Matrik dan operasi-operasinya
Download
1 / 67

Definisi Matrik : - PowerPoint PPT Presentation


  • 133 Views
  • Uploaded on

Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Definisi Matrik : ' - kaelem


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Matrik dan operasi-operasinya

DefinisiMatrik :

susunanbilanganberbentuksegiempatataubujursangkar yang diaturdalambarisdankolom, ditulisantaraduakurung, yaitu ( ) atau [ ]

  • Jumlahbaris : m

  • Jumlahkolom : n

  • Ukuran/ordo : m x n

  • Elemen diagonal : a11, a22,….. ann


Suatubagantransportasi yang menghubungkan 3 kotadigambarkansebagaiberikut :

1

2 3

Kita buattabel :

Kota 1 Kota 2 Kota 3

Dari kota 1 dapatpergikekota 1 1 0

Dari kota 2 dapatpergikekota 1 1 1

Dari kota 3 dapatpergikekota 0 0 1


Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya nol.

Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i

Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3


Kesamaan matrik
Kesamaan Matrik pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :

  • Ordonya sama

  • Elemen yang seletak sama

    A = (aij )

    A = B jika aij = bij untuk i = 1,2,……..m

    dan j = 1,2, …….n

    B = (bij )


Contoh pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen :

1)

Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3.

Matrik A dan B tidakakansamadenganmatrik C

sebabordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkanordo C adalah 2 x 3.

2)

R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1


Bentuk-bentuk Matrik pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

  • MatrikBujursangkar : jumlahbaris = jumlahkolom(Ann n x n)

    Contoh :


b. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matrik Diagonal :

matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyatidaksemuanol(tidakdisyaratkanelemen diagonal harustidaknol), sedangkanelemen yang lain nol.

Contoh :


  • Matrik pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Segitiga

  • Matriksegitigaatas :

    matrikbujursangkar yang setiapelemendibawah diagonal utamabernilai 0

  • Matriksegitigabawah :

    matrikbujursangkar yang setiapelemendiatas diagonal utamabernilai 0

    Catatan :tidakdisyaratkanbahwaelemen diagonal harusbernilaitaknol


Contoh : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Matrik A adalah matrik segitiga atas,

matrik B adalah matrik segitiga bawah,

sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga atas dan juga matrik segitiga bawah


Ada pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen tigahal yang perludiketahuitentangmatriksegitiga :

  • Transpose darimatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigabawah, demikian pula sebaliknya.

    Contoh :


2. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Hasil kali antaramatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigaatas, demikianjugasebaliknya.


3. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matriksegitigamempunyaiinversjikadanhanyajikaelemenpada diagonal utamanyatidakmemuatangkanol (0).

Contoh :

Matrik A diatastidakmempunyaiinvers, karenasalahsatuelemenpadadiagonalnyabernilainol (0)


e. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matriksatuan/identitas :

matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyabernilaisatu, sedangkanelemen yang lain bernilai nol.

Contoh :

d. MatrikNol : matrikdengansemuaelemennyanol

(0)


Sifat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen matrikidentitasdanmatriknol

Jika A adalahmatrikberukuran n x n, maka :

I . A = A . I = A

A + 0 = 0 + A = A

A . 0 = 0 . A = 0


f. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matrik singular : matrikbujursangkar yang tidakmempunyaiinvers (determinannya = 0)

g. Matrik non singular : matrikbujursangkar yang mempunyaiinvers

(determinannya 0)


h. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen MatrikPangkat : ArAs = Ar + s ; (Ar)s = Ars

  • Matrik Idempotent : matrikbujursangkar yang berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2, 3, 4 …..

    Contoh :

Jawab :


  • Matrik pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Nilpotent :

    matrikbujursangkar yang berlaku A3 = 0 atau

    An = 0, dengan n = 3, 4 …..

    Contoh :


Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

1).

Jawab :


Disimpulkan : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Untuk n = 1


2) pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Jawab :


Jadi pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen B5= B.

Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwapemangkatan B hinggaBnmerupakanpengulangandari B4

B B2 B3 B4 B5 = B


i pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen . Transpose matrik

Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalahdiubahnyabarismenjadikolomdankolommenjadibarisdarimatrik A. Notasimatematik transpose matrikditulissebagaiberikut : (AT)ij= (A)ji


Sifat-sifat dari transpose suatu matrik : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen


Pembuktian sifat matrik transpose : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Pembuktian sifat 1 :


Pembuktian sifat 2 : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Pembuktian sifat 3 :


Pembuktian sifat 4 : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen


Contoh Soal : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :

Jawab :


Tentukan pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen AT, BT dan CTdarimatrik :

Jawab :


j. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matriksimetri :

Sebuahmatrikbujursangkardikatakansimetrijika A = AT.

Jikasuatumatrik :

A = AT

Ditransposemenjadi :

Makamatrik A dikatakansimetri, karenaelemen yang terdapatpada A samadenganpada AT


Beberapa pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen halpentingmengenaimatriksimetri :

1. Jika A simetri, maka ATjugasimetri

2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B jugasimetri

3. Jika a simetri yang mempunyaiinvers, maka A-I adalahsimetri

4. Jika A memilikiinvers, maka A.AT danAT.A memilikiinvers pula.


Contoh pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Soal :

Apakahmatrik A dan B berikutinimerupakanmatriksimetri ?

