1 / 38

Číselné těleso

Definice 29. Číselné těleso. Buď T podmnožinou komplexních čísel. Množinu T nazveme číselným tělesem , je-li alespoň dvouprvková a právě když platí. 1). 2). 3). 4).

julie
Download Presentation

Číselné těleso

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Definice 29. Číselné těleso Buď T podmnožinou komplexních čísel. Množinu T nazveme číselným tělesem, je-li alespoň dvouprvková a právě když platí 1) 2) 3) 4) tj. je-li množina T uzavřená vůči sčítání, odčítání, násobení a dělení. Číselná tělesa jsou množiny Q, R a C, Q je nejmenší ve smyslu inkluze. Pozn. : v přednáškách o lineární algebře budeme značit čísla (prvky z tělesa) řeckými písmeny (α, β, γ, δ …), kdežto vektory písmeny latinskými. Tato notace se v matematice často používá. Ve fyzice se setkáme spíše s notací, kde jsou čísla i vektory latinkou, vektory jsou ovšem psány tučně nebo s šipkou. V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

  2. Speciální značení pro odlišení normálních a vektorových operací. Definice 30. Vektorový prostor Nechť jsou dány následující matematické objekty: 1) Číselné těleso T. 2) Neprázdná množina V. 3) součet vektorů Zobrazení 4) Zobrazení součin čísla a vektoru Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi , právě když platí axiomy vektorového prostoru : S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání : S2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :

  3. Vektorový prostor S3) Existence nulového vektoru : S3) Existence opačného vektoru : Opačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b. N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem: N2) Násobení jedničkou :

  4. Vektorový prostor D1) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání čísel : D2) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání vektorů : Pozn. : Vektorový prostor musí být uzavřený vůči sčítání vektorů a násobení vektoru číslem. Axiomy pak zajistí, že vektory se chovají obdobně jako čísla a podléhají obdobným zákonům. To umožňuje konstruovat rozsáhlý matematický aparát bez toho, aniž bychom doopravdy znali vlastní podobu vektorů. Pozn. : V dalších částech přednášky budeme vektorový součet a násobení vektoru číslem značit již standardně + a . , z kontextu bude jasné, zda se jedná o vektorové nebo klasické operace.

  5. Věta 3. Vektorový prostor Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. potom platí: 1) Existuje právě jeden nulový vektor. 2) Ke každému vektoru z V náleží právě jeden vektor opačný. 3) Pro každé má rovnice a = b + x právě jedno řešení, a to x = -b + a. 4) 5) 6) Tato věta říká o vektorech věci, které u čísel považujeme za naprosto samozřejmé. Protože ale vektory nemusejí být čísla, ale naprosto cokoliv, a protože operace s nimi mohou bát naprosto libovolné, je třeba tvrzení dokázat. Dokážeme jen tvrzení 1) a 2).

  6. Vektorový prostor Důkaz 1) : Z axiómu S3 víme, že existuje (alespoň) jeden nulový vektor. Že je právě jeden dokážeme sporem – uvažujme, co se stane, když budeme předpokládat existenci dvou různých, θ1a θ2. Muselo by zároveň platit (S3) Protože a je libovolné, můžeme si postupně zvolit a = θ1,a = θ2, z čehož plyne a protože platí komutativní zákon (axiom S1), plyne z toho, že θ1= θ2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva (nulové) vektory jsou různé.

  7. Vektorový prostor Důkaz 2) : Existenci opačného vektoru zajišťuje axiom S4. Jednoznačnost opět dokážeme sporem. Kdyby existovaly dva opačné vektory b1 a b2 k vektoru a, pak by muselo zároveň platit využijeme-li axiomy S1, S2 a S3, pak několika jednoduchými úpravami získáme došli jsme tedy k b1= b2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva vektory jsou různé. Q.E.D. Důkazy ostatních částí jsou stejně snadné, zkuste si je sami. Konstrukce vektorového prostoru nám dává jistotu, že se s vektory bude dát zacházet podle všech rozumných pravidel. A to i přes to, že dopředu nemusíme vědět, CO vlastně vektory jsou – stačí, že víme, jak správně zkonstruovat vektorové operace (uzavřenost, respektovat axiomy).

  8. Definice 31. Vektorový prostor Tn Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic ve tvaru: kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory R2 nebo R3.

  9. Definice 32. Vektorový prostor Tn,m Buď T číselné těleso, n a m přirozená čísla. Množina V pak množina takzvaných matic, tabulek čísel ve tvaru : Pozn. : první index u složky zde značí číslo sloupce (pozice ve vodorovném směru), druhý index u složky značí číslo řádku (pozice ve svislém směru). V tomto bodě se přednáška hrubě rozchází z většinou matematické literatury. Usnadní to ale studentům orientaci při sledování přednášky o výpočetní technice – pole se v programech značí tak, jak je to zavedeno na této průsvitce. kde α11 až αnm jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako u předchozího vektorového prostoru – tedy standardní číselné operace po složkách. Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn,m nebo Cn,m.

