政治大學財政所與東亞所選修
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政治大學財政所與東亞所選修 課程名稱:應用計量分析 -- 中國財政研究 授課老師:黃智聰 授課內容: 簡單線性迴歸模型:報告結果 與選擇函數型式 參考書目: Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics . New York: John Wiley & Sons 日期: 2012 年 4 月 23 日. 簡單線性迴歸模型. Y t = β 1 + β 2 X t +e t e t ~N(0,1) 兩個分析模型的理由:

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政治大學財政所與東亞所選修

課程名稱:應用計量分析--中國財政研究

授課老師:黃智聰

授課內容:

簡單線性迴歸模型:報告結果

與選擇函數型式

參考書目:Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons

日期:2012年4月23日

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰


簡單線性迴歸模型

Yt = β1+ β2Xt+et et ~N(0,1)

兩個分析模型的理由:

  • 解釋應變數 (yt) 會如何隨著自變數 (xt ) 的改變而改變。

  • 在x0已知下預測y0。

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總平方和 (SST) 可解釋的平方和 (SSR) 誤差平方和 (SSE)

SST = SSR + SSE

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R2= 判定係數

0 <R2 < 1越接近1越好

若R2 = 1:表示迴歸模型「完全地」配合這份資料。

R2 = 0:表示y與 x的樣本資料並不相關,而且未

顯示任何的線性關係,則最小平方配適

線為「水平的」。

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  • : R2 是一個敘述性的衡量值。它本身並不能衡量迴歸模型的品質,只著重將R2最大化的迴歸決策並非好方法。

  • 解釋: R2=0.32 表示 Y的變異中有 32% 可以用X的變異來解釋,或是說迴歸模型可以解釋 32% Y的變異,剩下 68%的變異無法解釋。

  • 這樣的R2看起來很低嗎?

    不,在使用橫斷面資料的迴歸研究,以不同時點觀察同一個體或其他經濟行為的樣本時,是很具有代表性的。

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簡單線性迴歸的相關分析

(1)r2 = R2, r = Cov(X,Y) /

  =

舉例來證明r2=R2

(2) R2=(Yt, )的相關係數=

舉例來證明r2 =

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報告迴歸結果

= 40.7676 + 0.1283 Xt R2 = 0.317

(22.1387) (0.0305) (s.e)

= 40.7676 + 0.1283 Xt R2 = 0.317

(1.84) (4.20) (t)

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選擇函數形式

  • 簡單線性迴歸模型指的是參數不會相乘、相除、平方、立方等。

  • 滿足SR1 SR5 簡單線性迴歸模型

  • 轉換(Transformation)

    (1)變數間的線性關係 : β2= 斜率(slope)

    (2)倒數(Reciprocal):

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給定一個模型,使其誤差項具有下列性質:

1.E(et)=0

2.      Var (et)=σ2

3.      Cov(ei,ej)=0

4. et~N(0, σ2)

  • 運用其他函數形式來進行迴歸分析。

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選擇函數形式:實證議題

技術的改變

  • 1.散佈(plot)

  • 2.模型 Yt=β1+β2 Xt+et

  • 3.估計

  • 4.預測

  • 5.殘差分佈 → 檢查是否為常態分配?

時間

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  • 其他形式

  • Yt=β1+β2Xt3+et Zt3=Xt3/1000000

  • =0.874+9.68 Zt3 R2=0.751

    R2↑

  • Notice : 殘差模式也有許多其他的不足之處,例如有被忽略的變數,異質變異性(heteroskedasticity),自我相關 (autocorrelation)

    錯誤建立迴歸模型。

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殘差為常態分配嗎?

1.平均值→0

2.傑古貝拉檢定(Jarque-Bera test for normality),用來檢定常態性。

Ho: 常態,H1:非常態

若 P>α

無法拒絕虛無假設

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JB

JB =

T: 觀察值的個數

S: 偏態(skewness)

k: 峰態( kurtosis)

Ex:

T=40,S=0.396920,K=2.874151

  • JB=1.077

    JB ﹤5.99 = 22, 0.05

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Ho:常態分配(Normal distribution)

JB < 常態分配

包含截距項的係數個數

JB> 拒絕常態分配

P<0.05 拒絕 Ho

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複迴歸模型

  • y=1+ 2X+3Z理論模型

  • 解釋 β1 , β2 , β3

    Model:

    y=E(y)+et= 1+ 2X+3Z +et

  • 假設:

    (1) E(et)=0 (2) Var(et)=σ2

    (3) Cov(et,es)=0 (4) et~N(0, σ2)

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最小平方估計式的變異數與共變數

  • (1) σ2 Var(b2) 越不精確

  • (2)T Var(b2) 越精確

  • (3)Var(X2 ) Var(b2) 越精確

  • (4)Cov(X2 , X3 ) Var(b2) 越不精確

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誤差為常態分配之最小平方估計式的性質

*

K:未知係數項的個數

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SSE

衡量配適度

SST

  • R2 =1-(SSE/SST)