Jawab :

A merupakanmatriksimetrikarenaAT = A

B bukanmatriksimetrikarena ≠ B


k. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen MatrikPartisi :

sebuahmatrikdapatdibagimenjadibagian yang lebihkecildengangarispemisah/partisimendatardanvertikal.


I pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen adalahmatrikidentitas 3 x 3,

B adalahmatrik 3 x 2

Oadalahmatriknol 2 x 3

C adalahmatrik 2 x 2

Dengancarapartisitersebut, kitadapatlihatbahwamatrik A adalahsebagaimatrik 2 x 2


Jika pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen terdapatmatrikAberukuranm x ndanmatrikBberukurann x r, makauntukmendapatkanhasilperkaliannya (AB) kitadapatmembuatmatrikpartisi.

  • Kita partisimatrik B dalambentukvektorkolom

    maka :

    Bentukakhirdisebutperkalianmatrik-kolom.


2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris


3. Kita pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen partisimatrik A dalambentukvektorbarisdanmatrik B dalambentukvektorkolom. Bentukakhirdisebutperkalianbaris-kolom. Demikian pula dapatdilakukanpartisisebaliknya (kolom-baris), disebutperkaliankolom-baris.


disebut perkalian bagian luar pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

disebut : ekspansi

perkalian bagian luar


Contoh soal : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika diketahui :

Jawab :


Perkalian bagian luar adalah : pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :


Jika pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen matrik A dipartisimenjadibeberapasubmatrik, makabagiantersebutdinamakanblok.

Sehinggakitamempunyaistrukturbloksebagaiberikut:


l. pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen Matrikdalambentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi .

Matrikmemilikibentukeselonbaristereduksiharusmemenuhikriteria :

  • Dalamsuatubaris yang semuaelemennyabukannol (0), angkapertamapadabaristersebutharuslah 1 ( disebut leading 1)

  • Jikasuatubaris yang elemennyanolsemua, makabaristersebutdiletakkanpadabaris paling bawah.


Untuk sembarang dua baris yang berurutan, leading 1 dari baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Kolom yang memiliki leading 1 harus angka nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.


Contoh : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1

Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2


Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4

disebut eselon baris


Contoh matrik eselon baris tereduksi : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.


Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

matrik eselon baris

Contoh matrik eselon baris :


Operasi Aljabar Matrik baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.


Contoh Soal : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

1)

,

Tentukan A+B, A+C dan B+C !

Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan karena ordo kedua matrik tidak sama


2) baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Tentukan A + B, A + C dan B + C

A + C dan B + C tidakdapatdijumlahkankarenaordo-ordonyaberbeda


Bagaimana baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.dengan A – B ?

Perludiingatbahwa :

A – B = A + (– B )

A + 0 = A = 0 + A

A – A = 0 = – A + A


b. baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.Perkalianmatrikdenganmatrik

Operasiperkalianmatrikdapatdilakukanpadaduabuahmatrik (A dan B) jikajumlahkolommatrik A = jumlahbarismatrik B.

AturanPerkalian

JikaAmndanBnkmakaAmnBnk = Cmkdenganelemen-elemendari C(cij) merupakanpenjumlahandariperkalianelemen-elemen A barisidenganelemen-elemen B kolom j.


Notasi perkalian matrik dengan matrik : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Contoh Soal

1)


Jawab baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. :

c11 =1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12

c12 =1( 0) + 3(-2) + (-1)( 2) = - 8

c13 =1( 3) + 3(-1) + (-1)( 0) = 0

c14 =1(-1) + 3( 1) + (-1)( 6) = - 4

c21 =(-2)(-4) + (-1)( 5) + (1)(-1) = 2

c22 =(-2)( 0) + (-1)(-2) + (1)( 2) = 4

c23 =(-2)( 3) + (-1)(-1) + (1)( 0) = - 5

c24 =(-2)(-1) + (-1)( 1) + (1)( 6) = 7


2) baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Jawab:

Sedangkan B X A tidakdapatdikerjakan, karenajumlahkolommatrik B tidaksamadenganjumlahbarismatrik A


3) baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Jawab :

Kesimpulan : AB ≠ BA


4) baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.TutidanRinaberencanaberbelanjabuah-buahan. Merekainginmembeliapel, anggurdanjerukdenganjumlah yang berlainansepertitercantumdalamtabel 1.

Adaduatokobuah yang salingberdekatanyaitu Tip top danRezekidenganhargajualmasing-masingdiberikanpadatabel 2.

Berapakahuang yang harusdisiapkanTutidanRinauntukberbelanjadikeduatokobuahtersebut?


Tabel baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. 1. Kebutuhan (dalam Kg)

ApelAnggurJeruk

Tuti 6 3 10

Rina 4 8 5

Tabel 2. Daftarharga (dalamribuan)

Tip top Rezeki

Apel 10 15

Anggur 40 30

Jeruk 10 20


Jawab baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. :

Kita buatduamatrikyaitumatrik D untukkebutuhandanmatrik P untukharga.

Denganmenghitungperkalianmatrik D danmatrik P, makadapatmenjawabjumlahuang yang harusdisiapkanTutidanRina (tabel 3).


Tabel baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. 3. Jumlahuang yang disiapkan (dalamribuan)

Tip top Rezeki

Tuti 280 380

Rina 410 400


Contoh baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.:

c. Perkalian matrik dengan skalar

Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k

Contoh soal:

1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A

Jawab :


2) baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

Jawab :


Latihan : baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.


3. baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

4.


5. baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

6.


7 baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya.

8

9

10


ad