Vektorer

1. Vektorer Gjenfinningssystemer og verktøy II Jon Anjer

2. Punkter i planet P = (3, 2) Punkter i planet angis ved koordinater i et aksekors, der vi har en x-akse (vannrett) og en y-akse (loddrett) P

3. Avstand mellom punkter i planet Q c b Avstand mellom punkter i planet regnes ut ved hjelp av Pytagoras setning a P

4. Avstand mellom P og Q Vi har to punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) Da blir: a = q1 - p1 = 5 - 1 = 4 b = q2 - p2 = 4 - 1 = 3 Q = (5, 4) c b P = (1, 1) a

5. Punkter i rommet Punkter i det tredimensjonale rommet angis ved koordinater langs en x–akse (vannrett), en y–akse (loddrett), og en z–akse på tvers av disse to: P = (p1, p2, p3) Tilsvarende defineres punkter i flerdimensjonale rom. Her er det vanskelig å forestille seg rommet: P = (p1, p2, p3, ...., pn)

6. Avstand mellom P og Q Hvis vi har to punkter i planet P = (p1, p2) og Q = (q1, q2), blir avstanden mellom dem: Generelt: Hvis vi har to punkter P = (p1, p2, ... pn) og Q = (q1, q2, ... qn) , blir avstanden mellom dem:

7. Hva er en vektor? En vektor er et linjestykke med retning Lengden og retningen bestemmer vektoren, slik at to vektorer med samme retning og lengde regnes som like:

8. Hva brukes vektorer til? • I fysikken • fart (den har størrelse og retning) • akselerasjon (størrelse og retning) • I bibliotekfag • dokumenter (angivelse av indekstermer, med vekting) • søkespørsmål (angivelse av indekstermer, med vekting)

9. Vektor i planet(samme vektor) Q P Origo

10. Uttrykke vektorer Vektorer har ingen éntydig plassering, men vektoren som starter i origo, er standardplasseringen. Vektorer skrives vanligvis med en pil over, og uttrykkes ved koordinatene til punktet der den ender, hvis den starter i origo:

11. Lengden av en vektor regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a, b] starter i origo og går til punktet (a, b). Som vi så tidligere blir lengden Eksempel, der [a, b] = [4, 3]: Lengden av en vektor i planet (a, b) c b a (0, 0)

12. I en rettvinklet trekant er sinus til en vinkel forholdet mellom motstående katet og hypotenusen cosinus til en vinkel forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen Trigonometriske funksjoner c b a v

13. Inverse eller motsatte funksjoner har den egenskapen at dersom funksjonsverdien er gitt, kan man finne argumentet. Eksempel: Hvis vi vet at cosinus til en vinkel er 0,5 kan vi finne vinkelen som cos-1 0,5 Inverse funksjoner c b a v

14. Inverse funksjoner To inverse funksjoner opphever hverandre. Eksempler: Gange med 2, dele på 2 Legge til 4, trekke fra 4 Finne cosinus til vinkel, finne vinkel når cosinus er gitt Trekke ut kvadratrot, opphøye i andre potens

15. Kalkulator Det er nødvendig med kalkulator somhar cos-1 Kalkulatoren på nettet har dette (ligger under felles programmer, tilbehør)

16. Kalkulator Kalkulatoren regner ut funksjonen cos-1 slik: Skriv inn cosinus-verdien Klikk på boksen foran ”Inv” Klikk på cos cos -1 0,5 = 60°

17. Lengden av en vektor i det tredimensjonale rommet regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a1, a2, a3] starter i origo og går til punktet (a1, a2, a3). Lengden blir: Tilsvarende for flere dimensjoner: Lengden av en vektor i rommet

18. Tegnet  er en stor gresk S, Sigma, og betyr at man skal summere. F.eks. betyr ” a” summen av alle aktuelle a-er. For å gjøre det helt klart hvilke ”a-er” som skal summeres, vises det eksplisitt. Uttrykket nedenfor leses ”Summen av ai fra og med i er lik 1 til og med n” Det generelle tegnet for summering

19. Summere vektorer:Starte med den første, fortsette med neste

20. Subtrahere vektorer:Starte med den første, fortsette med neste i motsatt retning

21. Summere vektorer Vektorer summeres ved å legge sammen koordinatene: Eksempel: Tilsvarende legges koordinatene sammen ved summering av vektorer i flere dimensjoner

22. Multiplisere vektorer med tall:Vektor som har samme retning, men lengden avgjøres av tallet

23. Multiplisere vektorer med tall Vektorer multipliseres med tall ved å multiplisere tallet med hver av koordinatene: Eksempel:

24. Multiplisere to vektorer med hverandre Vektorer multipliseres med hverandre ved å multiplisere samsvarende koordinater med hverandre og summere Eksempel:

25. Skalarprodukt Resultatet når vi multipliserer samsvarende koordinater med hverandre og summerer, kalles skalarprodukt Nytt eksempel:

26. Vinkelen mellom to vektorerSammenheng mellom lengder, skalarprodukt og vinkel: v

27. Vinkelen mellom to vektorerEksempel v

28. Vinkelen mellom to vektorerEksempel (forts) v

29. Dokumentvektorer og søkevektorer I bibliotekfag brukes særlig vektor-typene • dokumentvektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting) • søkevektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting) Hver av koordinatene angir om indekstermen er aktuell for vedkommende dokument/søkespørsmål Ved vekting angis vekten (evt. negativ vekt i søkevektor), men det vanligste er å angi forekomst av indekstermen med 1, ikke forekomst med 0

30. Dokumenter og termer La oss anta at vi har en database der disse termene er brukt • Sauer Term 1 • Geiter Term 2 • Fôring Term 3 • Norge Term 4 • Sykdommer Term 5 Dette gir dokumentvektorene: • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] • Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1] • Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0] • Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1] • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0]

31. Likhet mellom dokumenter og termer I databasen finnes disse termene: • Sauer, Geiter, Fôring, Norge, Sykdommer Dessuten dokumenter (med tilhørende dokumentvektorer) • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] (dokument 1) • Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1] (dokument 2) • Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0] (dokument 3) • Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1] (dokument 4) • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5) La oss søke etter dokumenter om fôring av geiter. Dette gir søkevektoren: [0, 1, 1, 0, 0] Skalarproduktet mellom søkevektor og dokumentvektorene blir: Dokument 1: [0, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2 (i både dokument- og søkevektor) Dokument 2: [1, 1, 0, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1 Dokument 3: [1, 0, 0, 1, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 0 Dokument 4: [1, 0, 1, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1 Dokument 5: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2

32. Likhet mellom dokumenter og termer Skalarproduktet gir likhet mellom dokumentvektor og søkevektor i form av hvor mye de har felles Vi kan også regne vinkelen mellom vektorene, og de gir et bilde av forskjellene (termer som finnes i den ene, men ikke i den andre) La oss se på dokumentvektoren for • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5) Søkevektoren dekker: • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] Lengden av søkevektoren Lengden av dokumentvektoren Skalarproduktet har vi regnet ut som: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2 Vinkelen blir: