Proyecto fin de carrera
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PROYECTO FIN DE CARRERA. Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería Autor: Francisco Cordovilla Baró Junio 2009. Nudo (espacial). Diagrama (plano). Nudos y Diagramas. Implicaciones sistemas dinámicos, geometría algebraica, grupos cuánticos,

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PROYECTO FIN DE CARRERA

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Proyecto fin de carrera

PROYECTO FIN DE CARRERA

  • Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería

  • Autor: Francisco Cordovilla Baró

  • Junio 2009


Nudos y diagramas

Nudo

(espacial)

Diagrama

(plano)

Nudos y Diagramas

  • Implicaciones

  • sistemas dinámicos,

  • geometría algebraica,

  • grupos cuánticos,

  • física teórica,

  • etc.


Proyecto fin de carrera

Problema de clasificación: ¿cuándo dos diagramas representan el mismo nudo?

=


Soluci n matem tica teor a de invariantes

L =

‹ › = – A –5 – A3 + A7

ancho ‹ › = 7 – (–5) = 12

Solución matemática: teoría de invariantes

  • Polinomio de Jones (Medalla Field en 1990).

VL(t) = t –4 + t –3– t –1

  • Corchete de Kauffman (1987).


Estados de un diagrama

A

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

B

A

B

B

A

B

B

A

B

B

Estados de un diagrama

Un estado s de un diagrama D es un etiquetado de cada uno de los cruces de D mediante una letra A ó B.

Losocho estados posibles del Trébol


Estados como instrucci n para suavizar el diagrama

Estados como instrucción para suavizar el diagrama

Cada etiqueta A ó B es una instrucción para suavizar el cruce correspondiente.

B

A

B

A


Estados extremos y n mero de c rculos

A

B

A

B

A

B

Estados extremos y número de círculos

Número de círculos de D = |sAD| + |sBD|

|sAD| = 3

|sBD| = 2

|sAD| + |sBD| = 3 + 2 = 5


El ancho del corchete de kauffman

Número de círculos

El ancho del corchete de Kauffman

Es conocida la siguiente cota superior del ancho de <D>:

  • ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Para diagramas alternantes el número de círculos es n + 2 y por tanto ancho (<D>)  4n.

El proyecto estudia esta cota para diagramas casi-alternantes y 2-casi-alternantes, analizando el número de círculos.


Diagramas alternantes y k casi alternantes

Diagrama alternante

Diagrama

2-casi-alternante

Diagrama

casi-alternante

Cruce desalternador

Diagramas alternantes y k-casi-alternantes


Teorema sobre diagramas 2 casi alternantes

Teorema sobre diagramas 2-casi-alternantes

  • Sea D un diagrama conexo, reducido, fuertemente primo con n cruces.

  • Supongamos que D es 2-casi-alternante.

  • Sean c1 y c2 sus desalternadores.

  • Sea r el número de regiones que colindan simultáneamente con c1 y c2.

  • Se verifica entonces que r ≤ 3 y se tienen las siguientes igualdades:

  • Si r = 0, 1 o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de igual color,

    |sAD| + |sBD| = n - 2 .

  • Si r = 3, o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de distinto color,

    |sAD| + |sBD| = n.


Ejemplo con r 3 n 9

|sAD| = 3

|sBD| = 6

Ejemplo con r = 3, n = 9

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 3 + 6 = 9 = n.


Ejemplo con r 2 mismo color n 10

|sBD| = 3

|sAD| = 7

Ejemplo con r = 2, mismo color, n = 10

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 7 + 3 = 10 = n.


Ejemplo con r 2 distinto color n 8

|sAD| = 1

|sBD| = 5

Ejemplo con r = 2, distinto color, n = 8

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 1 + 5 = 6 = n - 2.


