บทที่ 1

1. บทที่ 1 ตรรกศาสตร์

2. ภาพรวมเนื้อหา • ประพจน์ และ ค่าความจริงของประพจน์ • ตัวดำเนินการตรรกะ • NOT • AND , OR , XOR • ถ้า...แล้ว • ก็ต่อเมื่อ • การสมมูลกันของประพจน์

3. ตรรกศาสตร์ (Logic) • เป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยการศึกษาวิธีการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลอย่างมีระบบ • ถูกคิดค้นโดยนักปรัชญาชาวกรีก ชื่อ Aristotle • ตรรกศาสตร์สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวาง เช่น • ออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิตอล • แสดงเงื่อนไขในโปรแกรม • สอบถามข้อมูลในฐานข้อมูล และ โปรแกรมค้นหา (search engines)

4. การให้เหตุผล • ในการให้เหตุผลจะต้องใช้ภาษาที่สื่อความหมายได้ชัดเจน ไม่คลุมเครือ • ประโยคทุกประเภทสามารถใช้ในการให้เหตุผลได้หรือไม่ ??? • เราเรียกประโยคที่มีลักษณะนี้ว่า “ประพจน์” • เรียกค่าความเป็นจริงหรือเท็จของประพจน์ว่า “ค่าความจริงของประพจน์” ไม่ ประโยคที่สามารถใช้ในการให้เหตุผลได้ จะเป็นประโยคที่สามารถตัดสินได้ทันทีว่า ประโยคนั้นเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

5. ตัวอย่างของประโยคที่เป็นประพจน์ตัวอย่างของประโยคที่เป็นประพจน์ สังเกตว่าประโยคที่เป็นประพจน์จะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ

6. ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์

7. แบบฝึกหัดที่ 1 จากตัวอย่างประโยคที่กำหนดให้ เป็นประพจน์หรือไม่ และถ้าเป็นประพจน์ค่าความจริงของประพจน์ดังกล่าวคืออะไร • แมวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม • เดือนมกราคมมี 29 วัน • 3 เป็นจำนวนเฉพาะ • ช่วยกันรักษาความสะอาด • แมงมุมมีกี่ขา • อุ๊ย.. ว๊ายต๊าย ตาย!!! • 4 + 8 > 6 • อย่าบอกลากันอีกเลย • ฉันอยากไปดูหนัง T F T ไม่เป็น ไม่เป็น ไม่เป็น T ไม่เป็น ไม่เป็น

8. ค่าความจริงของประพจน์ค่าความจริงของประพจน์ • โดยปกติ ค่าความจริงที่เป็นไปได้ของ 1 ประพจน์ เป็นไปได้ 2 ค่า คือ จริง กับ เท็จ • หากมีการเชื่อมประพจน์ย่อย หลายๆประพจน์เข้าด้วยกัน การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์จะต้องพิจารณาค่าที่เป็นไปได้ในทุกกรณีของแต่ละประพจน์ย่อย • การคำนวณกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ ทำได้ดังนี้ • ถ้ามี 1 ประพจน์ จะมีกรณีที่เป็นไปได้ 2 กรณี (2^1 = 2) • ถ้ามี 2 ประพจน์ จะมีกรณีที่เป็นไปได้ 4 กรณี (2^2 = 4) • ถ้ามี nประพจน์ จะมีกรณีที่เป็นไปได้ 2^nกรณี

9. ตัวดำเนินการ/ตัวเชื่อม (Operators/Connectives) • ในชีวิตจริง เราไม่ได้ใช้ประพจน์เดี่ยวๆ เรามักจะใช้คำเหล่านี้ “และ” “หรือ” “ซึ่ง” “ถ้า” “แต่” “ที่” “เมื่อ” เพื่อช่วยเชื่อมประพจน์ให้สื่อความหมายได้ซับซ้อนมากขึ้น • คำเหล่านี้เราเรียกว่า “ตัวดำเนินการทางตรรกะ” โดยแต่ละตัวมีความหมายที่แตกต่างกัน • ประเภทของตัวดำเนินการ (operators) • Unary operators ใช้กับตัวถูกดำเนินการเพียงตัวเดียว หรือ ประพจน์เพียงประพจน์เดียว • Not • Binary operators ใช้กับตัวถูกดำเนินการสองตัว หรือ ใช้เชื่อมสองประพจน์เข้าเป็นประโยคเดียว • AND • OR • XOR