  10. Definice 33. Vektorový prostor P Buď T = C komplexní číselné těleso, množina V = P množina všech polynomů. Její prvky jsou tedy funkce ve tvaru kde všechna αn jsou čísla z tělesa C. Definujme operace takto: součet funkcí násobení funkce číslem Protože v každém bodě t C jsou funkční hodnoty komplexní čísla, axiomy určitě platí.

  11. Definice 33. Vektorový prostor šipek Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“. Definujme operace takto: součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá defino- vat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.

  12. Příklad Zajímavý vektorový prostor Buď T = R reálné číselné těleso, množina V interval ( 0, +∞). Definujme operace jako Je tato konstrukce vektorovým prostorem? Operace sčítání je uzavřená. N1 – asociativní zákon (.) . Operace násobení je uzavřená. N2 – násobení jedničkou . S1 – komutativní zákon. D1 – distributivita S2 – asociativní zákon (+). D2 – distributivita S3 – existuje nulový vektor. Je to vektorový prostor! S4 – existuje opačný vektor.

  13. Definice 34. Lineární kombinace Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí): Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že Číslaαinazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.

  14. Definice 35. Lineární obal Nechť je soubor vektorů z V. Množinu všech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-árním obalem a značíme

  15. Věta 3. Lineární obal Nechť je soubor vektorů z V. Platí: 1) 2) 3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění. 4) Pozn. : lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem. Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).

  16. Definice 36. Příklad Lineární závislost a nezávislost Nechť je soubor vektorů z V. Říkáme, že soubor je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazveme soubor lineárně závislý (LZ). Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R2 jsou LZ nebo LN: Zkoumáme všechny lineární kombinace souboru. Hledáme mezi nimi takovou, jejíž koeficienty nejsou samé nuly a přesto je nulová. Pokud ji najdeme, je soubor LZ, pokud ne, je LN.

  17. Příklad Lineární závislost a nezávislost Zjistěte, zda následující soubory vektorů z prostoru šipek jsou LZ nebo LN: Tento soubor je nezávislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, musíme je oba dva vynásobit nulou. Tento soubor je závislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, stačí je k sobě prostě přičíst. Hledaná netriviální LK je tedy 1, 1.

  18. Příklad Lineární závislost a nezávislost Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R3 jsou LZ nebo LN: a) LZ Další sami …

  19. Zkrácenina z {1, 2, 3, … , n } Věta 4. Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : 1) Jednoprvkový soubor (x1) je LZ právě tehdy, když x1 = θ. Jinak je LN. 2) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární závislost či nezávislost se nezmění.. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když tedy pokud v souboru existuje takový vektor, který lze nakombinovat (vytvořit lineární kombinací) z ostatních. Například v souboru lze první prvek nakombinovat z dalších dvou pomocí koeficientů -½,4 :

  20. Věta 4. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když Důkaz Kombinace vektoru z ostatních Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : Jelikož výrok je ekvivalence, je potřeba dokázat postupně pravdivost implikací oběma směry. Tj. nejdřív „soubor je LZ“ => „v souboru je vektor, který lze nakombinovat z ostatních“. Toto je lineární kombinace dávající nulu. Protože soubor je LZ, existuje tato kombinace jako netriviální, tedy minimálně jedno z čísel αi je nenulové Označme jej αk . Jednoduchou úpravou získáme

  21. Věta 4. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když Důkaz Nenulový koeficient lineární kombinace Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : Nyní druhý směr ekvivaence, tj. „v souboru je vektor, který lze nakom-binovat z ostatních“ => „soubor je LZ“. Jednoduchou úpravou přejdeme z kombinování vektoru xk k lineární kombi-naci celého souboru, která je nulová, ovšem netriviální (tj. alespoň jeden koeficient je nenulový). Q.E.D.

  22. Definice 37. Definice 38. Věta 5. Báze a dimenze Nechť je soubor vektorů z V. Pokud platí 1) Soubor je lineárně nezávislý 2) říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor nazýváme bází prostoru V. Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n (dimenze V je n). Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞. Buď V vektorový prostor. Platí Ve V existuje n-členná báze.

