现代控制理论基础

1. 现代控制理论基础 主讲：贺廉云 德州学院机电工程系

2. 第一章 控制系统的状态空间模型 §1-1 状态及状态空间表达式 §1-2 由微分方程求状态空间表达式 §1-3 由传递函数求状态空间表达式 §1-4 状态方程的线性变换

3. §1-1.状空间表达式 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。 一.状态及状态空间 1.状态：什么叫系统的状态呢？ 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意：

4. ﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。 ﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量

5. C2 R i3 i1 i2 u(t) C1 C3 在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t),则可求得输出y(t),(t≥t0)故可选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。

6. 但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。 一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 ﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。

7. 3. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量 又表示为：x(t) ∈Rn [x(t)属于n维状态空间 ]

8. 引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。 4.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开始变化，运动规律如下：

10. 二.状态空间表达式 它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。 1. 建立方法： 例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式. F(t) f K y(t) 弹簧-质量-阻尼器系统

11. 解：列基本方程： 选择状态变量：取： 故得：

12. 将以上方程组写矩阵形式 即

13. 系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。 结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1.首先根据基本规则列基本方程； 2.选择系统的状态变量；（按状态定义选） 3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

14. u1 y1 x1 u2 x2 y2 输出 元件 对象 ym xn ur 多输入多输出系统 2.一般形式： 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）

15. 其中： C-输出矩阵 m×n阶常数矩阵 D-直连矩阵 m×r阶常数矩阵

17. 3.一般线性时变系统： 区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程) 4. 非线性定常系统:

18. 5.非线性时变系统： 6.线性系统状态空间表达式的简便写法： 对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: ∑=(A,B,C,D)——定常 ∑=(A(t),B(t),C(t),D(t))——时变

19. 三 .线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ： 按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。

20. D(t) Y(t) X + B(t) C(t) ∫dt + + + A(t) u(t) 结构图：

21. 在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统

22. a11 x1 + ∫dt b1 c1 + + a12 y + + a21 x2 b2 ∫dt c2 a22

23. 由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。 下面举例说明： 例： 试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。

24. Uf=const  Ra ia ua M Ea La J:电动机轴上的转动惯量 f:负载的阻尼摩擦性质

25. 解：由基本规律列写原始方程： 电路方程：

26. 选状态变量: 故得状态方程：

27. 而输出方程为： 最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图

28. u(t) + x1 + + 1 x2 Y(t) 1 x3 + +

29. 小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。 1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段： 输出方程 状态方程 即 u(t) x(t) Y(t) Y=CX+Du

30. 2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。 3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。 4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂 ，其形式是一致的。

31. §1- 2.微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式： 这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。

32. 一.输入项中不含有导数项： 假设单输入单输出线性系统的微分方程为：

34. 其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道， 其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道，

37. 二.输入项中包含有导数项：

38. 以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变: 将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法： 方法二： 首先引入中间变量z，令：

43. 这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。 注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。

44. 例 将以下高阶微分方程： 试用方法二写出其状态空间表达式。 解：按方法二 可得：

45. § 1.3 由传递函数求状态空间表达式 T-F D-E S-E 传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。 根据前面介绍的 微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。

46. 一、传递函数中没有零点时的变换 传递函数为： 系统的微分方程为： 则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：

47. 传递函数也可分解成下图所示的结构。

48. 选状态变量为： 对应的状态空间表达式为：

49. 其中阵和阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示： 能控标准形实现的模拟图

50. 二、传递函数中有零点时的变换 传递函数为： 微分方程为： 则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：