向量法求空间角
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向量法求空间角. 授课人:周驾敏. 1 、异面直线所成角的定义 直线 a 、 b 是异面直线,经过空间任意一点 o ,分别引直线 , 我们把直线 和 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。. 异面直线所成角的范围是 。. 由定义知,直线与平面所成的角 θ∈[0 , ]. 3 .二面角的大小:. 二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说 这个二面角是多少度。. ㈠ 空间角的概念. 2 .直线和平面所成角的定义

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Presentation Transcript


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向量法求空间角

授课人:周驾敏


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1、异面直线所成角的定义

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,分别引直线 ,

我们把直线 和 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

异面直线所成角的范围是 。

由定义知,直线与平面所成的角θ∈[0, ]

3.二面角的大小:

二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说

这个二面角是多少度。

㈠空间角的概念

2.直线和平面所成角的定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个

平面所成的角;特别地,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;

一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°角。

二面角的范围是[0,π)


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  如图,设平面β的法向量为 ,

直线AO与平面所成的角为 ;

A

θ

由向量知识知两条异面直线所成的角θ,与这两条直线的两个方向

(其中 分别是直线 上的向量)

o

向量的夹角有如下关系

β

㈡.原理分析:

1、异面直线所成角向量通用公式:

2、直线和平面所成角向量通用公式:


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如图1,设平面 的法向量分别是

θ

则求二面角 的大小可以转化为求

的夹角或其补角。

图1

cos< > =

θ

cos< > =

图2

3、用向量法求二面角的大小:

如图1中,cosθ=

图2中, cosθ=


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z

S

解:如图建立直角坐标系,

O

C

C(0,1,0); O(0,0,0);

y

A

B

S(0,0,1),

x

=(-1,1,0);

=(1,1,0);

=(0,0,1);

(三).典型例题:

如图,已知:直角梯形OABC中,OA∥BC,

∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且

OS=OC=BC=1,OA=2。求:

⑴OS与面SAB所成角α

⑵二面角B-AS-O的大小

⑶异面直线SA和OB所成的角

则A(2,0,0);

B(1,1,0);

于是我们有

=(2,0,-1);


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z

S

O

C

y

A

B

x

⑴设面SAB的法向量

显然有

从而

令x=1,则y=1,z=2;


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⑵.由⑴知面SAB的法向量 =(1,1,2)

∴ 是面AOS的法向量,

z

S

O

C

y

A

B

x

又∵OC⊥面AOS,

则有

由于所求二面角的大小等于

∴二面角B-AS-O的大小为

所以直线SA与OB所成角大小为


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法向量

建 系

标 点

向 量

坐 标

计 算

(四)小结

 用向量坐标式计算的空间角的思路及步骤:

注意:找到两两垂直的三条直线建立空间坐标系,

各个点的坐标要写对,计算要准确。


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(五)练习:

如图,四面体ABCD中,

O、E分别是BD、BC的

中点,其中

( I )求异面直线AB与CD所成角的大小;

(II)求直线AE与面ACD所成角的大小;

(III)求面ABD与面ACD所成角的大小


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其中 是异面直线 上的方向向量。

其中 是平面的法向量。

其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。

(六)、课堂小结

⑴求异面直线所成角的公式:

求线面角大小的公式:

求二面角大小的公式:

⑵用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、 二面

角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位,更

体现了“借数言形”的数学思想。

(七)、布置作业 《金牌学子》P61考点训练1~9


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