Bab 9 persamaan pembeza separa
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA PowerPoint PPT Presentation


  • 83 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA. PENGENALAN. Persamaan Pembeza Separa (PPS): Persamaan yg mempunyai suatu kaitan terbitan sebuah fungsi dengan fungsi tersebut dan beberapa pembolehubah Cth PPS peringkat kedua yg umum: PPS dikelaskan kpd 3 jenis: Eliptik Parabolik Hiperbolik.

Download Presentation

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Bab 9 persamaan pembeza separa

BAB 9PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA


Pengenalan

PENGENALAN

  • Persamaan Pembeza Separa (PPS):

    • Persamaan yg mempunyai suatu kaitan terbitan sebuah fungsi dengan fungsi tersebut dan beberapa pembolehubah

    • Cth PPS peringkat kedua yg umum:

    • PPS dikelaskan kpd 3 jenis:

      • Eliptik

      • Parabolik

      • Hiperbolik

dlm pembolehubah

x dan y dgn A,B,C,D

,E,F,G adalah fungsi

dlm sebutan x dan y

< 0

= 0

> 0

jika B2-4AC


Bab 9 persamaan pembeza separa

  • PPS Eliptik

    • Terdiri drpd:

      • persamaan Laplace

      • Persamaan poisson

        dalam p/ubah x dan y di mana A=C=1 dan B=0. Maka B2-4AC=0-4(1)(1)=-4<0

  • PPS Parabolik

    • Cth: Persamaan Haba iaitu

      dalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=C=0. Maka B2-4AC=0-4(1)(0)=0

  • PPS Hiperbolik

    • Cth: Persamaan Gelombang

      dalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=0 dan C=-a2. Maka B2-4AC=0-4(1)(-a2)=4a2 >0


Bab 9 persamaan pembeza separa

KAEDAH BEZA TERHINGGA

  • Nilai yg hendak dikira bergantung kpd keluasan domain segiempat 0≤x≤a dan 0≤y≤b

  • Utk memudahkan kiraan selang 0≤x≤a dan 0≤y≤b dibahagikan kpd N jalur dgn keadaan h=a/N dan k=b/N. Maka titik pd paksi x dan y bg domain segiempat seperti berikut:

    Pada paksi-x : xi = ih di mana i=0,1,2,....,N

    Pada paksi-y : yj = jk di mana j=0,1,2,...,N


Bab 9 persamaan pembeza separa

b

u(xi,yj)  ui,j

yj

N jalur

y1

a

xi

xi+1

x1

M jalur

  • Tandaan ui,j digunakan sbg penyelesaian berangka


Bab 9 persamaan pembeza separa

du= ui,j +1 - ui,j -1

dy i,,j 2k

du= ui,j +1 - ui,j

dy i,,j k

ATAU

ATAU

d2u= ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1

dy2i,,j k2

du= ui,j - ui,j -1

dy i,,j k

DAN

du= ui+1,j - ui-1,j

dx i,,j 2h

du= ui+1,j - ui,j

dx i,,j h

ATAU

ATAU

d2u= ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j

dx2i,,j h2

du= ui,j - ui-1,j

dx i,,j h

DAN


Persamaan laplace

PERSAMAAN LAPLACE

ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j +ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1 = 0

h2 k2

Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehi

ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 ]= 0

1

ui,j+1

ui,j

ui-1,j

ui+1,j

4

1

1

1

ui,j-1


Contoh

contoh

  • Bagi persamaan Laplace

    0<x<1, 0<y<1

    Dgn syarat sempadan

    u(x, 0) = x,u(x, 1) = 1, 0 x  1

    u(0, y) = y, u(1, y) = 1, 0 y  1

    Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 3


Penyelesaian

Penyelesaian:

h = a/M = 1/3

k = b/N = 1/3

1

j=3

j=2

j=1

j=0

2/3

xi = (1/3) i

yj = (1/3) j

1/3

0,0

1/3

2/3

1

i= 0 i=1i=2 i=3

Sempadan bawah : u(x, 0) = x

u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/3, 0) = 1/3

u 2,0 = u(2/3, 0) = 2/3 u 3,0 = u(1, 0) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

Penyelesaian:

