slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Definisi Matrik :

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 67

Definisi Matrik : - PowerPoint PPT Presentation


  • 133 Views
  • Uploaded on

Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Definisi Matrik : ' - kaelem


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Matrik dan operasi-operasinya

DefinisiMatrik :

susunanbilanganberbentuksegiempatataubujursangkar yang diaturdalambarisdankolom, ditulisantaraduakurung, yaitu ( ) atau [ ]

  • Jumlahbaris : m
  • Jumlahkolom : n
  • Ukuran/ordo : m x n
  • Elemen diagonal : a11, a22,….. ann
slide2

Suatubagantransportasi yang menghubungkan 3 kotadigambarkansebagaiberikut :

1

2 3

Kita buattabel :

Kota 1 Kota 2 Kota 3

Dari kota 1 dapatpergikekota 1 1 0

Dari kota 2 dapatpergikekota 1 1 1

Dari kota 3 dapatpergikekota 0 0 1

slide3

Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya nol.

Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i

Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3

kesamaan matrik
Kesamaan Matrik

Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :

  • Ordonya sama
  • Elemen yang seletak sama

A = (aij )

A = B jika aij = bij untuk i = 1,2,……..m

dan j = 1,2, …….n

B = (bij )

slide5

Contoh :

1)

Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3.

Matrik A dan B tidakakansamadenganmatrik C

sebabordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkanordo C adalah 2 x 3.

2)

R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1

slide6

Bentuk-bentuk Matrik

  • MatrikBujursangkar : jumlahbaris = jumlahkolom(Ann n x n)

Contoh :

slide7

b. Matrik Diagonal :

matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyatidaksemuanol(tidakdisyaratkanelemen diagonal harustidaknol), sedangkanelemen yang lain nol.

Contoh :

slide8

MatrikSegitiga

  • Matriksegitigaatas :

matrikbujursangkar yang setiapelemendibawah diagonal utamabernilai 0

  • Matriksegitigabawah :

matrikbujursangkar yang setiapelemendiatas diagonal utamabernilai 0

Catatan :tidakdisyaratkanbahwaelemen diagonal harusbernilaitaknol

slide9

Contoh :

Matrik A adalah matrik segitiga atas,

matrik B adalah matrik segitiga bawah,

sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga atas dan juga matrik segitiga bawah

slide10

Adatigahal yang perludiketahuitentangmatriksegitiga :

  • Transpose darimatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigabawah, demikian pula sebaliknya.

Contoh :

slide11

2. Hasil kali antaramatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigaatas, demikianjugasebaliknya.

slide12

3. Matriksegitigamempunyaiinversjikadanhanyajikaelemenpada diagonal utamanyatidakmemuatangkanol (0).

Contoh :

Matrik A diatastidakmempunyaiinvers, karenasalahsatuelemenpadadiagonalnyabernilainol (0)

slide13

e. Matriksatuan/identitas :

matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyabernilaisatu, sedangkanelemen yang lain bernilai nol.

Contoh :

d. MatrikNol : matrikdengansemuaelemennyanol

(0)

slide14

Sifatmatrikidentitasdanmatriknol

Jika A adalahmatrikberukuran n x n, maka :

I . A = A . I = A

A + 0 = 0 + A = A

A . 0 = 0 . A = 0

slide15

f. Matrik singular : matrikbujursangkar yang tidakmempunyaiinvers (determinannya = 0)

g. Matrik non singular : matrikbujursangkar yang mempunyaiinvers

(determinannya 0)

slide16

h. MatrikPangkat : ArAs = Ar + s ; (Ar)s = Ars

  • Matrik Idempotent : matrikbujursangkar yang berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2, 3, 4 …..

Contoh :

Jawab :

slide17

Matrik Nilpotent :

matrikbujursangkar yang berlaku A3 = 0 atau

An = 0, dengan n = 3, 4 …..

Contoh :

slide19

Disimpulkan :

Untuk n = 1

slide20

2)

Jawab :

slide21

Jadi B5= B.

Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwapemangkatan B hinggaBnmerupakanpengulangandari B4

B B2 B3 B4 B5 = B

slide22

i. Transpose matrik

Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalahdiubahnyabarismenjadikolomdankolommenjadibarisdarimatrik A. Notasimatematik transpose matrikditulissebagaiberikut : (AT)ij= (A)ji

slide25

Pembuktian sifat 2 :

Pembuktian sifat 3 :

slide27

Contoh Soal :

1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :

Jawab :

slide29

j. Matriksimetri :

Sebuahmatrikbujursangkardikatakansimetrijika A = AT.

Jikasuatumatrik :

A = AT

Ditransposemenjadi :

Makamatrik A dikatakansimetri, karenaelemen yang terdapatpada A samadenganpada AT

slide30

Beberapahalpentingmengenaimatriksimetri :

1. Jika A simetri, maka ATjugasimetri

2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B jugasimetri

3. Jika a simetri yang mempunyaiinvers, maka A-I adalahsimetri

4. Jika A memilikiinvers, maka A.AT danAT.A memilikiinvers pula.

slide31

ContohSoal :

Apakahmatrik A dan B berikutinimerupakanmatriksimetri ?

