1 / 24

Analisis dan Perancangan Algoritma Kuliah 3 : Proof by induction

Analisis dan Perancangan Algoritma Kuliah 3 : Proof by induction. E . Haodudin Nurkifli Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan. Methods of Proof. Proof by Contradiction

justis
Download Presentation

Analisis dan Perancangan Algoritma Kuliah 3 : Proof by induction

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analisis dan PerancanganAlgoritmaKuliah 3 : Proof by induction E. Haodudin Nurkifli TeknikInformatika Universitas Ahmad Dahlan

  2. Methods of Proof • Proof by Contradiction • Assume a theorem is false; show that this assumption implies a property known to be true is false -- therefore original hypothesis must be true • Proof by Counterexample • Use a concrete example to show an inequality cannot hold • Mathematical Induction • Prove a trivial base case, assume true for k, then show hypothesis is true for k+1 • Used to prove recursive algorithms

  3. Review: Induction • Suppose • S(k) is true for fixed constant k • Often k = 0 • S(n)  S(n+1) for all n >= k • Then S(n) is true for all n >= k

  4. Proof By Induction • Claim:S(n) is true for all n >= k • Basis: • Show formula is true when n = k • Inductive hypothesis: • Assume formula is true for an arbitrary n • Step: • Show that formula is then true for n+1

  5. Induction Example: Gaussian Closed Form • Prove 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 • Basis: • If n = 0, then 0 = 0(0+1) / 2 • Inductive hypothesis: • Assume 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 • Step (show true for n+1): 1 + 2 + … + n + n+1 = (1 + 2 + …+ n) + (n+1) = n(n+1)/2 + n+1 = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1)(n+1 + 1) / 2

  6. Induction Example:Geometric Closed Form • Prove a0 + a1 + … + an = (an+1 - 1)/(a - 1) for all a  1 • Basis: show that a0 = (a0+1 - 1)/(a - 1) a0 = 1 = (a1 - 1)/(a - 1) • Inductive hypothesis: • Assume a0 + a1 + … + an = (an+1 - 1)/(a - 1) • Step (show true for n+1): a0 + a1 + … + an+1 = a0 + a1 + … + an + an+1 = (an+1 - 1)/(a - 1) + an+1 = (an+1+1 - 1)/(a - 1)

  7. Induction • We’ve been using weak induction • Strong induction also holds • Basis: show S(0) • Hypothesis: assume S(k) holds for arbitrary k <= n • Step: Show S(n+1) follows • Another variation: • Basis: show S(0), S(1) • Hypothesis: assume S(n) and S(n+1) are true • Step: show S(n+2) follows

  8. Induksi Matematika • Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan • Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu • Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A S(n) dengan A  N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. • S(n) adalah fungsi propositional

  9. Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar • Inductive Step : Sumsikan S(k) benar Akan dibuktikan S(k)  S(k+1) benar • Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif

  10. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA • Contoh 1 Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif Jawab: Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = ½ 1 . (1+1)  1 = 1

  11. Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1) adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

  12. Jawab : 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

  13. Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n

  14. Contoh 2 Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab: Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = 12 1 = 1

  15. Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2 adib. Untuk n = k + 1 berlaku

  16. 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2 k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

  17. Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n

  18. Contoh 3 Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab: Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = 13 + 2(1)  1 = 3 , kelipatan 3

  19. Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1)

  20. Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n

  21. Contoh 4 Buktikan bahwa : n! => 2n-1 untuk setiap n : 1,2,... jawab Basis unuk n=1 akan diperoleh : 1! => 21-1 1 => 20 1 => 1

  22. Induksi : misalkan n=k asumsikan k! => 2k-1 Adib untuk n = k+1 berlaku (k+1)! => 2 (k+1)-1 adalah benar (k+1)! = (k+1)(k!) (k+1)( 2k-1) 2.2k-1 21.2k-1 2 (k+1)-1

  23. Kesimpulan n! 2n-1 Untuk untuk setiap n : 1,2,...

  24. Latihan Buktikan dengan induksi bentuk persamaan berikut • k 2 k = (n – 1) 2 n + 1 + 2 • Buktikan dengan induksi bahwa n 5 – n habis di bagi 5 untuk n bilangan bulat positif

More Related