探索勾股定理
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探索勾股定理. 情境引入. 俄国伟大的文学家列夫 · 托尔斯泰在他所著的 《 一个人需要很多土地吗? 》 中写了一个发人深思的故事:一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地,卖地的人提出了一个非常奇怪的地价: “ 每天 1000 卢布。 ”

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Presentation Transcript

情境引入

俄国伟大的文学家列夫·托尔斯泰在他所著的《一个人需要很多土地吗?》中写了一个发人深思的故事:一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地,卖地的人提出了一个非常奇怪的地价:“每天1000卢布。”

巴河姆觉得这个条件对自己有利,于是他付了1000卢布,太阳刚刚从地平线升起就在草原上大步向前走去,他走了足足 8俄里(1俄里=1.0668千米)这时才朝左拐弯,接着又走了许久,才再向左拐弯,这样又走了2俄里,这时,他发现天色不早,而自己离清晨出发点足足还有17俄里,于是他只得马上改变方向,径直朝出发点拼命跑去,最后巴河姆总算在日落前回到了出发点。

2

你知道巴河姆这一天一共走了多少路?他能得到的土地面积是多少?

17

8


C

A

C

B

图1-1

A

B

图1-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

你是怎样得到上面的结果的?与同伴交流交流。

(1)观察图1-1

正方形A中含有个小方格,即A的面积是

个单位面积。

9

9

正方形B的面积是

个单位面积。

9

正方形C的面积是

个单位面积。

18

(2)

1

2

3


C

所以,正方形C的面积为:

(单位面积)

A

B

C

A

B

利用皮克公式

正方形周边上的格点数a=12

正方形内部的格点数b=13

图1-1

图1-2

返回


C

A

C

B

图1-1

A

B

图1-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

(单位面积)

分割成若干个直角边为整数的三角形

返回


C

A

C

B

图1-1

A

B

图1-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

(单位面积)

把C看成边长为6的正方形面积的一半

返回


C

A

C

B

图1-1

A

B

图1-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

(2)在图1-2中,正方形A,B,C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?

(3)你能发现图1-1中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系吗?

SA+SB=SC

即:两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积

(3)


做一做

C

A

你是怎样得到表中的结果的?与同伴交流交流。

B

C

A

图1-3

B

图1-4

(1)观察图1-3、图1-4,并填写右表:

A的面积(单位面积)

B的面积(单位面积)

C的面积(单位面积)

图1-3

16

9

25

图1-4

4

9

13


C

A

B

C

A

图1-3

B

图1-4

(面积单位)

分割成若干个直角边为整数的三角形


C

A

B

C

A

图1-3

B

图1-4

(2)三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系?

SA+SB=SC

即:两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积


议一议

C

A

B

C

A

图1-3

B

图1-4

(1)你能用三角形的边长表示正方形的面积吗?

(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?与同伴进行交流。

(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度。(2)中的规律对这个三角形仍然成立吗?


c

a

b

在西方又称毕达哥拉斯定理耶!

勾股定理(gou-gu theorem)

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。


我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机,是指其荧屏对角线的长度

小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机。小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗?

想一想

∴售货员没搞错

荧屏对角线大约为74厘米


小结

说说这节课你有什么收获?

内容总结:探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;利用勾股定理解决实际问题。

方法总结:①数方格看图找关系,利用面积不变的方法;

②用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形,再验证自己的发现。


A

A

E

B

C

B

延伸拓展

1、情境引入中的“围地”问题。

2、如图,一艘船在A处要到达小岛B处,但AB之间有暗礁,为了行船安全,船先向正西方向行驶了400海里,再向正南方向行驶了300海里便到达了小岛B,请你计算A与B之间的直线距离是多少?

3、高速公路上有A、B两站相距25km,C、D为两个小集镇,DA⊥AB与A,CB⊥AB与B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在公路AB边上建设一个土特产收购站E,使得C、D两镇到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?

D


c

a

b

作业

一、P6 习题1.1 第1、2、3、4题

二、准备4张全等的直角三角形纸片


我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,


史话勾股定理我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,

a

c

b


勾股定理我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,

A

勾股定理:

直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方

C

B

+ =


在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高这段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”


在西方,希腊数学家欧几里德(我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,Euclid,是公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”,以后就流传开了。

毕达哥拉斯(Pythagoras)是古希腊数学家,他是公元前五世纪的人,比商高晚出生五百多年

相传,毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后,欣喜若狂,杀了一百头牛祭神,由此,又有“百牛定理”之称。


  公元我国数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射下面的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”,1945年,人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿,据考证,其年代远在商高和毕达哥拉斯之前,大致在公元前18世纪。手稿中难以令人置信地列出了15组勾股数,如下表:


这些数,即使在今天也远不是人人都很熟悉,天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的!如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话,那么上面的史实表明:在世界的其他地方还不知道这些数,即使在今天也远不是人人都很熟悉,天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的!如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话,那么上面的史实表明:在世界的其他地方还不知道3、4、5的关系的时期,古巴比伦人就已经有了一个相当灿烂的文化。这无疑给人类早期的文明史,又增添了一个千古之迷!


怎样寻找勾股数:这些数,即使在今天也远不是人人都很熟悉,天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的!如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话,那么上面的史实表明:在世界的其他地方还不知道

1、牢记几组常用的勾股数

2、利用公式来推导

X=m2-n2 y=2mn z=m2+n2

(m、n是任意两个正整数,且m>n)


再见这些数,即使在今天也远不是人人都很熟悉,天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的!如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话,那么上面的史实表明:在世界的其他地方还不知道


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