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DEA-Data Envelopment Analysis. Marco Aurélio Reis dos Santos marcoauré[email protected] Sumário. Introdução Exemplo de aplicação Análise Envoltória de Dados Medidas de Desempenho Unidades Tomadoras de Decisão (DMU) Modelo CCR Análise de Sensibilidade Referências. Introdução.

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Presentation Transcript
Dea data envelopment analysis

DEA-Data Envelopment Analysis

Marco Aurélio Reis dos Santos

marcoauré[email protected]


Sum rio
Sumário

  • Introdução

  • Exemplo de aplicação

  • Análise Envoltória de Dados

  • Medidas de Desempenho

  • Unidades Tomadoras de Decisão (DMU)

  • Modelo CCR

  • Análise de Sensibilidade

  • Referências


Introdu o
Introdução

  • Objetivo

    • Desenvolver modelos matemáticos para tratar de problemas de avaliação de desempenho em organizações produtivas.

  • Motivação

    • Obtenção de uma medida de eficiência a partir de dados reais (sem a utilização de fórmulas teóricas)

    • Otimização da utilização dos recursos

    • Apontar o quanto os níveis de insumos ou produtos podem ser melhorados

    • Apontar quais unidades produtivas são benchmarks (referências)

    • Servir de subsídio para tomada de decisões multicritério por meio da avaliação de desempenho das alternativas de ação.


Introdu o1
Introdução

  • Origem

    • Surgiu a partir do problema abordado na tese de Ph.D. de Edward Rhodes sob a supervisão de William W. Cooper em 1978

    • Avaliação do desempenho de Escolas Públicas


Desafio encontrado
Desafio Encontrado

  • Escores aritméticos

  • Melhoria da auto-estima

  • Habilidade psicomotora

  • Nº professores-hora

  • Tempo gasto pela mãe

    em leituras com o filho

Como comparar

Eficiências

Escolas

Públicas

Baseados

Medidas distintas

Unidades diferentes de medidas


Solu o do desafio
Solução do Desafio

  • Charnes, Cooper e Rhodes propuseram um modelo baseado em Programação Linear

Modelo CCR

Sem converter os KPI em uma única unidade de medida

Eficiência


Mais vantagens do modelo proposto
Mais vantagens do Modelo Proposto

  • Permitiu indicar o quanto cada indicador deveria ser melhorado para que as escolas públicas consideradas ineficientes tornassem eficientes.

  • Permitiu indicar qual combinação de escolas eficientes serviriam como benchmarks para as escolas consideradas ineficientes.

Suporte para concepção de ações estratégicas

em escolas ineficientes


Exemplo de aplica o
Exemplo de Aplicação

  • Considera-se uma empresa que para conseguir atender a crescente demanda de um determinado produto dependa do fornecimento de peças de nove fornecedores e que estes noves são os únicos fornecedores para este tipo de peça no mercado. Zé da Logística, respeitado gerente de compras desta empresa, visando obter as melhores condições operacionais para o fornecimento destas peças resolve propor a diretoria da empresa que ela ofereça uma assessoria para alguns destes fornecedores. Mas antes disso, ele resolve avaliar as eficiências relativas de cada um destes noves fornecedores por meio do método DEA.


Exemplo de aplica o1
Exemplo de Aplicação

  • Zé da Logística considerou os seguintes indicadores de desempenho:

    • Taxa de atendimento do pedido[%]

    • Capacidade de produção do fornecedor [peças]

    • Custo Total=Custo do pedido+Custo de Transporte[$]

    • Lead-time [dias]

      Obs.:Notem que os indicadores possuem unidades diferentes de medidas










Exemplo de aplica o10
Exemplo de Aplicação

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

Capacidade fornecedor 2

Capacidade fornecedor 3


Exemplo de aplica o11
Exemplo de Aplicação

  • Após a apresentação dos resultados do estudo para diretoria da empresa, os membros da diretoria ficaram intricados como Zé da Logística obteve tais resultados. Evidentemente ele não revelou os detalhes do método utilizado!

  • Obs.: Os detalhes de como Zé da Logística aplicou o método serão revelados ao longo do curso!


An lise envolt ria de dados dea
Análise Envoltória de Dados(DEA)

  • O que é ?

    • É uma técnica que pode ser usada para avaliar o desempenho de sistemas através do conceito de eficiência relativa

  • Aplicações mais comuns:

    • Bancos

    • Hospitais

    • Universidades

    • Indústrias

    • Restaurantes


Medidas de desempenho
Medidas de desempenho

  • Eficácia:

    • Considera apenas o que é produzido, sem levar em conta o nível em que os recursos são usados para a produção.

  • Produtividade:

    • É a razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir

      • (unidades de medida diferentes para cada caso)


Medidas de desempenho1
Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica:

    • É um conceito relativo. Compara o que foi

      produzido, dado os recursos disponíveis, com o que poderia ter sido (melhor) produzido com os mesmos recursos ou que poderia ter sido economizado em recursos para produzir os mesmos produtos.