  • R2的一個難題

    R2的難題是若加入越來越多的變數,會變的很大,即使這些加入的變數在理論上不具任何適當性。

  • 若模型中包含 T-1 個變數,則 R2 =1

  • R2=1-

  • 其中,T代表觀察數目

    K代表變數個數

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  • R2(調整後R2) 的使用:

    * 優點:

    當變數增加時R2並不會一直上升。

    * 缺點:

    (1)失去原有的解釋,即R2不再是被解釋的變異百分比。

    (2)此修正後的R2有時會被誤用為選擇一組適當的解釋變數之方法。

    (3)若模型未包含截距項,則衡量的R2就不適合了。

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複迴歸模型的進一步推論

  • 受限制的最小平方

  • 單一參數 t 檢定

  • 聯合虛無假設 F 檢定

  • F檢定的基礎是在於比較原始且未受限制之複迴歸模型的誤差平方和,以及認為虛無假設為真時的迴歸模型之誤差平方和 。

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  • :

    y=α0 +α1 X1 +α2 X2+ α3 X3 + e

    H0: α2 = α3 = 0

    即 y= α0 +α1 X1 + e

    F=

    F≧ F(J,T-K, α)拒絕虛無假設

    P=P﹝F(2,96) ≧F﹞<0.05 拒絕虛無假設

J=2

T=觀察值個數(100)

K=4

SSER-SSEu/J

SSEu/(T-K)

2, 96, 0.05

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注意若模型為 :

y= β0 + β1 X1 + β2X22+ e

=2β2X2隱含 X2對每個y有不

同程度的影響

=β1 X1 對於所有的 y的影響都相同

dy

dX2

dy

dX1

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  • 其他例子

    y= β0 + β1 X1 + β2X2+ e

    H0: β1=β2

    H1: β1β2

    y= β0 + β1 (X1 + X2)+ e

    F test F(1,T-3, α)

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模型設定

  • 模型選擇的三個重要要素 :

    (1)函數形式的選擇

    (2)選擇包含的解釋變數(迴歸式)的模型。

    (3)複迴歸模型的假設MR1-MR6是否成立。

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1. 遺漏以及不相關的變數

  • 例:y= β0 + β1 X1 + β2X2+ e

  • 假設我們漏了X2 ,以下列式子進行迴歸分析:

  • y= β0 +β1*X1 + e

  • 若 Cov(X1 ,X2) 0 則 β1*  β1

  • 我們得到非常強的虛無假設,β2=0。

  • 然而, Cov(X1 ,X2)=0 的情形非常少見

  • E(b1*)=β1+β2

Cov(X1, X2)

Var(X1)

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  • 1.P(必須注意,有兩種可能的原因,不拒絕虛無假設的結果。無法拒絕 H0│虛無假設為真)

    Accept H0 => 不顯著係數

  • 2.P(無法拒絕 H0│虛無假設不為真)

  • 如果因為不顯著就去除此變數,要小心喔!

  • 我們可能會排除一個不相關的變數,但也可能造成剩餘的係數估計值會產生遺漏變數的偏誤。

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  • 所以 ,儘可能在模型中納入最多的變數必須注意,有兩種可能的原因,不拒絕虛無假設的結果。?

    Y=β0+β1X1+β2X2+e <= true model --------- (1)

  • 但是估計

    Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+e --------- (2)

  • Var (b1),Var (b2),Var (b3)在 (2)式中 比在 (1)式中來的大。

  • 若X3與X2,X1相關,但是理論上X3不影響Y。

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2. 必須注意,有兩種可能的原因,不拒絕虛無假設的結果。檢定模型是否設定錯誤: RESET 檢定

  • 是否設定錯誤可用下列問題瞭解:

    (1) 是否遺漏重要變數?

    (2) 是否納入重要變數?

    (3) 是否選擇錯誤的函數形式?

    (4) 是否違背假設?

  • RESET檢定(Regression Specification Error Test)

  • RESET的用意是發現遺漏的變數,以及不正確的函數形式。

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  • 假設必須注意,有兩種可能的原因,不拒絕虛無假設的結果。:

  • Y=β0+β1X1+β2X2+e

  • =b0+b1X1+b2X2

  • Y=β0+β1X1+β2X2+r1 2+e -------- (1)

  • Y=β0+β1X1+β2X2+r1 2+ r2 3+e -------- (2)

  • (1) 檢定 H0: r1=0 H1: r1≠0

  • (2) 檢定 H0: r1= r2=0 H1: r1≠0 或 r2≠0

  • 拒絕H0表示原始的模型不適當,且可以改進。

  • 無法拒絕H0表示此檢定沒有發現任何設定錯誤的情況。

  • 只能告訴模型不好,不能告訴模型是好的。

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