Identificando linguagens n o regulares
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Identificando Linguagens Não Regulares. Linguagens regulares podem ser finitas; Uma linguagem é regular sss, em processando qualquer cadeia, a informação a ser armazenada em qualquer estágio é estritamente limitada. Exemplo: A linguagem L={ a n b n |n  0} não é regular.

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Identificando Linguagens Não Regulares

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Presentation Transcript


Identificando linguagens n o regulares

Identificando Linguagens Não Regulares

  • Linguagens regulares podem ser finitas;

  • Uma linguagem é regular sss, em processando qualquer cadeia, a informação a ser armazenada em qualquer estágio é estritamente limitada.


Identificando linguagens n o regulares

  • Exemplo: A linguagem L={ an bn|n0} não é regular.

  • Suponha que L é regular. Então existe um AFD M=(Q, {a,b},S,q0,F) que a reconhe-ce. Seja k o número de estados de M. Consideremos o funcionamento de M na entrada anbn, onde n k


Identificando linguagens n o regulares

aaaaaaaaaabbbbbbbbbb

q 0 n n r

  • Como nk, deve existir algum estado p tal que M está em p mais de uma vez enquanto percorrendo a parte inicial da sequência de a’s (princípio da casa dos pombos).


Identificando linguagens n o regulares

  • Quebre anbn em 3 pedaços u, v, w onde v é a cadeia de a’s percorrida entre duas ocorrências de p.

    aaaaaa aaaabbbbbbbbbb

    q0u pvpw r


Identificando linguagens n o regulares

  • Seja j=|v|>0 (j=4, no exemplo)

    *(q0,u) = p

    *(p,v) = p

    *(p,w) = r  F

  • Logo podemos remover v o que resultaria numa cadeia ser erroneamente aceita:


Identificando linguagens n o regulares

*(q0,uw) = *(*(q0,u),w)

= *(p,w)

= r  F

aaaaaa bbbbbbbbbb

q0 p r u w


Lema do bombeamento pumping lemma

Lema do Bombeamento (Pumping Lemma)

TEOREMA: Seja L uma linguagem regular. Então existe um inteiro positivo m, tal que w  L com |w| m pode ser decomposta comow= xyz com |xz|m e |y|1 tal que wi=xyiz está também em L para todo i = 0,1,2, ...


Prova

Prova

  • Sejam q0, q1,…, qn os estados do AFD que reconhece L. Agora tome uma cadeia w  L tal que |w|=km=n+1.

  • Seja q0,qi,qj, … ,qf o conjunto de estados do autômato no reconhe-cimento de w. Como esta cadeia tem no mínimo n+1 entradas, pelo menos um estado deve ser repetido, e tal repetição não deve começar após o n-ésimo movimento.


Identificando linguagens n o regulares

  • Portanto, a sequência deve ter a seguinte forma

    q0,qi,qj, … ,qr, … ,qr, …, qf

  • indicando que devem existir subcadeias x, y, z de w tal que

    *(q0,x)=qr, *(qr,y)=qr, *(qr, z)=qf com |xz|  n+1 = m e |y|1.

  • Donde segue imediatamente que

    *(q0,xz)=qf, *(q0, xy2z)=qf, *(q0,xy3z)=qf ...

    q.e.d


Gram ticas

Gramáticas

  • Gramáticauma ferramenta comum e poderosa para definir linguagens.

  • Definição: Uma gramática G é uma quádrupla G=(V, T, S, P) onde:

    • V é um conjto finito de variáveis ou símbolosnão-terminais;

    • T é um conjunto finito de símbolos terminais;

    • S  V é um símbolo especial chamado de símbolo inicial ou variável de início;

    • P é um conjunto finito de produções


Identificando linguagens n o regulares

  • As regras de produção são da forma xy, onde x é um elemento de (VT)+ e y está em (VT)*.

  • As produções são aplicadas como segue:

    • dada uma cadeia w da forma w=uxv, dizemos que a produção é aplicável a esta cadeia e podemos usá-la para trocar x por y, obtendo assim uma nova cadeia z=uyv

  • Isto é escrito por wz (w deriva z ou z éderivada de w ou z deriva de w).


