Eğriler ve Eğri Yüzeyler

1. Eğriler ve Eğri Yüzeyler İnönü Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

2. Eğriler • Rasterization algoritmaları temelde doğru çizimini hedeflediklerinden; eğri kenarların ifadesi için genişletilmeleri gerekmektedir. • Orta noktalı çember çizdirme algoritması (midpointcirclealgorithm) bunlardan biridir. • Eğimli yüzey veya kenarlardan bir kısmı parametrik denklemlerle matematiksel olarak gösterilebildiğinden simetri ile çember çizdirme algoritması bu tür şekillere uydurulabilir. • Kuadrik yüzeyler, süperkuadrikler, polinom ve üstel fonksiyonlar ile çeşitli eğriler görüntülenebilir.

3. Kuadrik Yüzeyler • 2. dereceden denklemlerin belirttiği yüzeylerdir. • Küre, torus (simit şekli), elipsoid, paraboloid, hiperboloid şekilleri buna örnektir.

4. Süperkuadrikler • Kuadrik gösterimlere ilave parametreler eklenerek elde edilen şekillerdir. • 2B eğri denklemlerine 1 parametre, 3B yüzey denklemlerine 2 parametre eklenerek oluşturulurlar. • Endüstriyel tasarımcıların sıklıkla kullandığı süperelipsve süperelipsoid örnek olarak gösterilebilir.

5. Süperkuadrikler • Genel ifade ve parametrelerle oynanarak oluşturulan şekiller

6. Süperkuadrikler

7. freeGLUTKuadrik Fonksiyonları glutWireSphere (r, nLongitudes, nLatitudes); glutSolidSphere (r, nLongitudes, nLatitudes); glutWireCone(rBase, height, nLong, nLat); glutSolidCone(rBase, height, nLong, nLat); glutWireTorus(rCrossSection, rAxial, nConcentric, nRadial); glutWireTorus(rCrossSection, rAxial, nConcentric, nRadial); glutWireTeapot(size); glutSolidTeapot(size);

8. Spline Fonksiyonu • Kuadrik yüzeyler, süperkuadrikler, polinom ve üstel fonksiyonlar; bütün eğrilerin oluşturulmasına yetmemektedir. • Bir eğriyi bütün olarak ifade etmek yerine belli kontrol noktaları boyunca parçalara ayırarak ifade etmek, eğrinin matematiksel olarak gösterimini kolaylaştırmaktadır. • Splinefonksiyonu; parçalı tanımlanan, sürekli ve yeterince düz (bütün derecelerden türevlenebilir) bir polinom fonksiyonudur. Spline tabirinin Türkçe bir karşılığı yoktur. • Spline eğrisi, çokgen kontrol noktaları üzerinde interpolasyonlaveya yaklaşımla belirlenmiş sürekli eğri parçalarından oluşan eğridir. • Spline yüzeyi, düz bir yüzey üzerinde eşleştirilen 2 (veya daha fazla) spline eğrisinin bir kümesidir. • Splinefonksiyonunu trigonometrik veya parçalı lineer yaklaşım olarak ifade etmek verimsiz ve kötü olacağından yüksek dereceli polinom kullanmak daha mantıklıdır.

9. Spline Fonksiyonu Approximated • İnterpolasyonla noktaları belirlenen eğriler kontrol noktalarından geçmek zorundadır. • Yaklaşımla noktaları belirlenen eğriler kontrol noktalarınca yönlendirilmekle beraber, noktalardan geçmek zorunda değildir.

10. Spline Kavramının Kökeni • Ağaç işçiliği

11. Dışbükey Örtü • Bütün kontrol noktalarını içeren en küçük çokgene o spline eğrisinin dışbükey örtüsü (convexhull) denir.

12. Kontrol Yolu • Aynı dereceye sahip kontrol noktaları boyunca yer alan köşelere kontrol yolu (controlpath) veya karakteristik çokgen (characteristicpolygon) denir.

13. Parametrik Süreklilik • Parametrik süreklilikten kasıt, eğri parçalarının süreklilik özellikleridir. • Sıfırıncı dereceden süreklilikte (C0), eğriler bir bitiş noktasında kesişmektedir. • Birinci dereceden süreklilikte (C1), üsttekine ek olarak eğriler kesişim noktasında aynı tanjanta sahiptir. • İkinci dereceden süreklilikte (C2), üsttekine ek olarak eğrilerin ikinci dereceden türevi aynıdır.

14. Geometrik Süreklilik • Parametrik sürekliliğe benzemekle birlikte, türevlerin sadece yönlerinin anlamlı olması geometrik süreklilik için yeterlidir.

