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6. Capitalización compuesta

6. Capitalización compuesta. Capitalización compuesta. Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera. Los elementos que intervienen: C o : capital inicial. n : duración.

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6. Capitalización compuesta

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  1. 6. Capitalización compuesta

  2. Capitalización compuesta • Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera. • Los elementos que intervienen: • Co: capital inicial. • n: duración. • i: tipo de interés anual. • Is: intereses del año s. I = Cs1 ∙ i • IT: interés total. IT • Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT

  3. Capital final o montante • Al final del primer año: C1 = Co + I1; I1 = Co ∙ i • C1 = Co + Co∙ i = Co ∙ (1 + i) • Final 2.º año: C2 = Co ∙ (1+i) ∙ (1+i) = Co ∙ (1+i)2 • Final 3.er año: C3 = Co ∙ (1 + i)3 • Final año n: Cn = Co ∙ (1 + i)n

  4. Capital inicial • Sabiendo que: Cn = Co∙ (1 + i)n,y despejando Co: Co = Cn / (1 + i)n Co = Cn ∙ (1 + i)-n Si se conocen los intereses: IT = Cn - Co; Co = Cn - IT

  5. Cálculo de losintereses totales • Cn= Co + IT • IT = Cn – Co = Co ∙ (1+i)n– Co = Co∙[(1 + i)n– 1] • IT = Co ∙ [(1 + i)n – 1]

  6. Cálculo del tipo de interés • Partiendo de: Cn= Co ∙ (1 + i)n • Cn/Co = (1 + i)n • (Cn/Co)1/n = 1 + i • i = (Cn/Co)1/n – 1

  7. Cálculo del tiempo • Partiendo de: Cn= Co∙(1 + i)n • log Cn = log Co ∙ (1 + i)n • log Cn = log Co+ n ∙ (1 + i) • n = (log Cn- log Co) / log (1 + i)

  8. Diferencias entrecapitalización compuesta y simple • En capitalización compuesta los intereses son productivos; se incorporan al capital para generar nuevos intereses, y en capitalización simple no; siempre se calculan los intereses sobre el capital inicial. • El montante coincide en capitalización simple y compuesta en dos momentos: en el momento 0 y en el momento 1 año. En el resto de casos el montante será mayor en capitalización simple para periodos inferiores al año y será mayor en capitalización compuesta para periodos superiores al año.

  9. Interés nominal • Es un tanto proporcional anual (J(m)) y se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés. J(m) = m ∙ i(m) • Al despejar i(m); i(m) = J(m)/m

  10. Tantos equivalentes Para que el tanto i sea equivalente a i(m), los montantes deben ser iguales, por tanto: (1 + i) = [1 + i(m)]m i(m) = (1 + i)1/m – 1; i = [1 + i(m)]m – 1

  11. Tipo nominal y tipo efectivo Sabiendo que i = [1 + i(m)]m– 1 y que i(m) = J(m)/m i= [1 + J(m)/m] – 1 Comparando, se observa que la tasa anual equivalente, i, es mayor que el tipo de interés nominal, J(m).

  12. Capitalización fraccionada • Se utiliza cuando el periodo de capitalización no es anual, sino, mensual, bimensual, trimestral, etc. • La fórmula del capital final será: Cn = Co ∙ [1 + i(m)]n+m • Existen dos formas de cálculo: • Convenio exponencial: Cn = Co ∙ (1 + i)n+m • Convenio lineal: Cn = Co ∙ (1 + i)n ∙ (1 + m ∙ i)

  13. Actualización compuestao descuento compuesto • Operación financiera que sustituye un capital futuro por otro con vencimiento presente. D = Cn– Co. Existen dos tipos de descuento: • Descuento racional o matemático: Dr = Cn · [1 – (1 + i)n] • Descuento comercial: Dc= Cn · [1 – (1 –d)n]; d = i/(1 + i);i = d/(1 + d)

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