10. ตัวดำเนินการทางตรรกะ (Boolean Operators) • ตัวดำเนินการทางตรรกะที่จะศึกษาในบทนี้ มีดังนี้

11. ตัวดำเนินการ “นิเสธ” (Negation operator) • ตัวดำเนินการ “นิเสธ” ถูกใช้สำหรับสร้างประโยคที่เป็นปฏิเสธ • สมมุติให้ P คือประพจน์ • โครงสร้างของตัวดำเนินการ “นิเสธ” คือ Not P • สังเกตว่า ตัวดำเนินการ “นิเสธ” ใช้เชื่อมประพจน์ย่อยเพียง 1 ประพจน์ • เราเรียกตัวดำเนินการรูปแบบนี้ว่า Unary operators

12. ตารางค่าความจริง • ตารางค่าความจริงของประพจน์ P สามารถเขียนได้ดังนี้ • ตัวดำเนินการ “นิเสธ” ทำหน้าที่เปลี่ยนค่าความจริง ให้เป็นในทางตรงกันข้าม • เช่น • ถ้าประพจน์ P มีค่าความจริงเป็น จริง • “นิเสธ” ของ P มีค่าความจริงเป็น เท็จ

13. ตัวอย่าง ตัวดำเนินการ“นิเสธ” • ให้ R แทนประพจน์ “17 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ” • P แทน ประพจน์ย่อย “17 เป็นจำนวนเฉพาะ” • ดังนั้น R แทน Not P • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R จะพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ P • ประพจน์ P มีค่าความจริงเป็น • ดังนั้น ประพจน์ R มีค่าความจริงเป็น เท็จ • จริง

14. การเขียนตัวดำเนินการ“นิเสธ” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “นิเสธ” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ~ • ตัวอย่างเช่น นิเสธ p สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น ~p

15. ตัวดำเนินการ “และ” (Conjunction Operator) • ประโยคที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ย่อยด้วยตัวเชื่อม “และ” จะมีค่าความจริงเป็น • จริง เมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็น • เท็จ เมื่อ ประพจน์ย่อยบางประพจน์มีค่าความจริงเป็น • ตารางค่าความจริงของประพจน์ P และ Q สามารถเขียนได้ดังนี้ • จริง • เท็จ

16. ตัวอย่างการพิจารณาค่าความจริง ตัวดำเนินการ “และ” • ให้ R แทนประพจน์ “กรุงเทพและลอนดอนเป็นเมืองหลวง” • P แทน ประพจน์ย่อย “กรุงเทพเป็นเมืองหลวง” • Q แทน ประพจน์ย่อย “ลอนดอนเป็นเมืองหลวง” • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R ต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย P และ Q • ประพจน์ย่อย (P) “กรุงเทพเป็นเมืองหลวง” มีค่าความจริงเป็น • ประพจน์ย่อย (Q) “ลอนดอนเป็นเมืองหลวง” มีค่าความจริงเป็น • ดังนั้น ประพจน์ (R) “กรุงเทพและลอนดอนเป็นเมืองหลวง” มีค่าความจริงเป็น • จริง • จริง • จริง

17. การเขียนตัวดำเนินการ “และ” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “และ” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ^ • ตัวอย่างเช่น p และ q สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p ^ q