15. Spline Denklemleri • Kübik eğri denklemlerinin genel biçimi • spline dönüşüm matrisidir. (harmanlayıcı fonksiyonlar) • kontrol noktalarını içeren matristir.

16. Tabii Kübik Spline • n+1 kontrol noktasının interpolasyonu ile elde edilir. n eğri parçası vardır. Eğriyi belirlemek için 4n katsayıya ihtiyaç vardır. • İkinci dereceden süreklilikle her n-1 kontrol noktası için 4 denklem bulunur. • Kalan 4 denklemin ikisi için başlangıç ve bitiş noktaları durumları da yazılır. • Başlangıç ve bitiş noktalarının ikinci dereceden türevi 0 kabul edilerek son iki denklem bulunur. • Hayali kontrol noktaları da uydurulabilir.

17. Tabii Kübik Spline • 4n tane bilinmeyen katsayı için 4n tane denklem çözülür. • Bir kontrol noktasındaki değişim bütün denklemleri etkilediğinden, bütün değişimler için 4n tane denklemi hesaplamak oldukça maliyetlidir. • Bu nedenle daha farklı bir biçim gerekmektedir.

18. Hermiteİnterpolasyonu • Her parça için bitiş noktası sabitleri şu şekildedir. • Her bitiş noktası için kontrol noktası konumları ve ilk türevler, sabitler olarak verilir.

19. Hermite Eğrileri Bu polinomlaraHermite harmanlama fonksiyonları denir. Eğri üzerindeki bir noktanın konumunu oluşturmak için sınır durumlarının nasıl harmanlanacağını ifade eder.

20. Hermite Harmanlama Fonksiyonları

21. Hermite Eğrileri • Parçalar yerel olduğundan birinci dereceden parametrik süreklilik söz konusudur. • Kontrol noktalarındaki eğimlere ihtiyaç duyulur. • Esas splinelar ve Kochanek-Bartelspline fonksiyonları komşu kontrol noktalarından eğimleri yaklaşık olarak bulabilir.

22. Bézier Eğrileri • Pierre Bézier tarafından Renault otomobillerini modellemek için kullanılmıştır. Bézier, bu eğrileri keşfetmemekle birlikte patentleyerek yaygınlaştırdığından; bu eğriler Bézier eğrileri olarak adlandırılmaktadır. • Bir Bézier eğrisi, bir eğri parçası için herhangi bir sayıda kontrol noktasını kullanarak yaklaşım yapar. • Bézier eğrisinin derecesi, kontrol noktalarının sayısına ve göreceleri konumlarına bağlıdır.

23. Matematiksel Gösterim • Kontrol noktalarının koordinatları Bézier harmanlama fonksiyonları kullanılarak harmanlanır. • Bir Bézier eğrilerinin polinom derecesi kontrol noktası sayısından bir eksiktir.

24. Kübik BézierEğrileri • Çoğu ekran kartı ve grafik API’ si kübik Bézier eğrilerini desteklemektedir.

25. Kübik Bézier Kaynaştırma Fonksiyonları Kübik eğriler için dört Bézierharmanlama fonksiyonu

26. Bézier Eğrilerinin Özellikleri • Başlangıç ve bitiş noktalarından geçmektedir. • Bu noktalardaki ilk türevler dışbükey örtüsü içinde yer almaktadır.

27. Bézier Eğrilerini Birleştirme • Başlangıç ve bitiş noktaları aynı yapılır. (C0) • Komşu noktaları aynı doğruda başlayıp bitecek şekilde seçilir. (C1) • Mevcut eğri parçanın bilgisi bir sonraki parçanın ilk üç noktasını düzelteceğinden, C2 sürekliliği genelde kübik Bézier eğrilerinde kullanılmaz.

28. Bézier Yüzeyleri • Ortogonal (birbirine dik) Béziereğrilerinin iki kümesi ile oluşturulur. • Bézieryüzeyleri, Bézier kaynaştırma fonksiyonlarının kartezyen çarpımı şeklinde tanımlanabilir.

29. Bézier Yamaları • Daha geniş yüzeylerin yaklaşımında Bézier yüzeylerinden oluşan yamalar kullanılabilir. • Kübik Bézier yamaları için 4 * 4 = 16 kontrol noktası tanımlanabilir. • Yamaları birleştirmek eğrileri birleştirmeye benzer. Kontrol noktaları uygun biçimde seçilerek 0. ve 1. dereceden süreklilik sağlanabilir.

30. Kübik Bézier Yüzeyleri • Kübik Bézier yüzeyleri matris biçiminde şöyle belirtilebilir.