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DEA-Data Envelopment Analysis. Marco Aurélio Reis dos Santos [email protected] Sumário. Introdução Exemplo de aplicação Análise Envoltória de Dados Medidas de Desempenho Unidades Tomadoras de Decisão (DMU) Modelo CCR Análise de Sensibilidade Referências. Introdução.

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DEA-Data Envelopment Analysis

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Presentation Transcript


DEA-Data Envelopment Analysis

Marco Aurélio Reis dos Santos

[email protected]


Sumário

  • Introdução

  • Exemplo de aplicação

  • Análise Envoltória de Dados

  • Medidas de Desempenho

  • Unidades Tomadoras de Decisão (DMU)

  • Modelo CCR

  • Análise de Sensibilidade

  • Referências


Introdução

  • Objetivo

    • Desenvolver modelos matemáticos para tratar de problemas de avaliação de desempenho em organizações produtivas.

  • Motivação

    • Obtenção de uma medida de eficiência a partir de dados reais (sem a utilização de fórmulas teóricas)

    • Otimização da utilização dos recursos

    • Apontar o quanto os níveis de insumos ou produtos podem ser melhorados

    • Apontar quais unidades produtivas são benchmarks (referências)

    • Servir de subsídio para tomada de decisões multicritério por meio da avaliação de desempenho das alternativas de ação.


Introdução

  • Origem

    • Surgiu a partir do problema abordado na tese de Ph.D. de Edward Rhodes sob a supervisão de William W. Cooper em 1978

    • Avaliação do desempenho de Escolas Públicas


Desafio Encontrado

  • Escores aritméticos

  • Melhoria da auto-estima

  • Habilidade psicomotora

  • Nº professores-hora

  • Tempo gasto pela mãe

    em leituras com o filho

Como comparar

Eficiências

Escolas

Públicas

Baseados

Medidas distintas

Unidades diferentes de medidas


Solução do Desafio

  • Charnes, Cooper e Rhodes propuseram um modelo baseado em Programação Linear

Modelo CCR

Sem converter os KPI em uma única unidade de medida

Eficiência


Mais vantagens do Modelo Proposto

  • Permitiu indicar o quanto cada indicador deveria ser melhorado para que as escolas públicas consideradas ineficientes tornassem eficientes.

  • Permitiu indicar qual combinação de escolas eficientes serviriam como benchmarks para as escolas consideradas ineficientes.

Suporte para concepção de ações estratégicas

em escolas ineficientes


Exemplo de Aplicação

  • Considera-se uma empresa que para conseguir atender a crescente demanda de um determinado produto dependa do fornecimento de peças de nove fornecedores e que estes noves são os únicos fornecedores para este tipo de peça no mercado. Zé da Logística, respeitado gerente de compras desta empresa, visando obter as melhores condições operacionais para o fornecimento destas peças resolve propor a diretoria da empresa que ela ofereça uma assessoria para alguns destes fornecedores. Mas antes disso, ele resolve avaliar as eficiências relativas de cada um destes noves fornecedores por meio do método DEA.


Exemplo de Aplicação

  • Zé da Logística considerou os seguintes indicadores de desempenho:

    • Taxa de atendimento do pedido[%]

    • Capacidade de produção do fornecedor [peças]

    • Custo Total=Custo do pedido+Custo de Transporte[$]

    • Lead-time [dias]

      Obs.:Notem que os indicadores possuem unidades diferentes de medidas


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

Capacidade fornecedor 2

Capacidade fornecedor 3


Exemplo de Aplicação

  • Após a apresentação dos resultados do estudo para diretoria da empresa, os membros da diretoria ficaram intricados como Zé da Logística obteve tais resultados. Evidentemente ele não revelou os detalhes do método utilizado!

  • Obs.: Os detalhes de como Zé da Logística aplicou o método serão revelados ao longo do curso!


Análise Envoltória de Dados(DEA)

  • O que é ?

    • É uma técnica que pode ser usada para avaliar o desempenho de sistemas através do conceito de eficiência relativa

  • Aplicações mais comuns:

    • Bancos

    • Hospitais

    • Universidades

    • Indústrias

    • Restaurantes


Medidas de desempenho

  • Eficácia:

    • Considera apenas o que é produzido, sem levar em conta o nível em que os recursos são usados para a produção.

  • Produtividade:

    • É a razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir

      • (unidades de medida diferentes para cada caso)


Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica:

    • É um conceito relativo. Compara o que foi

      produzido, dado os recursos disponíveis, com o que poderia ter sido (melhor) produzido com os mesmos recursos ou que poderia ter sido economizado em recursos para produzir os mesmos produtos.


Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica: Segundo Pareto-Koopmans (1951), um vetor input-output é tecnicamente eficiente se e somente se:

    • Nenhum dosoutptsseja aumentado sem que nenhum outro outputseja reduzido ou algum inputnecessite ser aumentado.

    • Nenhum dosinputsseja reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output seja reduzido.

Folgas


Benchmark

Medidas de desempenho

  • Eficiência Técnica:


Medidas de desempenho

  • Análise de eficiência e produtividade:

Na Figura, mostra-se a diferença entre os conceitos de produtividade e eficiência.

As unidades B e C são eficientes (uma vez que estão localizadas na fronteira de

eficiência).

Apenas a unidade C é a mais produtiva.


Medidas de desempenho

  • Existem duas formas básicas de uma unidade não eficiente tornar-se eficiente.

2. Fixar Recursos (X)

Aumentar os Produtos (Y)

1. Fixar Produtos (Y)

Reduzir os Recursos (X)


Transformação

pelas DMU

Insumos

(inputs)

Produtos

(outputs)

Unidades Tomadoras de Decisão(Decision Making Units)

Exemplo: Agências Bancárias, Hospitais, Fornecedores, Escolas etc.


Definição das DMU

  • São unidades produtivas e, para poderem

    ser analisadas, devem utilizar os mesmos

    insumos e produzir os mesmos produtos;

  • O número de DMU consideradas deve ser no mínimo duas vezes maior que a soma dos números de produtos e insumos considerados.


Características do DEA

  • Não necessita que os insumos e produtos sejam transformados em uma única unidade de medida (Exemplo: $, %, Quantidade);

  • Possibilita a identificação do nível de ineficiência de cada DMU;

  • Permite a identificação de DMU eficientes que são referências(benchmarks)para aquelas que foram detectadas como ineficientes.


Vantagens do DEA

  • Lida com modelos de múltiplas entradas & saídas com variadas unidades de medidas (Exemplo: $, %, Quantidade);

  • As DMU são comparadas diretamente com uma outra DMU ou com uma combinação delas;

  • Considera a possibilidade de que os outliersnão representam apenas desvios em relação ao comportamento médio, mas possam ser possíveis benchmarks


Exemplo do Zé da Logística

  • Considerando apenas dois indicadores

    • DMU - Fornecedores

Transformação

pelas DMU

Custo

(inputs)

Capacidade

(outputs)


Máxima

Produtividade

Exemplo do Zé da Logística


Benchmark para 1

Orientado a input

7

6

9

2

5

1

3

8

4

Exemplo do Zé da Logística


Output virtual

Input virtual

Modelo CCR

Em que:

u é a importância relativa do output ;

v é a importância relativa

do input .

Obs.:Modelo com múltiplas soluções ótimas


Modelo CCR

  • Se normalizarmos 80v=1 temos v=0,0125; desta forma o modelo se torna linear e passa a ter uma única solução:


Mínimo Valor

Modelo CCR

Logo:


Alvos

DMU Virtual

Benchmark

Modelo CCR

Alvo:Orientado a input:

Importância do

fornecedor 7 como

referência para o fornecedor 1


Modelo CCR

Logo pode-se definir eficiência também como sendo:

Em que:

ui é a importância relativa do output i;

yi é o valor do output i;

vjé a importância relativa do input j;

xjé o valor do input j;

Ow é o Output virtual;

Iw é o Input virtual.


Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Coeficiente de utilização de recursos (Debreu, 1951):

    • È uma medida radial que busca a máxima redução equiproporcional de todos os inputs ou a máxima expansão equiproporcional de todos os outputs.

    • O uso do coeficiente independe da unidade de medida.


Alvo ou

Benchmark

Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Orientado a input:

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

Y é o output vitual;

Xé o input vitual.


Alvo ou

Benchmark

Medida Radial de Eficiência Técnica

  • Orientado a output:

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

Y é o output vitual;

Xé o input vitual.


Modelo CCR(orientado a input)

  • Generalizando o modelo dos multiplicadores tem-se:

Onde:

Eficiência=h0


Modelo CCR(orientado a input)

  • Normalizando-se tem-se:

Dual


Modelo CCR(orientado a output)

Onde:

Eficiência=1/h0


Modelo CCR(orientado a output)

  • Normalizando-se tem-se:

Dual


Modelo CCR

  • Conjunto de Possibilidades de Produção

Y

Fronteira de Eficiência

P(x,y)

X


Modelo CCR

  • Propriedades de P:

    • As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P

    • Se uma atividade (x,y) pertence a P, então a atividade (kx,ky) pertence a P para k 0. Propriedade dos retornos constante de escala.

    • Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

    • Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P

      LOGO:


Modelo CCR (orientado input)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Primal


Modelo CCR (orientado output)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Primal


DMU Virtual

Benchmark

Alvos

Modelo CCR (orientado input)

  • Modelo Envelope

Primal


Modelo CCR

  • Teorema das Folgas Complementares

Logo:

ou

Primal


Modelo CCR (orientado input)

  • Análise de Sensibilidade

Pareto

Primal


Modelo CCR

  • Uma DMU é Pareto-Koopmans Eficiente se e somente se:

Segunda parte

Primal


Exemplo do Zé da Logística

Considerando apenas dois indicadores

DMU - Fornecedores

Capacidade

(outputs)

Transformação

pelas DMU

Custo

(inputs)

Taxa de

atendimento

(outputs)


Exemplo do Zé da Logística


Exemplo do Zé da Logística

A


Exemplo do Zé da Logística

d09 43,7638

d09+d9A43,7638+ 27,1975

=

Eficiência9 =

=

0,6167


Exemplo do Zé da Logística


Exemplo do Zé da Logística

  • Benchmarks


Exemplo do Zé da Logística

  • Taxa de Atendimento


Modelo BCC

  • Conjunto de Possibilidades de Produção

Y

Fronteira de Eficiência

P(x,y)

X


Modelo BCC

  • Propriedades de P:

    • As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P

    • Se uma atividade (xj ,yj) (j=1,2,...,n)pertencem a P e lj (j=1,2,...,n) são escalares não negativos tais que , então

      pertence a P, propriedade dos retornos de

      variáveisde escala ou da convexidade

    • Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

    • Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P

      LOGO:


Modelo BCC (orientado input)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0


Modelo BCC(orientado a input)

  • Modelo dos multiplicadores:

Em que:

uj é a importância relativa do output i;

u* é o fator de escala;

yjk é o valor do output i para DMU k;

vié a importância relativa do input;

xjké o valor do input j para DMU k.


Modelo BCC (orientado output)

  • Modelo Envelope

Em que:

h0 é a medida radial de eficiência técnica;

yi é o valor do output i;

xj é o valor do input j;

lké a importância da DMU k como referência para DMU 0


Modelo BCC(orientado a output)

  • Modelo dos Multiplicadores:

Em que:

uj é a importância relativa do output i;

v* é o fator de escala;

yjk é o valor do output i para DMU k;

vié a importância relativa do input;

xjké o valor do input j para DMU k.


Modelo BCC (orientado input)

  • Interpretação Gráfica


Modelo BCC (orientado input)

  • Interpretação Gráfica


Exemplo do Zé da Logística

Considerando apenas dois indicadores

DMU - Fornecedores

Capacidade

(output)

Custo

(inputs)

Transformação

pelas DMU

Taxa de

atendimento

(output)

Lead time

(inputs)


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação


Exemplo de Aplicação

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

Capacidade fornecedor 2

Capacidade fornecedor 3


Fronteira Invertida

  • Fronteira Invertida:

    • A fronteira invertida é composta pelas DMU com as piores práticas gerenciais

    • É uma avaliação pessimista troca os inputspelosoutputsnos modelos originais


Fronteira Invertida


Fronteira Composta


Restrições aos pesos

  • Restrições Diretas aos Pesos


Restrições aos pesos

  • Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio:


Restrições aos pesos

  • Regiões de Segurança Tipo II


Restrições aos pesos

  • Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais


Restrições aos pesos

  • Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais

    • Condições de viabilidade:


Referências

  • Charnes, A., Cooper, W., W. e Rhodes, E. (1978), Measuring the Efficiency of Making Units. European Journal of Operational Research, 429-444.

  • Cooper,W. W., Seiford, L. M. e Tone, K.(1951)Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA – solver software, Kluwer Academic Publisher.

  • Debreu, G., The Coefficient of Resource Utilization. Econometrica, vol. 19, nº 3, 273-292, 1951.

  • Mello, J. C. C. B. S., Meza, L. A., Gomes, E. G. e Neto, L. B.(2005), Curso de Análise de Envoltória de Dados. In: Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 37. Gramado. Anais: Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, 2520-2547.

  • Thanassoulis, E. (2003), Introduction to the theory and application of data envelopment analysis: a foundation text with integrated software (2), Kluwer Academic Publisher, 1-312, 2003.


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