18. ตัวดำเนินการ“หรือ” (Disjunction Operator) • ประโยคที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ย่อยด้วยตัวดำเนินการ “หรือ” มีค่าความจริงเป็น • เท็จ เมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็น • จริง เมื่อมีอย่างน้อย 1 ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น • ตารางค่าความจริงของประพจน์ P หรือ Q สามารถเขียนได้ ดังนี้ • เท็จ • จริง

19. ตัวอย่างการพิจารณาค่าความจริง ตัวดำเนินการ “หรือ” • ให้ R แทนประพจน์ “4 เป็นจำนวนเต็ม หรือ เป็นจำนวนเฉพาะ” • P แทน ประพจน์ย่อย “4 เป็นจำนวนเต็ม” • Q แทน ประพจน์ย่อย “4 เป็นจำนวนเฉพาะ” • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R ต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย P และ Q • ประพจน์ย่อย P มีค่าความจริงเป็น • ประพจน์ย่อย Q มีค่าความจริงเป็น • ดังนั้น ประพจน์ R มีค่าความจริงเป็น • จริง • เท็จ • จริง

20. การเขียนตัวดำเนินการ “หรือ” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “หรือ” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ v • ตัวอย่างเช่น p หรือ q สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p v q

21. ตัวดำเนินการExclusive-OR Operator • ประโยคที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ย่อยด้วยตัวดำเนินการ “XOR” มีค่าความจริงเป็น • เท็จ เมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริง เหมือนกัน • จริง เมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริง ต่างกัน • ตารางค่าความจริงของประพจน์ P หรือ Q สามารถเขียนได้ ดังนี้ • ข้อสังเกต ตัวดำเนินการนี้คล้ายกับตัวดำเนินการ “หรือ” ต่างกันตรงที่ต้องเป็นจริงแค่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่ง ห้ามเป็นจริงทั้งคู่

22. ตัวอย่างการพิจารณาค่าความจริง ตัวดำเนินการ “XOR” • ให้ R แทนประพจน์ “ฉันได้เกรด A วิชานี้ หรือ ฉันได้เกรด B วิชานี้” • P แทน ประพจน์ย่อย “ฉันได้เกรด A วิชานี้ ” • Q แทน ประพจน์ย่อย “ฉันได้เกรด B วิชานี้” • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R ต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย P และ Q • ประพจน์ย่อย P มีค่าความจริงเป็น จริง • ประพจน์ย่อย Q มีค่าความจริงเป็น เท็จ • ดังนั้น ประพจน์ R มีค่าความจริงเป็น จริง

23. การเขียนตัวดำเนินการ “XOR” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “XOR” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⊕ • ตัวอย่างเช่น p XOR q สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p ⊕ q

24. ตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” (Implication operator) • ตัวดำเนินการชนิดนี้ มักใช้สำหรับการสร้างประโยคที่เป็นเงื่อนไข • ประโยคที่เป็นเงื่อนไขจะมีโครงสร้างดังนี้ ถ้า .........เหตุ............. แล้ว .............ผล............ • ค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว จะมีค่าเป็นจริง เมื่อ • เหตุมีค่าเป็น จริง แล้วผลมีค่าเป็น จริง ด้วย • เหตุมีค่าเป็น เท็จ ผล อาจจะมีค่าเป็น จริง หรือ เท็จ ก็ได้ • ค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว จะมีค่าเป็นเท็จ เมื่อ • เหตุมีค่าเป็น จริง และ ผลมีค่าเป็น เท็จ

25. ตารางค่าความจริง • ตารางค่าความจริงของประพจน์ ถ้า P แล้ว Q สามารถเขียนได้ดังนี้

26. ตัวอย่าง ตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” • ให้ R แทนประพจน์ “ถ้า -5 เป็นจำนวนนับ แล้ว -5 เป็นจำนวนเต็มบวก” • P แทน ประพจน์ย่อย “-5 เป็นจำนวนนับ” • Q แทน ประพจน์ย่อย “-5 เป็นจำนวนเต็มบวก” • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R จะต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย P และ Q • ประพจน์ย่อย P มีค่าความจริงเป็น • ประพจน์ย่อย Q มีค่าความจริงเป็น • ดังนั้น ประพจน์ R มีค่าความจริงเป็น • เท็จ • เท็จ • จริง

27. การเขียนตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ => • ตัวอย่างเช่น ถ้า p แล้ว q สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p => q

28. ตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional operator) • ประโยคที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ย่อยด้วยตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” มีค่าความจริงเป็น • จริง เมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริง เหมือนกัน • เท็จเมื่อ ประพจน์ย่อยทุกประพจน์มีค่าความจริง ต่างกัน • ตารางค่าความจริงของประพจน์ P ก็ต่อเมื่อ Q สามารถเขียนได้ดังนี้

29. ตัวอย่าง ตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” • ให้ R แทนประพจน์ “11 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 11 หารด้วย 2 ลงตัว” • P แทน ประพจน์ย่อย “11 เป็นจำนวนคู่ ” • Q แทน ประพจน์ย่อย “11 หารด้วย 2 ลงตัว” • การตัดสินค่าความจริงของประพจน์ R จะต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย P และ Q • ประพจน์ย่อย P มีค่าความจริงเป็น • ประพจน์ย่อย Q มีค่าความจริงเป็น • ดังนั้น ประพจน์ R มีค่าความจริงเป็น • เท็จ • เท็จ • จริง

30. การเขียนตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” ในรูปสัญลักษณ์ • ตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <=> • ตัวอย่างเช่น p ก็ต่อเมื่อ q สามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p <=> q

31. หลักการจำง่ายๆ • ตัวดำเนินการ • “และ” เป็น เท็จ เมื่อมีประพจน์ย่อยอย่างน้อย 1 ที่เป็น เท็จ • “หรือ” เป็น จริง เมื่อมีประพจน์ย่อยอย่างน้อย 1 ที่เป็น จริง • “XOR เป็น จริง เมื่อ ประพจน์ย่อยมีค่าความจริงต่างกัน • “ถ้า...แล้ว” เป็น เท็จ เมื่อ เหตุเป็น จริง แต่ผลเป็น เท็จ • “ก็ต่อเมื่อ” เป็น จริง เมื่อ ประพจน์ย่อยมีค่าความจริงเหมือนกัน • “นิเสธ” เป็น ตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์

32. แบบฝึกหัดที่ 2 • ให้จับคู่ความสัมพันธ์ของข้อความด้านซ้าย และ ด้านขวา • และ ( ^ ) A. เปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์เป็นตรงข้าม • หรือ ( v ) B. เป็นจริงกรณีเดียว เมื่อประพจน์ย่อยเป็นจริงทุกประพจน์ • XOR ( ⊕ ) C. เป็นเท็จกรณีเดียว เมื่อเหตุเป็นจริง และ ผลเป็นเท็จ • ถ้า...แล้ว... (=>) D. เป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยมีค่าความจริงเหมือนกัน • ก็ต่อเมื่อ (<=>) E. เป็นจริงเมื่อมีประพจน์ย่อยใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง • นิเสธ ( ~ ) G. เป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยมีค่าความจริงต่างกัน H. เป็นเท็จกรณีเดียว เมื่อประพจน์ย่อยเป็นเท็จทุกประพจน์

33. การสมมูล (Equivalence) • ประพจน์ที่เขียนต่างกัน แต่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เราจะถือว่า ประพจน์ทั้งสอง“สมมูล” กัน • ประพจน์ที่สมมูลกันสามารถนำไปใช้แทนกันได้ • พิจารณาตารางค่าความจริงของ 2 ประพจน์นี้ p -> q กับ ~p v q • ดังนั้น ประพจน์ p->q สมมูลกับ ~p v q • รูปแบบการสมมูลเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้ p  q หรือ p  q