  23. Báze a dimenze Z báze vektorového prostoru lze lineární kombinací získat libovolný další vektor. Chceme-li tedy znát celý vektorový prostor, stačí znát jednu bázi. Dimenze určuje maximální možnou velikost LN souboru. Přidáme-li do n-členného LN souboru další vektor, stane se LZ. Nulový vektorový prostor V = {θ} má dimenzi 0 (dim V = 0) a bázi nemá žádnou. Každý LN k-členný soubor vektorů z prostoru V o dimenzi n, k < n, lze vhodným výběrem dalších vektorů z V doplnit na bázi. Dimenze závisí i na tělese. Zatímco prostor V=C s tělesem T=C má dimenzi 1, prostor V=C s tělesem T=R má dimenzi 2. Otázka : jakou dimenzi má V=R, T=C?

  24. Báze a dimenze prostoru Tn Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech. Soubor vektorů ve tvaru je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý vektor lze pomocí něj vyjádřit jako

  25. Báze a dimenze prostoru Tn,m Tvrdíme, že dim Tn,m = n ∙m. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n ∙ m členech. ve tvaru Soubor vektorů je tzv. standardní bází Tn,m . Vektorů je opravdu n ∙m.

  26. Báze a dimenze prostoru P Tvrdíme, že dim P = ∞. Kdybychom prostor omezili podmínkou, že se v něm smějí nacházet polynomy nejvýše stupně n-1, tedy polynomy ve tvaru pak by dimenze byla konečná (n). I přes toto omezení je totiž V vektorovým prostorem (někdy se značí Pn), neboť sečteme-li dva polynomy nejvýše řádu n-1, dostaneme opět polynom řádu n-1 (a stejně tak vynásobíme-li polynom číslem). Standardní báze by pak vypadala takto: Pokud ale řád polynomů neomezíme, pak by ani tato báze nemohla být konečná. I pro libovolně vysoké n bychom mohli najít polynom s vyšším stupněm, který z této báze nakombinovat nejde. V tomto případě by bylo možné mluvit o bázi nekonečné (funkční řada), takovými útvary se však základní lineární algebra nezabývá. Setkáme se s nimi později v matematické analýze.

  27. e2 e1 Jednotková délka Báze a dimenze prostoru šipek Tvrdíme, že dim Š = 2. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o 2 členech. x 1.1 x 1.5

  28. Definice 39. Kroneckerovo delta Zaveďme symbol Kroneckerovo delta: pro i = j například : pro i ≠ j Typicky se používá ve složitějších výrazech se sumami a podobně:

  29. Souřadnicový funkcionál Věta 6. Souřadnice v dané bázi Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že tj. každý vektor lze z báze nakombinovat právě jedním způsobem. Označme čísla αi jako Tento složitý zápis poukazuje na fakt, že čísla αi závisí jednak na zvoleném vektoru x, ale i na zvolené bázi, tj. na vektorech xi. Změníme-li cokoliv z toho, změní se αi . Dá se říci, že čísla αi jsou vlastně jakýmisi „funkcemi“ báze a vektoru x. Platí: 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. 2) 3) 4)

  30. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že Vezměme různé báze prostoru R2 . O tom, že soubory jsou skutečně báze je snadné se přesvědčit. Prozkoumejme, jak lze z těcho bází nakombinovat vektory u = ( 5, 6 ), v = ( -1, 3 ), w = (0,2) :

  31. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

  32. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

  33. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

  34. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že Pro danou bázi je i-tá souřadnice každého vektor daná. Tedy můžeme opravdu definovat zobrazení, které každému vektoru přiřadí i-tou souřadnici (číslo z tělesa). Opravdu tedy Tato zobrazení jsou ale pro každou bázi jiná – stejný vektor má v různých bázích různé souřadnice.

  35. Věta 6. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že 2) 3) Souřadnicové funkcionály mají vlastnosti lineárních zobrazení (podrobně viz následující přednáška) Příklad ve standardní bázi R2 na vektorech u = (3,3), v = (-1,6) Toto platí pro všechny vektory, báze a prostory.

  36. Věta 6. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že 4) Každý bazický vektor lze z báze nakombinovat pomocí jedné jedničky a n-1 nul:

  37. Souřadnice Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s prostorem Tn. (6,6) (2,4) (4,2) Věta 6 zajišťuje, že můžeme používat podobné nákresy jako tento. Předpokládáme při nich automaticky, že souřadnice v obou prostorech jsou ve standardních bázích.

  38. Shrnutí • Číselné těleso, vektorový prostor, jeho operace a axiomy • Vlastnosti vektorového prostoru plynoucí přímo z axiomů • Základní vektorové prostory (n-tic, matic, polynomů, šipek) • Lineární kombinace • Lineární obal a jeho vlastnosti • Lineární závislost a nezávislost • Kritéria LN, LZ • Báze a dimenze vektorového prostoru • Dimenze a standarní báze základních vektorových prostorů • Kroneckerovo delta • Souřadnice a souřadnicový funkcionál

More Related