SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS (versión preliminar)

1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS(versión preliminar) Matemáticas Preuniversitarias M. C.Consuelo Díaz Torres salir < contenido >

2. Medición de distancias Tomando un punto O, desde el cual se puedan ver los puntos A y B, ¿Cómo podemos calcular la distancia entre dos puntos A y B separados por una montaña o un lago? se pueden formar los triángulos OAB y ODE siendo DE paralela a AB. A D O E B ¿Qué relación hay entre los triángulos OAB y ODE? salir < contenido >

3. Calcular la altura de un edificio ¿Es posible calcular la altura de un edificio conociendo la longitud de su sombra y la altura de otro objeto del cual también conocemos la longitud de su sombra? L l S s ¿Que relación hay entre los dos triángulos que se forman? salir < contenido >

4. La sombra de la Tierra A ¿Cómo calcular la longitud x del cono de sombra que proyecta la Tierra? B R r O x S d T Si R es el radio del Sol, r es el radio de la Tierra y d la distancia de la Tierra al Sol. Se forman los triángulos OSA y OTB. ¿Qué relación hay entre estos triángulos? salir < contenido >

5. Actividad Realizar cualquiera de las siguientes actividades, por equipos: • Se les puede dar a los alumnos un paquete con varios triángulos ya recortados para que los clasifiquen. • También se les puede dar el material para que ellos construyan sus propios triángulos y los recorten. El objetivo es observar y discutir la relación entre los ángulos y los lados respectivos de dos triángulos para encontrar criterios de semejanza, así como encontrar la relación entre los perímetros y las áreas de triángulos semejantes. Para el primer caso se puede usar el cuestionario que les envío salir < contenido >

6. Semejanza de triángulos A Definición Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. • Se podría afirmar que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus lados guardan una proporción. b D c e f C F E d B a Razón de proporcionalidad salir < contenido >

7. Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe: • DABC ~ DDEF • Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los ángulos y los lados homólogos. • Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones. • Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos. salir < contenido >

8. Criterios de Semejanza Criterio AAA • Si en dos triángulos las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales, entonces esos dos triángulos son semejantes y viceversa. • Este resultado indica que no es necesario conocer la medida de ninguno de los lados de dos triángulos para saber si son semejantes y que basta con saber que sus ángulos correspondientes son de igual medida. salir < contenido >

9. Criterios de Semejanza Criterio LAL • Si dos triángulos tienen un ángulo congruente comprendido entre lados que son proporcionales entonces, los triángulos son semejantes y viceversa. • Para determinar si dos triángulos son semejantes, basta que dos lados homólogos sean proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual. salir < contenido >

10. Criterios de Semejanza Criterio LLL • Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales entonces esos triángulos son semejantes. • El tercero de los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes establece que los tres lados correspondientes deben ser proporcionales. salir < contenido >

11. Medición de distancias Los triángulos OAB y ODE son semejantes A D O E B Por tanto si conocemos las longitudes de los segmentos OA, OE y DE, tenemos que o salir < contenido >

12. Calcular la altura de un edificio Los dos triángulos formados son semejantes. Por lo que o L l S s salir < contenido >

13. La sombra de la Tierra Los triángulos OSA y OTB también son semejantes. A B R r O x S d T Por lo tanto Despejando a x salir < contenido >