  

   Conjuntos Carlos Andrés Montenegro Colegio tolimense

Conjuntos • Contenidos del tema: • Definición de conjunto • Notaciones • Relaciones elemento- conjunto y Conjunto- conjunto • Diagramas de Venn – Euler • Operaciones con conjuntos

Definición de conjunto Un conjunto es una colección de elementosbien determinada. • colección :sinónimo de famila, clase, etc • elemento:Sinónimo de objeto, miembro, etc • bien determinada: significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto

Notación • Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,.... • A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....

Relación Elemento- Conjunto: Pertenencia • La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia • Escribimos y decimos: aA (el elemento apertenece al conjunto A) • ……y en caso de que no pertenezca escribimos: a A ( a no pertenece a A)

Representación con Diagramas de Venn- Euler B A b. a

¿Son conjuntos o no? • Los mejores cantantes del mundo • Los hombres altos • Los hombres • Las chicas simpáticas • Los perros dálmatas • Los ganadores del premio Oscar

¿Cómo se definen los conjuntos? • Por descripción verbal • Por extensión o listado • Cuando se listan o especifican sus elementos • Por comprensión • Cuando se da la propiedad que verifican sus elementos.  Predicados

Ejemplos • Descripción verbal: • El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría • Listado: • A ={Luis, María, Pedro, Iván, José} • Comprensión: • A ={x / x es uno de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría} • A ={x / P(x)}

Ejemplos • Dados los siguientes conjuntos: • A ={1,2,3,4,5,6,7,8} • B = {Luisa, Ana, Pedro} • Diremos : • 2  A Luisa  B • 10  A Pedro  A

Representación con Diagramas de Venn- Euler B A Luisa Ana Pedro • 2 3 • 4 • 5 6 7 8 • 2 3 • 4 • 5 6 7 8

B A SubconjuntosRelación Conjunto- Conjunto • Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B. • Esto lo escribimos como: A  B  x : x  A  x  B

Ejemplos • Dados los siguientes conjuntos: • A ={1,2,3,4,5,6,7,8} • B = {2,4,6,8} • C = {1,3,5,7} • Diremos : • B  A ( B subconjunto de A) • C  A ( C subconjunto de A) • C B ( C no es subconjunto de B)

Igualdad de conjuntos • Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si: A  B y B  A Es decir : • A = B   x : (x  A  x  B y x  B  x  A)

Sean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; C = { {a,b },{c} }. Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas. { c}  B o { c}  A { c}  B y { c}  A c  A { c, d, a }  B { c}  C {a,b,c}  B {{a,b }}  C Ejemplo V F F F V F V

Complemento de un conjunto • Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A • A ‘ = { x / x  A }

Operaciones con conjuntosLa Unión • Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos. • A  B = { x / x  A  x  B }

A B A  B Ejemplo • A = { a,b,c } • B = { d, e } • A  B = { a,b,c,d,e } a b c d e

Operaciones con conjuntosLa Intersección • Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. • A  B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo • A = { a,b,c, d, e } • B = { d, e , f } • A  B = {d, e } A  B a b c d e f

Operaciones con conjuntosDiferencia • Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B • A -B = { x / x  A  x  B }

A A B B Ejemplo • A = { a,b,c, d, e } • B = { d, e , f } • A - B = {a,b,c } A - B

Algunas propiedades • A  A (basta probar que x : x  A  x  A ) ¿Cuándo es este condicional verdadero? •   A (basta probar que x : x   x  A ) ¿Cuándo es este condicional verdadero? ¿Cómo es el antecedente? • (A ’) ’ = A (Ver que esto es equivalente a probar ~~ P(x)  P(x) , siendo P(x) : x  A

Algunas propiedades • Conmutativa : • A  B = B  A y A  B = B  A • Asociativa: • A  (B  C) = (A  B)  C • A  (B  C) = (A  B)  C • Neutro para la Unión: • A  = A

Algunas propiedades • Neutro para la intersección • A  U = A • Distributiva • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • De Morgan • (A  B) ’ = A ’ B ’ • (A  B) ’ = A ’ B ’

B A ABC C Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U

A- B B A C Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U

B A AB - AB Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U

B A C C - AB Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U - AC U A C

  

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