1

1

1

1

j=3

j=2

j=1

j=0

2/3

1/3

0,0

1/3

2/3

1

i= 0 i=1i=2 i=3

Sempadan atas : u(x, 1) = 1

u 0,3 = u(0, 1) = 1, u 1,3 = u(1/3, 1) = 1

u 2,3 = u(2/3, 1) = 2/3 u 3,3 = u(1, 1) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

Penyelesaian:

1

1

1

1

j=3

j=2

j=1

j=0

2/3

1/3

0,0

1/3

2/3

1

i= 0 i=1i=2 i=3

Sempadan kiri : u(0, y) = y

u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/3) = 1/3

u 0,2 = u(0, 2/3) = 2/3 u 0,3 = u(0, 1) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

Penyelesaian:

1

1

1

1

j=3

j=2

j=1

j=0

1

2/3

1

1/3

0,0

1/3

2/3

1

i= 0 i=1i=2 i=3

Sempadan kanan : u(1, y) = 1

u 1,0 = u(1, 0) = 1, u 0,1 = u(1, 1/3) = 1

u 1,2 = u(1, 2/3) = 1 u 0,3 = u(1, 1) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

Penyelesaian:

1

1

1

1

j=3

j=2

j=1

j=0

2/3

1

1

1/3

0,0

1/3

2/3

1

i= 0 i=1i=2 i=3

Nak cari u 1,1 , u 1,2 , u 2,1 , u 2,2 ,

U 1,1 = ¼[u 1,2 + u 2,1 + u 1,0 + u 0,1 ]

U 1,2= ¼[u 1,3 + u 2,2 + u 1,1 + u 0,2 ]

U 2,1 = ¼[u 2,2 + u 1,1 + u 2,0 + u 1,1 ]

U 2,2 = ¼[u 2,3 + u 3,2 + u 2,1 + u 1,2 ]


Persamaan poisson

PERSAMAAN POISSON

ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j +ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1 = f i, j

h2 k2

Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehi

ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ]

1

ui,j+1

-h2f i, j

ui,j

ui-1,j

ui+1,j

4

1

1

1

ui,j-1


Bab 9 persamaan pembeza separa

contoh

2

2

u

u

  • Bagi persamaan poisson

    0<x<1, 0<y<1

    Dgn syarat sempadan

    u(x, 0) = x3,u(x, 1) = x3 -3x+1, 0 x  1

    u(0, y) = y, u(1, y) = -2y+1, 0 y  1

    Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 2

+

=

6x

2

2

x

y


Bab 9 persamaan pembeza separa

U=1

U=0.125

Penyelesaian:

h = a/M = 1/2

k = b/N = 1/2

1

j=2

j=1

j=0

xi = (1/2) i

yj = (1/2) j

1/2

0,0

1/2

1

i= 0 i=1 i=2

Sempadan bawah : u(x, 0) = x3

u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/2, 0) = 0.125

u 2,0 = u(1, 0) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

U=-1

U=-0.375

Penyelesaian:

1

j=2

j=1

j=0

1/2

0,0

1/2

1

i= 0 i=1 i=2

Sempadan atas : u(x, 1) = x3 -3x+1,

u 0,2 = u(0, 1) = 1, u 1,2 = u(1/2, 1) = -0.375

u 2,2 = u(1, 1) = -1


Bab 9 persamaan pembeza separa

Penyelesaian:

1

j=2

j=1

j=0

1/2

0,0

1/2

1

i= 0 i=1 i=2

Sempadan kiri : u(0, y) = y,

u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/2) = 1/2

u 0,2 = u(0, 1) = 1


Bab 9 persamaan pembeza separa

U=0

U=-1

Penyelesaian:

1

j=2

j=1

j=0

1/2

0,0

1/2

1

i= 0 i=1 i=2

Sempadan kanan : u(1, y) = -2y+1,

u 2,0 = u(1, 0) = 1, u 2,1 = u(1, 1/2) = 0

u 2,2 = u(1, 1) = -1


Bab 9 persamaan pembeza separa

U=0

U=-1

Penyelesaian:

U=1

U=-0.375

j=2

j=1

j=0

U=1/2

U=0

U=0.125

U=1

i= 0 i=1 i=2

Nak cari u 1,1

ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ]

u 1,1 = ¼[u0,1 + u2,1 + u1,0 + u1,2 – (1/2)26x1]

= ¼[0.5+0+0.125-0.375-0.25(6)(0.5)]

= -0.125


  • Login