Medidas de desempenho2
Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica: Segundo Pareto-Koopmans (1951), um vetor input-output é tecnicamente eficiente se e somente se:

    • Nenhum dosoutptsseja aumentado sem que nenhum outro outputseja reduzido ou algum inputnecessite ser aumentado.

    • Nenhum dosinputsseja reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output seja reduzido.

Folgas


Medidas de desempenho3

Benchmark

Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica:


Medidas de desempenho4
Medidas de desempenho

  • Análise de eficiência e produtividade:

Na Figura, mostra-se a diferença entre os conceitos de produtividade e eficiência.

As unidades B e C são eficientes (uma vez que estão localizadas na fronteira de

eficiência).

Apenas a unidade C é a mais produtiva.


Medidas de desempenho5
Medidas de desempenho

  • Existem duas formas básicas de uma unidade não eficiente tornar-se eficiente.

2. Fixar Recursos (X)

Aumentar os Produtos (Y)

1. Fixar Produtos (Y)

Reduzir os Recursos (X)


Unidades tomadoras de decis o decision making units

Transformação

pelas DMU

Insumos

(inputs)

Produtos

(outputs)

Unidades Tomadoras de Decisão(Decision Making Units)

Exemplo: Agências Bancárias, Hospitais, Fornecedores, Escolas etc.


Defini o das dmu
Definição das DMU

  • São unidades produtivas e, para poderem

    ser analisadas, devem utilizar os mesmos

    insumos e produzir os mesmos produtos;

  • O número de DMU consideradas deve ser no mínimo duas vezes maior que a soma dos números de produtos e insumos considerados.


Caracter sticas do dea
Características do DEA

  • Não necessita que os insumos e produtos sejam transformados em uma única unidade de medida (Exemplo: $, %, Quantidade);

  • Possibilita a identificação do nível de ineficiência de cada DMU;

  • Permite a identificação de DMU eficientes que são referências(benchmarks)para aquelas que foram detectadas como ineficientes.


Vantagens do dea
Vantagens do DEA

  • Lida com modelos de múltiplas entradas & saídas com variadas unidades de medidas (Exemplo: $, %, Quantidade);

  • As DMU são comparadas diretamente com uma outra DMU ou com uma combinação delas;

  • Considera a possibilidade de que os outliersnão representam apenas desvios em relação ao comportamento médio, mas possam ser possíveis benchmarks


Exemplo do z da log stica
Exemplo do Zé da Logística

  • Considerando apenas dois indicadores

    • DMU - Fornecedores

Transformação

pelas DMU

Custo

(inputs)

Capacidade

(outputs)


Exemplo do z da log stica1

Máxima

Produtividade

Exemplo do Zé da Logística


Exemplo do z da log stica2

Benchmark para 1

Orientado a input

7

6

9

2

5

1

3

8

4

Exemplo do Zé da Logística


Modelo ccr

Output virtual

Input virtual

Modelo CCR

Em que:

u é a importância relativa do output ;

v é a importância relativa

do input .

Obs.:Modelo com múltiplas soluções ótimas


Modelo ccr1
Modelo CCR

  • Se normalizarmos 80v=1 temos v=0,0125; desta forma o modelo se torna linear e passa a ter uma única solução:


Modelo ccr2

Mínimo Valor

Modelo CCR

Logo:


Modelo ccr3

Alvos

DMU Virtual

Benchmark

Modelo CCR

Alvo:Orientado a input:

Importância do

fornecedor 7 como

referência para o fornecedor 1


Modelo ccr4
Modelo CCR

Logo pode-se definir eficiência também como sendo:

Em que:

ui é a importância relativa do output i;

yi é o valor do output i;

vjé a importância relativa do input j;

xjé o valor do input j;

Ow é o Output virtual;

Iw é o Input virtual.


Medida radial de efici ncia t cnica
Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Coeficiente de utilização de recursos (Debreu, 1951):

    • È uma medida radial que busca a máxima redução equiproporcional de todos os inputs ou a máxima expansão equiproporcional de todos os outputs.

    • O uso do coeficiente independe da unidade de medida.


Medida radial de efici ncia t cnica1

Alvo ou

Benchmark

Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Orientado a input:

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

Y é o output vitual;

Xé o input vitual.


Medida radial de efici ncia t cnica2

Alvo ou

Benchmark

Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Orientado a output:

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

Y é o output vitual;

Xé o input vitual.


Modelo ccr orientado a input
Modelo CCR(orientado a input)

  • Generalizando o modelo dos multiplicadores tem-se:

Onde:

Eficiência=h0


Modelo ccr orientado a input1
Modelo CCR(orientado a input)

  • Normalizando-se tem-se:

Dual


Modelo ccr orientado a output
Modelo CCR(orientado a output)

Onde:

Eficiência=1/h0


Modelo ccr orientado a output1
Modelo CCR(orientado a output)

  • Normalizando-se tem-se:

Dual


Modelo ccr5
Modelo CCR

  • Conjunto de Possibilidades de Produção

Y

Fronteira de Eficiência

P(x,y)

X


Modelo ccr6
Modelo CCR

  • Propriedades de P:

    • As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P

    • Se uma atividade (x,y) pertence a P, então a atividade (kx,ky) pertence a P para k 0. Propriedade dos retornos constante de escala.

    • Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

    • Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P

      LOGO:


Modelo ccr orientado input
Modelo CCR (orientado input)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Primal


Modelo ccr orientado output
Modelo CCR (orientado output)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Primal


Modelo ccr orientado input1

DMU Virtual

Benchmark

Alvos

Modelo CCR (orientado input)

  • Modelo Envelope

Primal


Modelo ccr7
Modelo CCR

  • Teorema das Folgas Complementares

Logo:

ou

Primal


Modelo ccr orientado input2
Modelo CCR (orientado input)

  • Análise de Sensibilidade

Pareto

Primal


Modelo ccr8
Modelo CCR

  • Uma DMU é Pareto-Koopmans Eficiente se e somente se:

Segunda parte

Primal


Exemplo do z da log stica3
Exemplo do Zé da Logística

Considerando apenas dois indicadores

DMU - Fornecedores

Capacidade

(outputs)

Transformação

pelas DMU

Custo

(inputs)

Taxa de

atendimento

(outputs)




Exemplo do z da log stica6
Exemplo do Zé da Logística

d09 43,7638

d09+d9A43,7638+ 27,1975

=

Eficiência9 =

=

0,6167




Exemplo do z da log stica9
Exemplo do Zé da Logística

  • Taxa de Atendimento


Modelo bcc
Modelo BCC

  • Conjunto de Possibilidades de Produção

Y

Fronteira de Eficiência

P(x,y)

X


Modelo bcc1
Modelo BCC

  • Propriedades de P:

    • As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P

    • Se uma atividade (xj ,yj) (j=1,2,...,n)pertencem a P e lj (j=1,2,...,n) são escalares não negativos tais que , então

      pertence a P, propriedade dos retornos de

      variáveisde escala ou da convexidade

    • Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

    • Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P

      LOGO:


Modelo bcc orientado input
Modelo BCC (orientado input)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0


Modelo bcc orientado a input
Modelo BCC(orientado a input)

  • Modelo dos multiplicadores:

Em que:

uj é a importância relativa do output i;

u* é o fator de escala;

yjk é o valor do output i para DMU k;

vié a importância relativa do input;

xjké o valor do input j para DMU k.


Modelo bcc orientado output
Modelo BCC (orientado output)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lké a importância da DMU k como referência para DMU 0


Modelo bcc orientado a output
Modelo BCC(orientado a output)

  • Modelo dos Multiplicadores:

Em que:

uj é a importância relativa do output i;

v* é o fator de escala;

yjk é o valor do output i para DMU k;

vié a importância relativa do input;

xjké o valor do input j para DMU k.


Modelo bcc orientado input1
Modelo BCC (orientado input)

  • Interpretação Gráfica


Modelo bcc orientado input2
Modelo BCC (orientado input)

  • Interpretação Gráfica


Exemplo do z da log stica10
Exemplo do Zé da Logística

Considerando apenas dois indicadores

DMU - Fornecedores

Capacidade

(output)

Custo

(inputs)

Transformação

pelas DMU

Taxa de

atendimento

(output)

Lead time

(inputs)






Exemplo de aplica o16
Exemplo de Aplicação

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

Capacidade fornecedor 2

Capacidade fornecedor 3


Fronteira invertida
Fronteira Invertida

  • Fronteira Invertida:

    • A fronteira invertida é composta pelas DMU com as piores práticas gerenciais

    • É uma avaliação pessimista troca os inputspelosoutputsnos modelos originais




Restri es aos pesos
Restrições aos pesos

  • Restrições Diretas aos Pesos


Restri es aos pesos1
Restrições aos pesos

  • Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio:


Restri es aos pesos2
Restrições aos pesos

  • Regiões de Segurança Tipo II


Restri es aos pesos3
Restrições aos pesos

  • Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais


Restri es aos pesos4
Restrições aos pesos

  • Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais

    • Condições de viabilidade:


Refer ncias
Referências

  • Charnes, A., Cooper, W., W. e Rhodes, E. (1978), Measuring the Efficiency of Making Units. European Journal of Operational Research, 429-444.

  • Cooper,W. W., Seiford, L. M. e Tone, K.(1951)Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA – solver software, Kluwer Academic Publisher.

  • Debreu, G., The Coefficient of Resource Utilization. Econometrica, vol. 19, nº 3, 273-292, 1951.

  • Mello, J. C. C. B. S., Meza, L. A., Gomes, E. G. e Neto, L. B.(2005), Curso de Análise de Envoltória de Dados. In: Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 37. Gramado. Anais: Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, 2520-2547.

  • Thanassoulis, E. (2003), Introduction to the theory and application of data envelopment analysis: a foundation text with integrated software (2), Kluwer Academic Publisher, 1-312, 2003.


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