x(k), vodeći računa da je razmak među uzorcima jednak T sekundi.

  • Radi lakšeg i preglednijeg pisanja esTzamijenjeno je sa z.

  • Oblik diskretne eksponencijale određen je položajem kompleksne frekvencije z u Z ravnini. Ovo ćemo kasnije ilustrirati primjerima.


Diskretna kompleksna eksponencijala4

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:


Diskretna kompleksna eksponencijala5

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:

s = s + jw


Diskretna kompleksna eksponencijala6

Ovi izrazi definiraju vezu svakog s i svakog z -

tj. preslikavanje S ravnineu Z ravninu

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:


Diskretna kompleksna eksponencijala7

jw

Z

S

s

Diskretna kompleksna eksponencijala

Nacrtajmo S i Z ravninu.


Diskretna kompleksna eksponencijala8

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Kontinuirana eksponencijala ejwT periodična je sa 2p/T - ucrtajmo pojaseve širine 2p/T u ravnini S.

  • Svaki od pojasa preslikava se na cijelu ravninu Z (q = wt napravi “puni krug”) !

jw

3p/T

Z

S

p/T

s

-p/T

2p/T

-3p/T


Diskretna kompleksna eksponencijala9

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Lijeva poluravnina preslikava se unutar jedinične kružnice u ravnini z, a desna poluravnina izvan.

jw

3p/T

Z

S

p/T

s

1

-p/T

2p/T

-3p/T


Diskretna kompleksna eksponencijala10

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Točke x i y u S ravnini preslikavaju se u istu točku u Z ravnini.

  • Znači da postoji više različitih kontinuiranih eksponencijala koje otipkavanjem daju isti diskretni niz!

jw

3p/T

Z

S

y

r

x

p/T

q

s

x

1

-p/T

2p/T

-3p/T


Diskretna kompleksna eksponencijala11

Z

z1 = r1e jq = 0,7

z1

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Primjeri kompleksne diskretne eksponencijale: (napomena: u svim primjerima pretpostavlja se da je T=1).

    1. Primjer


Diskretna kompleksna eksponencijala12

x1(k)

1

k

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Za zadani z1 diskretna eksponencijala je oblika: x1(k) = z1k = r1k = 0,7k.

  • Ovu eksponencijalu moguće je prikazati kao niz brojeva:

  • {x1(k)} = {..., 0, 1, 0.7, 0.49, 0.343, 0.24, 0.168, 0.118, 0.082, ...}

  • Grafički:


Diskretna kompleksna eksponencijala13

Þ

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna.


Diskretna kompleksna eksponencijala14

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna.

Þ


Diskretna kompleksna eksponencijala15

jw

S

s

-0,35667

i konačno:

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna.

Þ


Diskretna kompleksna eksponencijala16

Z

z2

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Odgovarajuća diskretnaeksponencijala je oblika:

  • x2(k)= z2k

  • = (0,7ejp)k = 0,7kejpk

  • x2(k)= 0,7k cos pk

  • = 0,7k (–1)k = (–0,7)k

z2 = 0,7ejp

2. Primjer


Diskretna kompleksna eksponencijala17

x2(k)

1

1

3

5

7

k

0

2

4

6

8

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • odnosno:

  • {x2(k)} = {1, –0.7, 0.49, –0.343, 0.24, -0.168, ...}


Diskretna kompleksna eksponencijala18

Diskretna kompleksna eksponencijala

3. Primjer

  • z3 = e±jp/6

  • U ovom je slučajudiskretna eksponencijalaoblika:

Z

p/6

z3

z3*


Diskretna kompleksna eksponencijala19

Diskretna kompleksna eksponencijala

3. Primjer

  • z3 = e±jp/6

  • U ovom je slučajudiskretna eksponencijalaoblika:

Z

p/6

z3

z3*


Diskretna kompleksna eksponencijala20

Diskretna kompleksna eksponencijala

3. Primjer

  • z3 = e±jp/6

  • U ovom je slučajudiskretna eksponencijalaoblika:

Z

p/6

z3

z3*


Diskretna kompleksna eksponencijala21

x3(k)

1

k

0

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Ista eksponencijala kao niz brojeva:

  • {x3(k)} = {1, 0.866, 0.5, 0, –0.5, –0.866, –1, –0.866, –0.5, 0, 0.5, ...}

  • Radi se o diskretnoj kosinusoidi koja je nastala otipkavanjem kontinuirane svakih p/6 radijana.


Diskretna kompleksna eksponencijala22

x4(k)

1

7

5

3

k

1

0

2

4

6

8

–1

Diskretna kompleksna eksponencijala

4. Primjer

  • x4(k) = z4k = ejpk =

    = cos pk = (–1)k

  • Iovdje se radi o diskretnojkosinusoidi, a periodotipkavanja je p radijana

  • x4(k) = {1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ...}

z4 = ejp

Z

z4


Diskretna kompleksna eksponencijala23

x5(k)

1

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Diskretna kompleksna eksponencijala

5. Primjer

  • x5(k) = z5k = 1k = cos 2pk

  • Diskretna eksponencijalaprelazi u jediničnustepenicu nastaluotipkavanjem kosinusnefunkcije s periodomotipkavanja 2p radijana.

  • x5(k) = {1, 1, 1, ...}

z5 = 1

Z

z5


Diskretna kompleksna eksponencijala24

Diskretna kompleksna eksponencijala

6. Primjer

  • z6 = 0,8e±jp/6

Z

p/6

z6

z6*


Diskretna kompleksna eksponencijala25

Diskretna kompleksna eksponencijala

6. Primjer

  • z6 = 0,8e±jp/6

Z

p/6

z6

z6*


Diskretna kompleksna eksponencijala26

Diskretna kompleksna eksponencijala

6. Primjer

  • z6 = 0,8e±jp/6

Z

p/6

z6

z6*


Diskretna kompleksna eksponencijala27

Diskretna kompleksna eksponencijala

6. Primjer

  • z6 = 0,8e±jp/6

Z

p/6

z6

z6*


Diskretna kompleksna eksponencijala28

Diskretna kompleksna eksponencijala

6. Primjer

  • z6 = 0,8e±jp/6

Z

p/6

z6

z6*

x6(k) = {1, 0.6928, 0.32, 0, –0.2048, –0.284, –0.262,

–0.18, 0.083, ...}


Diskretna kompleksna eksponencijala29

Diskretna kompleksna eksponencijala

  • Grafički:

x3(k)

1

k

0


Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava

u(k)

+

y(k)

v(k)

Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava

  • Zbroj nizova:

  • {y(k)} = {u(k)} + {v(k)}

  • Opći član: y(k) = u(k) + v(k)

  • Element koji obavlja ovu operaciju zove se zbrajalo. Shematski prikaz:


Operacije i elementi

u(k)

×

y(k)

v(k)

Operacije i elementi

  • Produkt nizova:

  • {y(k)} = {u(k)} × {v(k)}

  • Opći član: y(k) = u(k) ×v(k) za svaki kÎZ

  • Shematski prikaz:


Operacije i elementi1

y(k)

a

u(k)

Operacije i elementi

  • Množenje s konstantom:

  • {y(k)} = a × {u(k)} = {a ×u(k)}

  • Opći član: y(k) = a ×u(k)


Operacije s pam enjem memorijske operacije

u(k)

u(k+1)

E

OPERACIJE S PAMĆENJEM (memorijske operacije)

  • OPERATOR POMAKA E( pomak unaprijed - predikcija )

  • Definira se kao:

  • E[ { u(k) } ] = { u(k +1) }

  • Blok dijagram :


Operacije s pam enjem nastavak

u(k)

u(k-1)

E-1

Operacije s pamćenjem, nastavak ...

  • OPERATOR POMAKA E-1(pomak unazad, kašnjenje ili pamćenje )

  • Definira se kao:

  • E-1 [ { u(k) } ] = { u(k -1) }

  • Blok dijagram


Primjeri upotrebe operatora e i e 1

Primjeri upotrebe operatora E i E-1

  • a) y1(k) = E[ d(k) ] = d(k+1)

y1(k)

1

-1

1

2

3

k


Primjeri upotrebe operatora e i e 11

Primjeri upotrebe operatora E i E-1

  • b) y2(k) = E-1 [ d(k) ] = d(k-1)

y2(k)

1

-1

1

2

3

k


Primjeri upotrebe operatora e i e 12

Primjeri upotrebe operatora E i E-1

  • c) y3(k) = E-1 [ s(k) ] = s(k-1)

y3(k)

1

...

-1

1

2

3

k


Primjeri upotrebe operatora e i e 13

y4(k)

1

...

1

2

3

k

Primjeri upotrebe operatora E i E-1

  • d) y4(k) = E-3 [ s(k) ]

  • = E-1{ E-1[ E-1(s(k)) ] }

  • = s(k-3)


  • Login