Experimento Aleatório

1. Experimento Aleatório • Experimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incerto • Exemplos: • Jogar uma moeda • Sortear um número inteiro de um a cem • Lançar um dado

2. Espaço amostral(ou de probabilidades) • O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) • Jogar uma moeda • S = {cara, coroa} • Sortear um número inteiro de um a cem • S = {1,2,...,100} • Lançar um dado • S = {1,2,3,4,5,6}

3. Evento • Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral • E = {cara} (sortear cara) • E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28) • E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)

4. União de eventos • Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorre A  B

5. Interseção de Eventos • Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamente A  B

6. Complemento do evento • Ocorre quando não ocorre o evento a A’

7. Eventos mutuamente excludentes • A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica necessariamente na não-ocorrência do outro • (i.e., não há elementos comuns entre eles) • Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.

8. Probabilidade (objetiva) • Proporção de ocorrência de um evento • Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis) • Assume valores entre 0 e 1

9. Probabilidade (subjetiva) • Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. • Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas

10. Probabilidade da União • Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(A  B) =0 P(A  B) = P(A) + P(B) • Eventos não excludentes P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

11. Probabilidade do complemento • Complemento de A: qualquer evento que não seja A P(não A) = 1 – P(A), ou P(A’) = 1 – P(A)

12. Probabilidade Condicionada • Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B P(A | B) = P(A  B) / P(B)

13. Probabilidade da Interseção • Ocorrência simultânea de A e B P(A  B) = P(A | B) * P(B)

14. Eventos independentes • A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente: P(A | B) = P(A) • Pela expressão anterior, se A e B são independentes: P(A  B) = P(A).P(B) • Note que neste caso A  B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos

15. Exercício:Cálculos com probabilidade União e interseção de eventos; probabilidade condicional Exercício em planilha de cálculo

16. Variável aleatória • O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

17. Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)

18. Tipos de Variável Aleatória • Variável aleatória discreta • Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.) • Variável aleatória contínua • Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)

19. Cálculos com distribuições de probabilidade Distribuição binomial Distribuição normal

20. Distribuição Binomial (discreta) • De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra. P(compra) = P(C) = 0,40 • Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras? S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}

21. Binomial: forma geral • E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros? P(x) = Cn, x px q(n-x) Onde Cn,x = n! / (x!(n-x)!) p = probabilidade de sucesso q = (1 –p) = probabilidade de insucesso

22. Binomial: parâmetros • Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas: • Média  = np • Desvio-padrão  = (npq)1/2

23. Exercício:distribuição binomial Funções de planilha: Função DISTRBINOM

24. Distribuição Normal

25. Distribuição Normal

26. Distribuição Normal • Expressão formal

27. Distribição Normal: propriedades • Área total sob a curva é 1 • Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (distr. Contínua) • P(a  X  b) é a área sob a curva entre a e b • Distribuição simétrica: • P(X  a) = P(X  -a) • P(X<μ) = 0,50 = 50%

28. Distribição Normal: mais propriedades • P(a X  b) = P(X  b) - P(X  a) • Figura • Maior concentração de freqüências no centro da distribuição • Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM • (11dist.prob)

30. Normal Reduzida • Antes dos aplicativos de estatística, cálculos da distribuição normal eram feitos com uma tabela • Essa tabela dava os valores da normal reduzida ou padronizada • Média zero • Variância e desvio-padrão 1 • Hoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveis

31. Normal Reduzida

32. Exercício • Braule: 11exercícios Braule • Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM