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第五节 格林公式  平面上曲线积分与路径无 关的条件

第五节 格林公式  平面上曲线积分与路径无 关的条件. 第五模块  二 重积分与曲线积分. 一、 格林 ( Green ) 公式. 二、 平面上曲线积分与路径 无关的条件. 一、 格林 ( Green ) 公式. 定理 ( 格林定理 ) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域 , 函数 P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连续的偏导数 , 则. ①. 其中曲线积分是按沿 L 的正向计算的 , 公式 ① 称为 格林公式. y.

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第五节 格林公式  平面上曲线积分与路径无 关的条件

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  1. 第五节 格林公式  平面上曲线积分与路径无 关的条件 第五模块 二重积分与曲线积分 一、格林(Green)公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的条件

  2. 一、格林(Green)公式 定理(格林定理) 设D是以分段光滑曲线L为边界的平面有界闭区域,函数P(x, y) 及Q(x, y) 在D上具有一阶连续的偏导数,则 ①

  3. 其中曲线积分是按沿L的正向计算的,公式 ①称为格林公式. y y = 2(x) L C B D A y =1(x) E O a b x

  4. 证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个.例如区域 D 为图所示,于是根据二重积分的计算法,有

  5. 另一方面.由曲线积分计算,有

  6. 所以 同理可证 两式相加,即得

  7. 取 P(x, y) = -y,Q(x, y) = x,由格林公式得 上式左端是区域 D的面积 A的两倍,因此有

  8.   例1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A . 解

  9. 其中 L 为正向圆周 x2 + y2 = R2. 例2 计算 解 因为 P(x, y) = -x2y,Q(x, y) = xy2,

  10. 所以,由格林公式有

  11. 其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 + y2 = ax(a > 0). 例3 计算曲线积分

  12.   解 如果添加有向线段 OA,则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D. y   因为 P(x, y) = exsin y – my, Q(x, y) = excos y-m, n D A(a, 0) 所以 O x

  13. 则由格林公式得

  14. 二、平面上曲线积分与路径   无关的条件 设D是一个开区域, 如果对D内任意指定的两点A与B, 以及D内从点A到点B的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2, 等式

  15. y D B L2 L1 A x O 恒成立,则称曲线积分 在 D内与路径无关.这时,我们可将曲线积分记为

  16. (a) (b)   如果区域 D内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于 D, 直观地说,单连通域就是没有空洞的区域. 则 D称为单连通域. (a)图中的区域是单连通域, (b)图中的两个区域都不是单连通域. 仅在区域中挖去一个点, 它也不是单连通域. (b)图中右边的区域,

  17.   定理1 在区域D中,曲线积分 与路径无关的充要条件是:对 D内任意一条闭曲线C,有

  18. 因为曲线积分      在 D 内与路径无关,所以 设 AnBmA是 D内任意一条闭曲线. y D B m n A x O 证 先证必要性. 因此

  19. 恒有 y D B m n A x O 这就说明了曲线积分 与路径无关. 再证充分性. AnB 与 AmB 是 D 内的任意两条路径. 设 A、B是 D 内的任意两点, 因为对 D内任意一条闭曲线 C, 所以由题设有 因此

  20.   定理2设函数P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域D内有一阶连续偏导数,则曲线积分 与路径无关的充要条件是

  21. 因为 于是由定理 1 知,曲线积分 在 D内与路径无关. 证 先证充分性. (x, y)  D,所以对 D内任意一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域 D1, 由格林公式有 因为 D1 D, 所以 D1是单连域, 必要性证明从略.

  22. 例4 计算 其中 L是摆线 x = t – sin t, y = 1- cos t,从点 A(2p, 0) 到点 O(0, 0) 的一段弧. 解 显然,用这段路径来计算是很复杂且困难. 其中 P(x, y) = x2y + 3xex, 能否换一条路径呢?

  23. 再选一条路径 L1: 由 A(2p, 0) 沿 x轴到原点. 由 L与 L1所围的平面域是否单连通域. 审查一下: 现在是连续的.所围的域是单连通域, P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续, 这样可以换为在 L1上求曲线积分, y 即 L O x A L1

  24. 因为 L1上 dy = 0,y = 0 所以上式为

  25. y L x O A B 其中 L由点 A(-p, -p) 经曲线 y = pcos x 到点 B(p, -p) (如图). 例5 计算   解 如果不换路径,计算非常困难,为了换路径,先要计算 P、Q 的偏导数. 则

  26. 以 为半径的圆周,由 A经大半圆到 B为 L1,    如果换成由 A经直线到 B为 L1,则 L 与 L1所围的平面域内函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在.   再考虑换一条路径.    这就是说它们所围的域不是单连通域.所以不满足将 L换为 L1的条件, 作一个以原点为圆心,    则此时,L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) , Q(x, y) 的偏导就连续了.     即 L与 L1所围的平面域为单连通域.这就可以将 L换为 L1. L1 的参数方程为

  27. 代入,得

  28.   从例 4,例 5 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤: 则可进行下一步,否则就是积分与路径有关. 是否相等.如果 1. 计算 使与原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y)与Q(x, y) 偏导数连续,即所围的区域为单连通域, 2. 选一条路径(与原路径同起、终点)L1,  则可将路径 L换为L1.

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