對數函數的導數

5.5 對數函數的導數

5.5 對數函數的導數 學習目標 • 求自然對數函數的導數。 • 用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。 • 利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。 • 求不同底數的指數函數與對數函數的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。對數函數的導數第五章　指數與對數函數 P.5-31

對數函數的導數 • 此結果與連鎖律版本的公式摘要如下：第五章　指數與對數函數 P.5-31

範例1　求對數函數的導數 • 求 f (x) ＝ ln 2x 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

令 u ＝ 2x，則 du/dx ＝ 2，再利用連鎖律可得如下。範例1　求對數函數的導數（解）第五章　指數與對數函數 P.5-31

檢查站 1 • 求 f (x) ＝ ln 5x 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(2x2 + 4) b. f (x) = x ln x 範例 2　求對數函數的導數第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例 2　求對數函數的導數（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-32

求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(x2－ 4) b. f (x) = x2 ln x 檢查站 2 第五章　指數與對數函數 P.5-32

在求對數函數的導數時，不要馬上就做微分，先利用對數性質來改寫函數。要想知道先改寫函數的好處，不妨用連鎖律對 微分，將計算的過程與範例 3比較就了解。學習提示第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例3　微分前先改寫 第五章　指數與對數函數 P.5-32

求函數的導數。 檢查站 3 第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例4　微分前先改寫 • 求 f (x) = ln[x(x2 + 1)2] 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例4　微分前先改寫（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-33

求的導數。 檢查站 4 第五章　指數與對數函數 P.5-33

若不先改寫函數，直接求範例 4 函數的導數是不容易的，當然最後會得到與範例 4 相同的答案，只是計算過程相當麻煩。對數函數的導數第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　求切線方程式 • 求函數 f (x) ＝ 2＋3x ln x圖形在點 (1, 2) 上的切線方程式。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　求切線方程式 (解) • 首先求 f的導數函數圖形在點 (1, 2)上的切線斜率為 f ′(1) ＝ 3＋ 3 ln 1＝ 3＋3(0)＝ 3 利用直線的點斜式可求得切線方程式為 y＝ 3x－1 函數圖形與其切線如圖 5.16 所示。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　求切線方程式 (解) 第五章　指數與對數函數 P.5-33 圖5.16

檢查站 5 • 求 f (x)＝4 ln x圖形在點 (1, 0)上的切線方程式。第五章　指數與對數函數 P.5-33

分析函數的圖形。 範例6　分析圖形第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例6　分析圖形（解） • 從圖 5.17 可知函數在 x ＝ 1 時有極小值。若要以分析法求極小值，令 f 的導數為零並解 x 值，即可得臨界數。第五章　指數與對數函數 P.5-33 圖5.17

範例6　分析圖形（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-33~5-34

範例6　分析圖形（解） • 觀察這兩個可能的臨界數，其中只有正數位於 f 的定義域上，之後利用一階導數檢定法即可確定函數在 x ＝ 1 時有相對極小值。第五章　指數與對數函數 P.5-34

檢查站 6 • 求函數 f (x) ＝ x － 2 ln x 的相對極值。第五章　指數與對數函數 P.5-34

範例7　求變化率 • 一群 200 名大學生在他們大一的第一學期都修過西班牙文課，但是之後就沒有再修西班牙文課。在四年的大學生活中，他們每 6 個月接受一次考試，其平均考試成績 p (百分比) 可寫為 p=91.6 － 15.6 ln(t ＋ 1), 0 ≤ t ≤ 48 其中 t 為時間 (月) ，如圖 5.18 所示。試問一年後考試平均成績的變化率為何？第五章　指數與對數函數 P.5-34

範例7　求變化率（續） 第五章　指數與對數函數 P.5-34 圖5.18

變化率為 當 t ＝ 12 時亦即，平均成績是以每月 1.2% 的速率在遞減。範例7　求變化率（解）第五章　指數與對數函數 P.5-34

檢查站 7 • 假設範例 7 的考試平均成績可寫為 p ＝ 92.3 － 16.9 ln (t ＋ 1)，0 ≤ t ≤ 48，其中 t 為時間 (月)。試問一年後考試平均成績的變化率為何？並與範例 7 的結果做比較。第五章　指數與對數函數 P.5-34

不同底數 • 本章一開始首先介紹一般指數函數，也就是定義 f (x) ＝ ax 其中 a > 0 且 a ≠ 1。其所對應的以 a 為底的對數(logarithm to the base a) 可定義為 loga x ＝ b　若且唯若　ab＝ x 與自然對數函數相同，以 a 為底的對數函數的定義域為所有正數。第五章　指數與對數函數 P.5-34~5-35

範例8　求對數值 a. log2 8 = 3 23 = 8 b. log10 100 = 2 102 = 100 c. 1og10 =－1 10－1 = d. 1og3 81 = 4 34 = 81 第五章　指數與對數函數 P.5-35

不用計算機，試求下列各對數值。 a. log2 16 d. 1og5 125 檢查站 8 第五章　指數與對數函數 P.5-35

不同底數 • 大多數的計算機只有兩個對數按鍵：一個為自然對數，其符號為，另一個則為常用對數，其符號為。至於不同底數的對數可以換底公式來求值。第五章　指數與對數函數 P.5-35

範例9　利用換底公式求對數值 • 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 3 b. log3 6 c. log2 (－1) 第五章　指數與對數函數 P.5-35

每一題可利用換底公式和計算機來作答。 c. log2 (－1)無定義。範例9　利用換底公式求對數值（解）第五章　指數與對數函數 P.5-35

檢查站 9 • 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 5 b. log3 18 c. log4 80 d. log16 0.25 第五章　指數與對數函數 P.5-35

不同底數 • 在計算不以 e 為底數的指數或對數函數的導數時，可以轉換成以 e 為底，或者利用以下的微分法則。第五章　指數與對數函數 P.5-35

根據定義可得 ax＝ e(ln a) x，再令 u ＝ (ln a)x，並對以 e 為底的對數微分，即可推導出第一個法則。不同底數（證明）第五章　指數與對數函數 P.5-35

以 e 為底的換底公式為 ax＝ e(ln a)x 和學習提示第五章　指數與對數函數 P.5-35

放射性碳同位素的半衰期為 5715 年，若在某物體中的碳同位素為1 公克，則 t 年後的碳同位素數量 A 為試問在 t ＝ 10,000 年後同位素數量的變化率為何？範例10　求變化率第五章　指數與對數函數 P.5-36

A 對 t 的導數為 當 t ＝ 10,000 時，該數量的變化率為也就是在此物體中的碳同位素數量以每年 0.000036 公克的速度衰減。範例 10　求變化率（解）第五章　指數與對數函數 P.5-36

總結 (5.5 節) • 寫出自然對數函數的導數，參考範例 1、2、3 與 4 。 • 寫出以 a為底，自然對數函數的導數，參考範例 10。第五章　指數與對數函數 P.5-36

對數函數的導數

對數函數的導數

Presentation Transcript