Ancho del corchete y diagramas adecuados

Ancho del corchete y diagramas adecuados

  • <D> = amAm + ... + aMAM

  • Se conocen las siguientes fórmulas:

  • M = n + 2|sAD| - 2

  • m = - n – 2|sBD| + 2

  • Por tanto

  • ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

  • Si los hipotéticos coeficientes extremos am y aM no se anulan, entonces se tiene una igualdad en la fórmula anterior. ¿Cuándo ocurre esto?

  • Por ejemplo, en el caso de los llamados diagramas adecuados.


Grafos convertibles

D

Grafos convertibles

  • Partiendo del estado extremo sA de un diagrama D, se construye un grafo GDA

GDA

=

sAD

Los grafos obtenidos por este procedimiento, o sea, los grafos de tipo GDA son llamados grafos convertibles.

El proyecto contiene un anexo en donde se abunda en la caracterización de este tipo de grafos.


Independencia promedio de grafos

r

aM =  I(GDA)

am =  I(GDB)

Independencia promedio de grafos

Todo grafo G lleva asociado un número entero I(G), llamado independencia promedio.

Gr (r hexágonos)

I(Gr) = r + 1

La independencia promedio del grafo vacío es 1.

Teorema (Morton-Bae)


Diagramas adecuados y grafos convertibles

Alternante

+

Reducido

GAD= Ø

GBD= Ø

I(GDA) = 1

I(GDB) = 1

aM =  1

am = 1

Diagramas adecuados y grafos convertibles

  • Adecuado

Luego para los diagramas adecuados

ancho (<D>) = 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4


Aplicaciones basadas en la teor a de trenzas

Trenza (espacial)

Clausura del diagrama

Diagrama (plano)

Aplicaciones basadas en la teoría de trenzas

Aplicaciones

Bioquímica, criptografía, robótica, mecánica de fluidos, etc.


Mec nica de fluidos homogeneizaci n

Mecánica de fluidos: homogeneización

  • Mezclar homogéneamente dos fluidos

  • Distribuir homogéneamente una propiedad en un único fluido


C mo mezclan fluidos las trenzas

¿Cómo mezclan fluidos las trenzas ?

El hilo de líquido rosa se mezcla con el líquido azul siguiendo una trenza.


Hay trenzas buenas y trenzas malas

Hay trenzas buenas y trenzas malas

Trenza periódica

σ1 σ2 σ3 σ2

No mezcla bien.

Trenza pseudo-Anosov

σ1 σ2-1 σ3 σ2-1

Sí mezcla bien.

La entropía topológica mide si las trenzas mezclan bien o mal.


El mezclador plateado

El mezclador plateado

Mecanismo para el mezclado de fluidos


Vgas en una planta industrial

VGAs en una planta industrial

Se trata de diseñar sistemas de control para los VGAs que cumplan las siguientes tres especificaciones:

1. Los VGAs no deben colisionar con los obstáculos.

2. Los VGAs no deben colisionar entre si.

3. Los VGAs deben ser capaces de completar su trabajo con eficiencia, en relación a determinados parámetros.


Desplazamiento de vgas siguiendo una trenza

B

A

A

B

A

B

B

A

Desplazamiento de VGAs siguiendo una trenza

Una trenza contiene la información del posible movimiento simultáneo de varios VGAs, tantos como cuerdas tenga la trenza.


Proyecto fin de carrera

Espacios de configuración

El tiempo es la variable z según la cual se desarrolla la trenza.


Fin muchas gracias

FINMUCHAS GRACIAS


Demostraci n del caso r 1

D

D*

Demostración del caso r = 1

Ya que D* es alternante y conexo sabemos que |sAD*| + |sBD*| = n + 2

Se prueba que :

|sAD| = |sAD*| - 2

|sBD| = |sBD*| - 2

de modo que:

|sAD| + |sBD| = (n + 2) – 4 = n – 2.


Caso r 1 continuaci n

D*

D

sAD

sAD*

sAD

sAD*

Caso r = 1 (continuación)

|sAD| = |sAD*| - 2


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