INTRODUZIONE AI FRATTALI

1. INTRODUZIONE AI FRATTALI

2. B. Mandelbrot: Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circonferenze, e la corteccia non è regolare, nemmeno la luce viaggia secondo una linea retta... La natura non rivela semplicemente un grado più alto, ma un livello del tutto diverso di complessità. Il numero di scale di lunghezza che si presentano è, infatti, praticamente infinito. Tale varietà di configurazioni è una sfida a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come “informi”, a investigare la morfologia dell'amorfo.

3. CHE COSA E’ UN FRATTALE? • Dare una definizione di frattale non è semplice, proviamo quindi a mettere in luce le caratteristiche principali di questi oggetti matematici • AUTOSIMILARITA’ • DIMENSIONE NON INTERA • AREA DEFINITA E PERIMETRO INFINITO

4. Struttura autosimilare All'interno di uno stesso modello si evidenziano una serie di modelli simili al modello di base, in modi sempre differenti, ma analoghi, su scala progressivamente più piccola o più vasta.

5. Algoritmo ricorsivo Un insieme di procedure applicate ad un oggetto per produrre nuovi oggetti, poi applicate ai nuovi oggetti per produrre nuovi oggetti, così via fino all’infinito, è detto algoritmo ricorsivo. Il prodotto finale si dice autosomigliante se tutti gli oggetti finali sono identici all’originale a meno di cambiamenti di scala, orentazione o posizione (trasformazioni geometriche) Escher Limite del quadrato

6. ALBERELLO La caratteristica principale di molti frattali naturali è la ramificazione. Attraverso la biforcazione di un segmento si possono ottenere fronde e alberi abbastanza realistici. Nel caso, rappresentato nell’animazione a destra, a ogni passo della costruzione si dimezza la misura del segmento precedente e i rami aumentano in progressione geometrica.

7. IMMAGINI Esempi dell’insieme Julia

8. ESEMPI • FRATTALI CLASSICI • La curva di Koch • Il triangolo di Sierpinski • La polvere di Cantor • La curva di Peano • ARTE E MUSICA

9. Gli insiemi di Julia • L’insieme di Mandelbrot

18. Distinguiamo quattro livelli di complessità per una curva piana: • Curve regolari (retta, circonferenza,…) • Curve frattali classiche (insiemi di Julia): più o meno complicate, ma andando in profondità, non si aggiungono dettagli • Insieme di Mandelbrot: andando in profondità, c’è la costante comparsa di nuovi dettagli, ma rimangono dei particolari che si osservano globalmente • Curve irregolari: andando in profondità, il comportamento è sempre nuovo, caotico e imprevisto

19. LA DIMENSIONE FRATTALE

20. Cosa si intende per dimensione? • Punto: Dim=0 • Segmento: Dim=1 (una coordinata ortogonale) • Quadrato: Dim=2 (due coordinate ortogonali) • Cubo: Dim=3 (tre coordinate ortogonali) • … • “Ipercubo”: Dim=n (n coordinate ortogonali)

21. Procedimento per ottenere la dimensione di un insieme • Se dividiamo un segmento in N=k parti uguali, otteniamo N’=k segmenti più piccoli • Se dividiamo i lati di un quadrato in N=k parti uguali, otteniamo N’=k² quadrati più piccoli • Se dividiamo gli spigoli di un cubo in N=k parti uguali, otteniamo N’=k³ cubi più piccoli • Se dividiamo gli spigoli di un ipercubo in N=k parti uguali, otteniamo N’=kⁿ ipercubi più piccoli

22. GENERALIZZAZIONE • Si chiama dimensione frattale, basata sull’autosimilarità, il numero d tale che sia verificata la relazione N= s -d dove N è il numero di copie dell’oggetto che si ottengono sezionandolo con un fattore di scala s

23. Se applichiamo questa definizione alle curve frattali introdotte precedentemente, troveremo che d deve assumere un valore frazionario • I frattali devono il loro nome proprio al fatto che hanno dimensione frazionaria

24. La curva di Koch

25. Dimensione della curva di Koch Ad ogni passo il fattore di scala è 1/3 e il numero N è 4 l’equazione (1/3) d = 4 Non ammette soluzione intera Sappiamo che risulta d = log 4/ log 3 Cioè circa 1,2619

26. Il Triangolo di Sierpinski Ad ogni passo s =1/2 e N = 3 2 d = 3 D = log 3/ log2 Cioè Circa 1,5850

27. La polvere di Cantor Ad ogni passo s = 1/3 N= 2 3 d =2 D = log 2/ log 3 Cioè circa 0,6309

28. La curva di Peano Ad ogni iterazione S =1/3 N= 9 In questo caso la dimensione è intera, uguale a 2 Ma è paradossale il fatto che una curvaabbia la stessa dimensione di un piano!

29. Si può dare ora la seguente definizione Si dice FRATTALE un oggetto autosimile la cui dimensione frattale è strettamente maggiore della dimensione topologica