二项式定理的发现与推广

1. 科学发现系列讲座 二项式定理的发现与推广 倪致祥

2. 二项式定理的发现 • 通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:

3. 二项式定理的发现 • 为了便于看出规律，我们把它补充完整:

4. 二项式定理的发现 • 为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. • 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. • 用公式表示为: 这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。

5. 二项式定理的发现 • 通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式: 1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。

6. 二项式定理的推广1 • 上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? • 1665年，牛顿对此进行了研究。 • 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式： • 为了便于比较，我们把二项式定理改写为：

7. 二项式定理的推广1 • 经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 • 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 • 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：

8. 二项式定理的推广1 • 这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有： • 验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。

9. 二项式定理的推广1 • 然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？ • 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。 • 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。 • 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 • 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。

10. 二项式定理的推广2 • 二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？ • 最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。 • 例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算

11. 二项式定理的推广2 • 具体写出来是

12. 二项式定理的推广2 • 为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成

13. 二项式定理的推广2 • 把公式中字母的系数提取出来 • 经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。 • 四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。

14. 二项式定理的推广2 • 同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式

15. 二项式定理的推广2 • 为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：

16. 二项式定理的推广2 • 通过认真观察，我们不难发现以下规律： • 1）展开式中各个字母的指数和为n； • 1）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积； • 3）求和条件为各指数均非负，且和为n • 于是，我们可以把这些展开式统一表达为

17. 二项式定理的推广3 • 上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？ • 大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。