Proyecto fin de carrera
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PROYECTO FIN DE CARRERA. Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería Autor: Francisco Cordovilla Baró Junio 2009. Nudo (espacial). Diagrama (plano). Nudos y Diagramas. Implicaciones sistemas dinámicos, geometría algebraica, grupos cuánticos,

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Proyecto fin de carrera
PROYECTO FIN DE CARRERA

  • Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería

  • Autor: Francisco Cordovilla Baró

  • Junio 2009


Nudos y diagramas

Nudo

(espacial)

Diagrama

(plano)

Nudos y Diagramas

  • Implicaciones

  • sistemas dinámicos,

  • geometría algebraica,

  • grupos cuánticos,

  • física teórica,

  • etc.



Soluci n matem tica teor a de invariantes

L = representan el mismo nudo?

‹ › = – A –5 – A3 + A7

ancho ‹ › = 7 – (–5) = 12

Solución matemática: teoría de invariantes

  • Polinomio de Jones (Medalla Field en 1990).

VL(t) = t –4 + t –3– t –1

  • Corchete de Kauffman (1987).


Estados de un diagrama

A representan el mismo nudo?

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

B

A

B

B

A

B

B

A

B

B

Estados de un diagrama

Un estado s de un diagrama D es un etiquetado de cada uno de los cruces de D mediante una letra A ó B.

Losocho estados posibles del Trébol


Estados como instrucci n para suavizar el diagrama
Estados como instrucción para suavizar el diagrama representan el mismo nudo?

Cada etiqueta A ó B es una instrucción para suavizar el cruce correspondiente.

B

A

B

A


Estados extremos y n mero de c rculos

A representan el mismo nudo?

B

A

B

A

B

Estados extremos y número de círculos

Número de círculos de D = |sAD| + |sBD|

|sAD| = 3

|sBD| = 2

|sAD| + |sBD| = 3 + 2 = 5


El ancho del corchete de kauffman

Número de círculos representan el mismo nudo?

El ancho del corchete de Kauffman

Es conocida la siguiente cota superior del ancho de <D>:

  • ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Para diagramas alternantes el número de círculos es n + 2 y por tanto ancho (<D>)  4n.

El proyecto estudia esta cota para diagramas casi-alternantes y 2-casi-alternantes, analizando el número de círculos.


Diagramas alternantes y k casi alternantes

Diagrama alternante representan el mismo nudo?

Diagrama

2-casi-alternante

Diagrama

casi-alternante

Cruce desalternador

Diagramas alternantes y k-casi-alternantes


Teorema sobre diagramas 2 casi alternantes
Teorema sobre diagramas 2-casi-alternantes representan el mismo nudo?

  • Sea D un diagrama conexo, reducido, fuertemente primo con n cruces.

  • Supongamos que D es 2-casi-alternante.

  • Sean c1 y c2 sus desalternadores.

  • Sea r el número de regiones que colindan simultáneamente con c1 y c2.

  • Se verifica entonces que r ≤ 3 y se tienen las siguientes igualdades:

  • Si r = 0, 1 o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de igual color,

    |sAD| + |sBD| = n - 2 .

  • Si r = 3, o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de distinto color,

    |sAD| + |sBD| = n.


Ejemplo con r 3 n 9

|s representan el mismo nudo?AD| = 3

|sBD| = 6

Ejemplo con r = 3, n = 9

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 3 + 6 = 9 = n.


Ejemplo con r 2 mismo color n 10

|s representan el mismo nudo?BD| = 3

|sAD| = 7

Ejemplo con r = 2, mismo color, n = 10

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 7 + 3 = 10 = n.


Ejemplo con r 2 distinto color n 8

|s representan el mismo nudo?AD| = 1

|sBD| = 5

Ejemplo con r = 2, distinto color, n = 8

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 1 + 5 = 6 = n - 2.


Ancho del corchete y diagramas adecuados
Ancho del corchete y diagramas adecuados representan el mismo nudo?

