Trójkąty - ich właściwości i rodzaje

1. Trójkąty - ich właściwości i rodzaje

2. Trójkąty – ich właściwości i rodzaje Co to jest trójkąt? Podstawowe pojęcia związane z trójkątami Podział trójkątów Własności wybranych trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Przystawanie trójkątów

3. Co to jest trójkąt? Trójkąt to figura mająca trzy boki. W trójkącie jeden bok (dowolny) nazywa się podstawą a pozostałe dwa – ramionami. Ramię Ramię Podstawa

4. Podstawowe pojęcia związane z trójkątami • Co to jest: • wysokość • dwusieczna kąta • odcinek środkowy • środkowa trójkąta.

5. Wysokość trójkąta Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia), na który została opuszczona wysokość, nazywa się spodkiem tej wysokości. Wysokości w trójkącie ostrokątnym Wysokości w trójkącie prostokątnym Wysokości w trójkącie rozwartokątnym

6. Wysokości w trójkącie ostrokątnym Wysokość Wysokość Wysokość

7. Wysokości w trójkącie prostokątnym Wysokość Wysokość Wysokość

8. Wysokości w trójkącie rozwartokątnym Wysokość Wysokość Wysokość

9. ½α ½α Dwusieczna kąta α Dwusieczna kąta w trójkącie Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwa kąty równe. Przez dwusieczną kąta w trójkącie należy rozumieć odcinek będący częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej odpowiedniego kąta wewnętrznego.

10. Odcinek środkowy w trójkącie Odcinek środkowy to odcinek łączący środki dowolnych dwóch boków w trójkącie. W dowolnym trójkącie odcinek środkowy jest równoległy do trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego. odcinek środkowy

11. Środkowa trójkąta Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, licząc od środka boku. środkowa

12. Podział trójkątów Trójkąty możemy podzielić ze względu na: a)rodzaje kątów, b)długości boków.

13. a b c a a b a a a Podział trójkątów ze względu na długości boków Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na: a) różnoboczne, jeśli wszystkie boki są różnej długości, b) równoramienne, jeżeli co najmniej dwa boki mają tę samą długość, c) równoboczne, jeżeli trzy boki mają tę samą długość,

14. Własności wybranych trójkątów • Własności trójkąta: • równobocznego,

15. Środkowa trójkąta Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, licząc od środka boku. środkowa

16. a b c a a b a a a Podział trójkątów ze względu na długości boków Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na: a) różnoboczne, jeśli wszystkie boki są różnej długości, b) równoramienne, jeżeli co najmniej dwa boki mają tę samą długość, c) równoboczne, jeżeli trzy boki mają tę samą długość,

17. γ α β γ α β γ α β Podział trójkątów ze względu na rodzaje kątów Ze względu na rodzaje kątów trójkąty dzielą się na: a) ostrokątne, jeśli wszystkie kąty są ostre , α, β, γ < 90° b) prostokątne, jeżeli jeden z kątów jest prosty (ma miarę 90°), β = 90° c) rozwartokątne, jeśli jeden z kątów jest rozwarty, γ > 90°

18. γ H A A α β A Własności trójkąta równobocznego Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równe 60°. α, β, γ = 60°

19. Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. Rysunek odzwierciedlający Twierdzenie Pitagorasa Kim był Pitagoras?

20. Twierdzenie Pitagorasa c2 b2 c b a a2 a2 + b2 = c2

21. Kim był Pitagoras? PITAGORAS (ok. 572 - 497), gr. matematyk i filozof z Samos; półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejczyków w Krotonie; jest uważany również za twórcę początków teorii liczb, autora twierdzenia Pitagorasa, koncepcji harmonii kosmosu.

22. C1 C B1 A1 A B Przystawanie trójkątów Dwa trójkąty są przystające, jeżeli boki i kąty jednego z nich są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego. I cecha przystawania trójkątów (bbb) II cecha przystawania trójkątów (bkb) III cecha przystawania trójkątów (kbk) Cecha przystawania trójkątów prostokątnych

23. C C1 A B1 B A1 I cecha przystawania trójkątów (bbb) Jeżeli długości trzech boków w jednym trójkącie są odpowiednio równe długościom trzech boków w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. ∆ ABC ≡∆ A1B1C1

24. C C1 A B1 B A1 II cecha przystawania trójkątów (bkb) Jeżeli dwa boki i kąt zawarty między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom i kątowi zawartemu między tymi bokami w drugim trójkącie to trójkąty te są przystające. ∆ ABC ≡∆ A1B1C1

25. C C1 A B B1 A1 III cecha przystawania trójkątów (kbk) Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające. ∆ ABC ≡∆ A1B1C1

26. C C1 90° 90° A B A1 B1 Cecha przystawania trójkątów prostokątnych Jeżeli przeciwprostokątna i przyprostokątna jednego trójkąta równają się odpowiednio przeciwprostokątnej i przyprostokątnej drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. ∆ ABC ≡∆ A1B1C1