Identificando linguagens n o regulares

  • Se w1w2...wn, dizemos que w1 deriva wn e escrevemos w1*wn

  • * indica que foi tomado um número não-especificado de etapas (inclu-indo zero) para derivar wn de w1. Logo w*w sempre se dá.

  • Para indicar que pelo menos uma produção foi aplicada, escreve-mos w+v


Identificando linguagens n o regulares

  • Aplicando as regras de produção em ordens diferentes, uma gramática pode gerar muitas cadeias. O conjunto de todas tais cadeias é a linguagem definida ou gerada pela gramática.


Linguagem gerada

Linguagem Gerada

  • Definição: Seja G = (V, T, S, P) uma gramática. Então o conjun-to L(G) = {wT* | S*w} é a linguagem gerada por G.

  • Se w  L (G), então a sequência Sw1w2 … wnw é uma derivação da sentença (ou palavra) w.


Exemplo

Exemplo

  • G = <{S}, {a,b}, S, P> onde P é dado por SaSb e S

  • Então SaSb  aaSbb  aabb

  • Logo podemos escrever S*aabb

  • Uma gramática define completamen-te L(G), porém pode não ser fácil obter uma descrição explícita da linguagem a partir da gramática.

  • Neste exemplo, no entanto, não é difícil conjecturar que L(G)={anbn|n0}


Gram ticas regulares

Gramáticas Regulares

  • Uma gramática G = <V, T,S,P> diz-se linear à direita se todas as produções são da forma

    A xB ou Ax

    onde A, B  V, e x  T*.

  • e linear à esquerda se todas as produções são da forma

    AxB Ax


Identificando linguagens n o regulares

  • Uma gramática regular é uma que é ou linear à direita ou linear à esquerda.

  • Observe que numa gramática regular no máximo aparece uma variável no lado direito de qualquer produção. Além disso, essa variável está mais à esquerda ou mais a direita de qualquer produção.


Exemplos

Exemplos

  • G1 = ({s},{a,b},S,P1), P1: SabS|a é linear à direita.

  • SabS  ababS  ababa

  • L (G1) é a linguagem L((ab)*a)

  • G2 = ({S,S1,S2},{a,b},S,P2), com produções SS1ab, S1S1 ab|S2, S2a é linear à esquerda.

  • S S1abS1ababS2ababaabab

  • L(G2) é a linguagem L(a(ab)*)


Cuidado

Cuidado!

A gramática

G=({S,A,B},{a,b},S,P)

com produções

SA AaB| BAb

não é regular!


Gram ticas lineares direita geram linguagens regulares

Gramáticas Lineares À Direita Geram Linguagens Regulares

  • Construir um AFND que simula as derivações de uma gramática linear à direita.

    Ab…cDAb…cdE por DdE

  • O AFND vai do estado D para o estado E quando o símbolo d for encontrado.


Identificando linguagens n o regulares

Teorema. Seja G = (V, T, S, P) uma gramática linear à direita. Então L(G) é uma linguagem regular.

Prova. Assumir V={V0,V1,…,Vp}, com S=V0 e que temos produ-ções da forma

V0v1Vi, Viv2Vj, …, ou Vnvl, …


Identificando linguagens n o regulares

  • Se w é uma cadeia em L(G), então por causa das formas das produções em G, a derivação deve ter a forma da equação acima.

    V0 v1Vi

     v1v2Vj

    * v1v2… vk Vn

     v1v2… vk ve = w


Identificando linguagens n o regulares

  • O autômato a ser construído repro-duzirá a derivação, consumindo cada um desses v’s.

  • O estado inicial do autômato será ro-tulado V0, e para cada Vi existirá um estado não final rotulado Vi.

  • Para cada Via1a2…amVj definire-mos tal que *(Vi,a1a2…am)=Vj

  • Para cada Via1a2…am ,*(Vi,a1a2…am)=Vf, onde Vf é um estado final. Os estados intermedi-ários não são de interesse e podem ser dados rótulos arbitrários.