Jawab :

A merupakanmatriksimetrikarenaAT = A

B bukanmatriksimetrikarena ≠ B

slide32

k. MatrikPartisi :

sebuahmatrikdapatdibagimenjadibagian yang lebihkecildengangarispemisah/partisimendatardanvertikal.

slide33

Iadalahmatrikidentitas 3 x 3,

B adalahmatrik 3 x 2

Oadalahmatriknol 2 x 3

C adalahmatrik 2 x 2

Dengancarapartisitersebut, kitadapatlihatbahwamatrik A adalahsebagaimatrik 2 x 2

slide34

JikaterdapatmatrikAberukuranm x ndanmatrikBberukurann x r, makauntukmendapatkanhasilperkaliannya (AB) kitadapatmembuatmatrikpartisi.

  • Kita partisimatrik B dalambentukvektorkolom

maka :

Bentukakhirdisebutperkalianmatrik-kolom.

slide35

2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris

Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris

slide36

3. Kita partisimatrik A dalambentukvektorbarisdanmatrik B dalambentukvektorkolom. Bentukakhirdisebutperkalianbaris-kolom. Demikian pula dapatdilakukanpartisisebaliknya (kolom-baris), disebutperkaliankolom-baris.

slide37

disebut perkalian bagian luar

disebut : ekspansi

perkalian bagian luar

slide38

Contoh soal :

Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika diketahui :

Jawab :

slide39

Perkalian bagian luar adalah :

Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :

slide40

Jikamatrik A dipartisimenjadibeberapasubmatrik, makabagiantersebutdinamakanblok.

Sehinggakitamempunyaistrukturbloksebagaiberikut:

slide41

l.Matrikdalambentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi .

Matrikmemilikibentukeselonbaristereduksiharusmemenuhikriteria :

  • Dalamsuatubaris yang semuaelemennyabukannol (0), angkapertamapadabaristersebutharuslah 1 ( disebut leading 1)
  • Jikasuatubaris yang elemennyanolsemua, makabaristersebutdiletakkanpadabaris paling bawah.
slide42

Untuk sembarang dua baris yang berurutan, leading 1 dari baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Kolom yang memiliki leading 1 harus angka nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.

slide43

Contoh :

Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1

Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

slide44

Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4

disebut eselon baris

slide47

Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut :

matrik eselon baris

Contoh matrik eselon baris :

slide49

Contoh Soal :

1)

,

Tentukan A+B, A+C dan B+C !

Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan karena ordo kedua matrik tidak sama

slide50

2)

Tentukan A + B, A + C dan B + C

A + C dan B + C tidakdapatdijumlahkankarenaordo-ordonyaberbeda

slide51

Bagaimanadengan A – B ?

Perludiingatbahwa :

A – B = A + (– B )

A + 0 = A = 0 + A

A – A = 0 = – A + A

slide52

b.Perkalianmatrikdenganmatrik

Operasiperkalianmatrikdapatdilakukanpadaduabuahmatrik (A dan B) jikajumlahkolommatrik A = jumlahbarismatrik B.

AturanPerkalian

JikaAmndanBnkmakaAmnBnk = Cmkdenganelemen-elemendari C(cij) merupakanpenjumlahandariperkalianelemen-elemen A barisidenganelemen-elemen B kolom j.

slide54

Jawab :

c11 =1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12

c12 =1( 0) + 3(-2) + (-1)( 2) = - 8

c13 =1( 3) + 3(-1) + (-1)( 0) = 0

c14 =1(-1) + 3( 1) + (-1)( 6) = - 4

c21 =(-2)(-4) + (-1)( 5) + (1)(-1) = 2

c22 =(-2)( 0) + (-1)(-2) + (1)( 2) = 4

c23 =(-2)( 3) + (-1)(-1) + (1)( 0) = - 5

c24 =(-2)(-1) + (-1)( 1) + (1)( 6) = 7

slide55

2)

Jawab:

Sedangkan B X A tidakdapatdikerjakan, karenajumlahkolommatrik B tidaksamadenganjumlahbarismatrik A

slide56

3)

Jawab :

Kesimpulan : AB ≠ BA

slide57

4) TutidanRinaberencanaberbelanjabuah-buahan. Merekainginmembeliapel, anggurdanjerukdenganjumlah yang berlainansepertitercantumdalamtabel 1.

Adaduatokobuah yang salingberdekatanyaitu Tip top danRezekidenganhargajualmasing-masingdiberikanpadatabel 2.

Berapakahuang yang harusdisiapkanTutidanRinauntukberbelanjadikeduatokobuahtersebut?

slide58

Tabel 1. Kebutuhan (dalam Kg)

ApelAnggurJeruk

Tuti 6 3 10

Rina 4 8 5

Tabel 2. Daftarharga (dalamribuan)

Tip top Rezeki

Apel 10 15

Anggur 40 30

Jeruk 10 20

slide59

Jawab :

Kita buatduamatrikyaitumatrik D untukkebutuhandanmatrik P untukharga.

Denganmenghitungperkalianmatrik D danmatrik P, makadapatmenjawabjumlahuang yang harusdisiapkanTutidanRina (tabel 3).

slide60

Tabel 3. Jumlahuang yang disiapkan (dalamribuan)

Tip top Rezeki

Tuti 280 380

Rina 410 400

slide61

Contoh :

c. Perkalian matrik dengan skalar

Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k

Contoh soal:

1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A

Jawab :

slide62

2)

Jawab :

slide65

3.

4.

slide66

5.

6.

slide67

7

8

9

10

ad