1 / 11

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Работа ученицы 10 А класса Глоба Катарина.

kai-rosario
Download Presentation

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Работа ученицы 10 А класса Глоба Катарина

  2. Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, гдеa - действительное число.

  3. К настоящему моменту мы знаем, что: • Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2πn, • Если |a|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1)n arcsina+πn, или, что то же самое, x=arcsina+2πk, x=π-arcsina+2пk; • Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений.

  4. Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn; • Особо важны частные случаи: sinx=0, x=πn; sinx=1, x=π/2+2πn; sinx=-1, x=-π/2+2πn; cosx=0, x=π/2+πn; cosx=1, x=2πn; cosx=-1, x=π+2πn. Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (n€Z, k€Z).

  5. К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.

  6. Пример 1.Решить уравнения: a) sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1/2=π/6. Значит, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2. б)cos3x=-√2/2; Решения уравнения имеют вид:x=±arccosa+2πn, если a>0, но помним, что |a|≤1. Для нашего примера: 3x=±arccos(-√2/2) +2πn, 3x=±(π-arccos√2/2)+2πn, 3x=±(π-π/4)+2πn, 3x=±3π/4+2πn, x=±π/4+2πn/3, где n€Z

  7. в) tg(4x-π/6)= √3/3. 4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6. 4x-π/6=π/6+πn; 4x=π/6+π/6+πn, 4x=π/3+πn, x=π/12+πn/4, где n€Z.

  8. Пример 2.Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; π]. Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2. Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

  9. Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12, π/12 € [0; π].Если n=1, то x=(-1)1π/12+π/2 =-π/12+π/2=5π/12, 5π/12 € [0; π].Если n=2, то x=(-1)2 π/12+π=π/12+π=13π/12, 13π/12 € [0; π].Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n=3,4,… .

  10. Пусть теперь n=-1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; π].Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n=-2,-3,… .

  11. На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.-7π/12 π/12 5π/12 13π/120 πИтак, заданному отрезку [0; π] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n:n=0, n=1.Эти корни таковы: π/12, 5π/12.Ответ: π/12; 5π/12.

More Related