Modele zmienno ci aktyw w
Download
1 / 29

Modele zmienności aktywów - PowerPoint PPT Presentation


  • 109 Views
  • Uploaded on

Modele zmienności aktywów. Model multiplikatywny Parametry siatki dwumianowej. Model multiplikatywny zmienności aktywów. Rekurencyjny model multiplikatywny: S(0)=S 0 , S(k+1) = S(k) u(k) , k=1,2,… C ena aktyw a w chwili k dana jest więc wzorem

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Modele zmienności aktywów' - kamal


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Modele zmienno ci aktyw w

Modele zmienności aktywów

Model multiplikatywny

Parametry siatki dwumianowej


Model multiplikatywny zmienno ci aktyw w
Model multiplikatywny zmienności aktywów

Rekurencyjny model multiplikatywny:

S(0)=S0, S(k+1) = S(k) u(k), k=1,2,…

Cena aktywa w chwili k dana jest więc wzorem

(1) S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).

Po zlogarytmowaniu obu stron

(2)


Model multiplikatywny
Model multiplikatywny

Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać:

(3)E[ln S(k)] = lnS(0) +μk,

(4) var[lnS(k)] = k σ2.

Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.


Model multiplikatywny stopy zwrotu
Model multiplikatywny Stopy zwrotu

  • Równość (3) można zapisać w postaci

    E[ln S(k)] – E[lnS(0)] = μk

    E[ln (S(k)/S(0))] = μk , lub też

    (5) E [S(k)/S(0)]=eμk

    gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X))

    μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie przy kapitalizacji ciągłej

    Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))], n=1,…,k

    S(n+1)/S(n) = [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1

    ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} =

    =(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – stopa zwrotu w jednym etapie przy kapitalizacji okresowej; korzystamy z rozwinięcia


Model multiplikatywny stopy zwrotu1
Model multiplikatywny Stopy zwrotu

E {ln[S(n+1)/S(n)]}= E[w(n)] = μ

μ - oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie

Z definicji modelu

E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i)

Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.


Model multiplikatywny1
Model multiplikatywny

  • Bezpośrednio ee związku

  • Otrzymujemy logarytm z ilorazu

    (6)

  • Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)


Rozk ad logarytmiczno normalny
Rozkład logarytmiczno – normalny

  • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX)

  • DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i oznaczamy Λ(μ,σ)

  • (X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym)

  • FX – dystrybuanta zmiennej X


Rozk ad logarytmiczno normalny1
Rozkład logarytmiczno – normalny

  • Zatem

  • Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu zmiennej X

  • (7)


Rozk ad logarytmiczno normalny2
Rozkład logarytmiczno – normalny

  • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY

  • Wtedy

  • Mk = exp (μk + 0,5 σ2 k2)

    Mk – k-ty moment rozkładu logarytmiczno-normalnego

    a stąd

    EX = exp (μ+ 0,5 σ2)

  • War X =E(X2)-(E(X))2 =exp (2μ+ 2σ2) - exp (2μ+ σ2)=

    = exp (2μ+ 2σ2) [ exp ( σ2) –1]


Model multiplikatywny dwumianowy
Model multiplikatywny, dwumianowy

  • Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może spaść lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli

  • (10)

    przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p

    a druga z (1-p)


Drzewo cen w m odel u multiplikatywny m dwumianowym siatka dwumianowa cen 4 etapy s cena pocz tkowa
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym - Siatka dwumianowa cen (4 etapy, S – cena początkowa)


Ceny ko cowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym n etapowym
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym

Ze wzoru S(n) = u(n-1)u(n-2)…u(0)S(0) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać

S(0) ukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.

Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną S(0)ukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.


Ceny ko cowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym n etapowym1
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym

  • Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi

  • pk (1-p)n-k

    Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Sukdn-k wynosi


Przyk ad model dwumianowy cena ko cowa akcji po 304 etapach
Przykład Model dwumianowy. n-etapowym Cena końcowa akcji po 304 etapach


Parametry siatki dwumianowej sformu owanie problemu
Parametry siatki dwumianowej Sformułowanie problemu n-etapowym

Dana jest roczna oczekiwana stopa zwrotu z akcji uwzględniająca kapitalizację ciągłą :

  • E[ln(ST /S0)] = 

  • - gdzie ST oznacza cenę akcji po roku

    oraz wariancja logarytmu ze zmiennej (ST /S0)

  • War [ln(ST /S0)] = 2

    Ile powinny wynosić przy tych danych parametry siatki zmienności, czyli wielkości u,p, w jednym etapie, jeżeli w ciągu roku wystąpi n etapów oraz u =1/d ?


Parametry siatki dwumianowej
Parametry siatki dwumianowej n-etapowym

  • Zakładamy, że zmienne losowe

  • k=1,2,…,n są niezależne, wzrost następuje z prawdopodobieństwem p.

  • Zmienne losowe

  • k=1,2,…,n są także niezależne, co wynika bezpośrednio z definicji niezależności zmiennych losowych


Parametry siatki dwumianowej1
Parametry siatki dwumianowej n-etapowym

  • Ogólne równania modelu:


Parametry siatki dwumianowej s i oznacza cen akcji po i tym etapie
Parametry siatki dwumianowej n-etapowymSi oznacza cenę akcji po i-tym etapie


Parametry siatki dwumianowej2
Parametry siatki dwumianowej n-etapowym

  • Ze związku ( c ) wynika, że po n etapach w omawianym modelu

  • E(ln(Sn/S0))=n ,

  • co jest równoważne równościom

  • E(Sn /S0)=en, E(Sn)= S0 en

  • Jeżeli dodatkowo założymy, że S1=1, to otrzymujemy

    E(lnSn)=n, E(Sn)=en

  • Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia U,D, t

  • (11)


Parametry siatki dwumianowej3
Parametry siatki dwumianowej n-etapowym

  • Wariancja. Z niezależności zmiennych ln(u(k)), wynika, że




Parametry siatki dwumianowej6
Parametry siatki dwumianowej n-etapowym

  • Ostatecznie otrzymujemy następujące parametry siatki dwumianowej

  •  = E[ln(ST/S0)], ST – cena po roku

  • 2 - roczna wariancja zmiennej ln(ST/S0)

  • t – czas trwania jednego etapu (ułamek roku)


Interpretacja parametr w 2
Interpretacja parametrów n-etapowym,2

  •  = E[ln(ST/S0)],

     = ln(E[(ST/S0)])

    E[(ST/S0)])=e

    E(ST) = S0 e , gdyż S0 jest stałą

  • Parametr  jest więc roczną oczekiwaną stopą zwrotu, zakładając kapitalizację ciągłą, tzw. logarytmiczną stopę zwrotu

  • Jeżeli S0 = 1,

  • to  = E[ln(ST)]. Stąd E(ST) = e

  • War [ln(ST /S0)] =War [ln(ST)] = 2

  • 2 – jest wtedy wariancją z logarytmu ceny po roku, czyli miarą zmienności rocznej ceny akcji


Literatura
Literatura n-etapowym

  • Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger

  • Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997

  • Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie

    J. Hull Warszawa 1997

  • Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008

  • Rynkowe instrumenty finansowe

    A. Sopoćko PWN 2005


ad