  • <D> = amAm + ... + aMAM

  • Se conocen las siguientes fórmulas:

  • M = n + 2|sAD| - 2

  • m = - n – 2|sBD| + 2

  • Por tanto

  • ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

  • Si los hipotéticos coeficientes extremos am y aM no se anulan, entonces se tiene una igualdad en la fórmula anterior. ¿Cuándo ocurre esto?

  • Por ejemplo, en el caso de los llamados diagramas adecuados.


Grafos convertibles

D representan el mismo nudo?

Grafos convertibles

  • Partiendo del estado extremo sA de un diagrama D, se construye un grafo GDA

GDA

=

sAD

Los grafos obtenidos por este procedimiento, o sea, los grafos de tipo GDA son llamados grafos convertibles.

El proyecto contiene un anexo en donde se abunda en la caracterización de este tipo de grafos.


Independencia promedio de grafos

r representan el mismo nudo?

aM =  I(GDA)

am =  I(GDB)

Independencia promedio de grafos

Todo grafo G lleva asociado un número entero I(G), llamado independencia promedio.

Gr (r hexágonos)

I(Gr) = r + 1

La independencia promedio del grafo vacío es 1.

Teorema (Morton-Bae)


Diagramas adecuados y grafos convertibles

Alternante representan el mismo nudo?

+

Reducido

GAD= Ø

GBD= Ø

I(GDA) = 1

I(GDB) = 1

aM =  1

am = 1

Diagramas adecuados y grafos convertibles

  • Adecuado

Luego para los diagramas adecuados

ancho (<D>) = 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4


Aplicaciones basadas en la teor a de trenzas

Trenza (espacial) representan el mismo nudo?

Clausura del diagrama

Diagrama (plano)

Aplicaciones basadas en la teoría de trenzas

Aplicaciones

Bioquímica, criptografía, robótica, mecánica de fluidos, etc.


Mec nica de fluidos homogeneizaci n
Mecánica de fluidos: homogeneización representan el mismo nudo?

  • Mezclar homogéneamente dos fluidos

  • Distribuir homogéneamente una propiedad en un único fluido


C mo mezclan fluidos las trenzas
¿Cómo mezclan fluidos las trenzas ? representan el mismo nudo?

El hilo de líquido rosa se mezcla con el líquido azul siguiendo una trenza.


Hay trenzas buenas y trenzas malas
Hay trenzas buenas y trenzas malas representan el mismo nudo?

Trenza periódica

σ1 σ2 σ3 σ2

No mezcla bien.

Trenza pseudo-Anosov

σ1 σ2-1 σ3 σ2-1

Sí mezcla bien.

La entropía topológica mide si las trenzas mezclan bien o mal.


El mezclador plateado
El mezclador plateado representan el mismo nudo?

Mecanismo para el mezclado de fluidos


Vgas en una planta industrial
VGAs en una planta industrial representan el mismo nudo?

Se trata de diseñar sistemas de control para los VGAs que cumplan las siguientes tres especificaciones:

1. Los VGAs no deben colisionar con los obstáculos.

2. Los VGAs no deben colisionar entre si.

3. Los VGAs deben ser capaces de completar su trabajo con eficiencia, en relación a determinados parámetros.


Desplazamiento de vgas siguiendo una trenza

B representan el mismo nudo?

A

A

B

A

B

B

A

Desplazamiento de VGAs siguiendo una trenza

Una trenza contiene la información del posible movimiento simultáneo de varios VGAs, tantos como cuerdas tenga la trenza.


Espacios de configuración representan el mismo nudo?

El tiempo es la variable z según la cual se desarrolla la trenza.


Fin muchas gracias

FIN representan el mismo nudo?MUCHAS GRACIAS


Demostraci n del caso r 1

D representan el mismo nudo?

D*

Demostración del caso r = 1

Ya que D* es alternante y conexo sabemos que |sAD*| + |sBD*| = n + 2

Se prueba que :

|sAD| = |sAD*| - 2

|sBD| = |sBD*| - 2

de modo que:

|sAD| + |sBD| = (n + 2) – 4 = n – 2.


Caso r 1 continuaci n

D* representan el mismo nudo?

D

sAD

sAD*

sAD

sAD*

Caso r = 1 (continuación)

|sAD| = |sAD*| - 2


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