二次函数的应用
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二次函数的应用. 导墅中学 史东良. 创设问题意境. 学习的目的在于应用,日常生活中,工农业生产及商业活动中,方案的最优化、最值问题,如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。. 一、根据已知函数的表达式解决实际问题:. 问题 1 :. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所 示的坐标系,其函数的表达式为 y= - x 2 , 当水位线在 AB 位 置时,水面宽 AB = 30 米 , 这时水面离桥顶的高度 h 是( ) A 、 5 米 B 、 6 米; C 、 8 米; D 、 9 米. y.

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二次函数的应用

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Presentation Transcript


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二次函数的应用

导墅中学 史东良


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创设问题意境

学习的目的在于应用,日常生活中,工农业生产及商业活动中,方案的最优化、最值问题,如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。


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一、根据已知函数的表达式解决实际问题:


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问题1:

河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所

示的坐标系,其函数的表达式为y= - x2 ,当水位线在AB位

置时,水面宽 AB = 30米,这时水面离桥顶的高度h是( )

A、5米 B、6米; C、8米; D、9米

y

0

h

A B

x

1

25

Y=- × 152

=-9

D

解:当x=15时,


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二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题


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问题2:某商场将进价40元一个的某种商品,按50元一个售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价一元,销量减少10个,为赚得最大利润,问售价定为多少元时能获得最大利润是多少?

分析:利润=(每件商品所获利润)×(销售件数)

设每个涨价x元, 那么

(1)销售价可以表示为

(50+x)元(x≥ 0,且为整数)

(2)一个商品所获利润可以表示为

(50+x-40)元

(3)销售量可以表示为

(500-10x)个

(4)共获利润可以表示为

(50+x-40)(500-10x)元


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解:

设每个商品涨价x元, 那么

y=(50+x-40)(500-10x)

=-10 x2 +400x+5000

=- 10(x-20)2 +9000

∵(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )

∴x=20时,最大值y=9000

20+50=70

答:定价为70元/个,利润最高为9000元.


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问题3:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;

(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?

(3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

A

D

B

C

(2)当x= 时,S最大值= =36(平方米)

(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ 花圃长BC为(24-4x)米

解:

∴ S=x(24-4x)

=-4x2+24 x(0<x<6)

(3) ∵墙的可用长度为8米

∴ 0<24-4x ≤8 4≤x<6

∴当x=4m时,S最大值=32 平方米


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小试牛刀

如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,

点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,

点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度

移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,

几秒后ΔPBQ的面积最大?

最大面积是多少?

A

B

C

P

Q


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A

则 y= x(8-2x)

B

C

解:根据题意,设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大

AP=2x cm PB=(8-2x) cm

QB=x cm

P

(0<x<4)

=-x2 +4x

=-(x2 -4x +4-4)

Q

= -(x - 2)2 + 4

所以,当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大

最大面积是 4 cm2


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再显身手

G

C

D

F

H

6

E

A

B

10

在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园EFGH,如何设计,可使花园面积最大?

解:设花园的面积为y

则 y=60-x2 -(10-x)(6-x)

=-2x2 + 16x

(0<x<6)

=-2(x-4)2 + 32

所以当x=4时 花园的最大面积为32


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谈谈你的学习体会

抽象

运用

实际问题

数学问题

问题的解

数学知识

转化

返回解释

检验


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拓展提高

AP•PB

CQ•PB

=

S△PCQ=

即S=   (0<x<2)

如图,等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相等的速度作直线运动,已知点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,线段PQ与直线AC相交于点D。

(1)设 AP的长为x,△PCQ的面积为S,求出S关于x的函数关系式;

(2)当AP的长为何值时,S△PCQ= S△ABC

解:(1)∵P、Q分别从A、C两点同时出发,速度相等

∴AP=CQ=x

当P在线段AB上时


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S△PCQ=

即S=(x>2)

当P在线段AB的延长线上时


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  • =2

②  =2

∴ x1=1+ , x2=1-(舍去)

∴当AP长为1+ 时,S△PCQ=S△ABC

(2)当S△PCQ=S△ABC时,有

此方程无解


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“二次函数应用” 的思路

1.理解问题;

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系;

4.用数学方法求解;

5.检验结果的合理性,拓展等.


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谢谢指导!


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