Identificando linguagens n o regulares

vi

vj

a1 a2 am

...

representa Via1a2…amVj

a1 a2 am

representa Via1a2…am

vi

vf


Identificando linguagens n o regulares

  • Suponha agora que w  L (G). No AFND existe uma aresta de V0 a Vi rotulada v1, de Vi a Vj rotulada v2, etc., tal que Vf  *(V0, w), e w é aceita por M.

  • Inversamente, suponha que w é aceita por M. Para aceitar w o autômato tem de passar pela sequência de estados V0, Vi,…,Vf usando caminhos rotulados v1,v2,…,vl


Identificando linguagens n o regulares

  • Portanto, w deve ter a forma w=v1v2…vkvl e a derivação

    V0v1Viv1v2Vj*v1v2…vkVk

     v1v2…vkvl

    é possível. Logo W está em L(G), e assim o teorema está provado.


Exemplo1

Exemplo

  • Construir um autômato que aceita a linguagem gerada pela gramática

    V0aV1

    V1abV0 |b

  • começamos do grafo de transição com vértices V0, V1 e Vf.


Identificando linguagens n o regulares

  • A primeira regra de produção cria uma aresta rotulada a entre V0 e V1. Para segunda regra, precisamos introduzir um vértice adicional tal que existe um caminho rotulado ab entre V1 e V0.


Identificando linguagens n o regulares

  • Finalmente, precisamos adicionar uma aresta rotulada b entre V1 e Vf

  • A linguagem gerada pela gramática e reconhecida pelo autômato é a linguagem regular L ((aab)*ab)

b

a

v0

v1

vf

b

a

v2


Gram ticas lineares direita para linguagens regulares

Gramáticas Lineares À Direita Para Linguagens Regulares

  • Começamos agora do AFD para a linguagem e invertemos a construção do teorema anterior

  • Os estados do AFD tornam-se as variáveis da gramática, e

  • Os símbolos que causam as transições tornam-se os terminais nas produções


Identificando linguagens n o regulares

  • Teorema: Se L é uma linguagem regular sobre o alfabeto , então existe uma gramática linear à direita G = (V,,S,P) tal que L = L(G).


Identificando linguagens n o regulares

  • Prova: Seja M = (Q,,,q0, F) um AFD que aceita L. Assumiremos que Q = {q0,q1,…, qn) e  = {a1, a2,…am}.

  • Vamos construir uma gramática linear à direita G = (V, , S, P) com V = {q0, q1,…,qn} e S = q0.

  • Para cada transição  (qi, aj) = qk de M, colocamos em P a produção qiajqk.

  • Além disso, se qk está em F, acrescentamos a P a produção q.


Identificando linguagens n o regulares

  • Primeiro mostramos que G defini-da dessa maneira pode gerar toda cadeia em L. Considere w  L da forma

    w = aiaj…akal.

  • Para M aceitar essa cadeia ele deve se movimentar via

     (q0, ai) = qp,

     (qp, aj) = qr,

    ...

     (qs, ak) = qt,

     (qt, al) = qf F


Identificando linguagens n o regulares

  • Por construção, a gramática terá uma produção para cada um desses ’s. Portanto, podemos fazer a derivação

    q0aiqpaiajqr*aiaj…akqt

     aiaj…akalqfaiaj…akal

    com a gramática G, e w  L(G).


Identificando linguagens n o regulares

  • Inversamente, se w  L(G), então sua derivação deve ter a forma da equação acima, mas isto implica que

     (q0, ai, aj…akal) = qf,

    completando a prova.

    q.e.d.


Equival ncia entre linguagens regulares e gram ticas regulares

Equivalência Entre Linguagens Regulares E Gramáticas Regulares

  • Os resultados anteriores estabele-cem a conexão entre linguagens regulares e gramáticas lineares à direita.

  • Podemos fazer uma conexão análo-ga entre linguagens regulares e gramáticas lineares à esquerda, mostrando assim, a equivalência de gramáticas e linguagens regulares.


Identificando linguagens n o regulares

Teorema.

Uma linguagem é regular se e somente se existe uma gramáti-ca regular G tal que L = L(G).


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