34. การสมมูลกันในแต่ละตัวดำเนินการการสมมูลกันในแต่ละตัวดำเนินการ • ตัวดำเนินการ “หรือ” • ตัวดำเนินการ “และ” • ตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” • ตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ”

35. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “หรือ” ลองสลับที่ สังเกตว่า การสลับที่ยังคงให้ค่าความจริงเหมือนเดิม ดังนั้น P v Q  Q v P

36. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “หรือ” นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอื่นๆอีก ดังนี้

37. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “หรือ” • ข้อควรระวัง • ถ้าเจอ P v Q  P v R ห้าม สรุปว่า P v R เด็ดขาด • การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม • (P v Q) v R  P v (Q v R)  P v Q v R (เชื่อมด้วย “v” ทั้งหมด จัดกลุ่มใหม่ได้ ถอดวงเล็บได้) • ~(P v Q)  ~P ^ ~Q (ลุยนิเสธเข้าไปในวงเล็บ แล้วเปลี่ยนตัวเชื่อม)

38. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “และ” ลองสลับที่ สังเกตว่า การสลับที่ยังคงให้ค่าความจริงเหมือนเดิม ดังนั้น P ^ Q  Q ^ P

39. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “และ” นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอื่นๆอีก ดังนี้

40. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “และ” • ข้อควรระวัง • ถ้าเจอ P ^ Q  P ^ R ห้าม สรุปว่า P ^ R เด็ดขาด • การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม • (P ^ Q) ^ R  P ^ (Q ^ R)  P ^ Q ^ R (เชื่อมด้วย “^” ทั้งหมด จัดกลุ่มใหม่ ถอดวงเล็บได้) • ~(P ^ Q)  ~P v ~Q (ลุยนิเสธเข้าไปในวงเล็บ แล้วเปลี่ยนตัวเชื่อม)

41. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “และ” • การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม • P v (Q ^ R)  (P v Q) ^ (P v R) • P ^ (Q v R)  (P ^ Q) v (P ^ R)

42. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” • สำหรับตัวดำเนินการชนิดนี้ ไม่มีสมบัติในการสลับที่ นั่นคือ • P -> Q  Q -> P เรียกว่า บทกลับ (Converse) • P -> Q  ~P -> ~Q เรียกว่า ข้อความผกผัน (Inverse) • P -> Q  ~Q -> ~P เรียกว่า ข้อความแย้งสลับที่ (Contrapositive)

43. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว”

44. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว”

45. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ถ้า...แล้ว” • ข้อควรระวัง • ถ้าเจอ P -> Q  P -> R ห้าม สรุปว่า P -> R เด็ดขาด • การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม • P -> (Q v R)  (P -> Q) v (P->R) P -> (Q ^ R)  (P->Q) ^ (P -> R) • (P v Q) -> R  (P -> R) ^ (Q -> R) (P ^ Q) -> R  (P -> R) v (Q -> R) ถูกชี้เครื่องหมายไม่เปลี่ยน ไปชี้เครื่องหมายเปลี่ยน

46. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” ลองสลับที่ สังเกตว่า การสลับที่ยังคงให้ค่าความจริงเหมือนเดิม ดังนั้น P <-> Q  Q <-> P

47. การสมมูลกันของตัวดำเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” • ถ้าเติมนิเสธไปทั้ง 2 ข้างให้กับประพจน์ P <-> Q จะพบว่า • ~P <-> ~Q  P <-> Q • ถ้าใส่นิเสธให้กับประพจน์ (P <->Q) จะได้ว่า • ~(P <->Q)  ~P <-> Q  P <-> ~Q • นอกจากนี้ ยังมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มด้วย • P <-> (Q <-> R)  (P <-> Q) <-> R  P <-> Q <-> R ใส่นิเสธแค่ตัวเดียวพอ

48. กฎการสมมูล (Equivalence Laws)

49. กฎการสมมูล (Equivalence Laws)

50. คำถาม ???