INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CADENAS DE MARKOV CADENAS DE MARKOV ERGODICAS CADENA REGULAR DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE MÉTODO ANALÍTICO CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) CREDITOS INICIO

2. CADENAS DE MARKOV Cada proceso suceso individual se denomina un “estado”. Habrá tantos estados como procesos o sucesos posibles. Para propósitos de notación utilizaremos “Si” que significa el i-ésimo estado de un total de “m” estados posibles: α>m>=2. Cada vez que se produce un nuevo resultado, se dice que el proceso ha avanzado un “paso”, Utilizaremos una “n” para indicar el número de pasos: n=0 nos indica el presente; n=1 representa el suceso posible en la siguiente selección; n=2 representa 2 pasos después, etc. Cuando n  α se dice que el proceso se ha estabilizado y se encuentra en condiciones de estado estable. Los periodos de tiempo que identifican a “un paso”, son diferentes de acuerdo al sistema de que se trate. EJEMPLO: Tres fabricantes de automóviles tienen los siguientes datos con respecto a las compras de los clientes: INICIO SIGUIENTE

3. 0.40 S1 0.25 0.30 0.30 0.20 S2 0.25 S3 0.50 0.50 0.30 Representación de la Matriz de Transición 1) Definir los estados: Por extensión (S1, S2, S3) y por comprensión: S1=Comprara un Ford, S2=compra un Chevrolet, S3Compra un Nissan. 2) Definir los renglones y las columnas. La "componente permanente" o retenciones (gruposque no cambian) aparecen como valores en la diagonal principal y la " componente de intercambio" (grupos que si cambian) aparecen como pérdidas en valores de renglones y lasganancias en columnas Todo lo anterior se resume de la manera siguiente: S1 S2 S3 S1 0.40 0.30 0.30 Permanencia P= S2 0.20 0.50 0.30 y S3 0.25 0.25 0.50 Ganancia Permanencia y pérdida La permanencia, cambio o ganancia de clientes de cada marca puede observarse mediante la siguiente gráfica, donde los estados son nodos y los cambios son vectores: INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

4. ¿Cual es la probabilidad de que el propietario de un Nissan compre un Ford en la siguiente ocasión? Esto es en n=0, el estado es S3, y se desea saber en n=1 la probabilidad de compra de un Ford (S1).  Respuesta: La probabilidad es 0.25 Características de una matriz de transición: 1.- Cada elemento debe ser una probabilidad o sea que debe tener valores entre cero y uno inclusive.No puede haber probabilidades negativas ni mayores a uno. 2.- Los elementos de cada renglón deben sumar exactamente uno. 3.- La matriz de transición siempre es cuadrada. S1 S2.......Sm S1 P11 P12.........P1m=1 donde 0<=Pij<=1 S2 P21 P22.........P2m =1 n P= . . . .  Pij=1 donde i=1,2,3 ,m . . . . J=1 Sm PM1 PM2 PMN =1 Un renglón de la matriz de transición representa a un vector Vi cuyas dimensiones son 1 *m. V1 = [0.40 0.30 0.30] Habrá tantos vectores como estados existan, para el ejemplo anterior se tienen 3 vectores INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

5. S1 = V1 = [0.40 0.30 0.30] S2 = V2 = [0.20 0.50 0.30] S3 = V3 = [0.25 0.25 0.50] Ejemplo: Para conocer las probabilidades de compra de una persona que posee ahora un Ford dos pasos después comprara un Chevrolet, lo ilustraremos por medio de un diagrama de árbol de probabilidades. 0.4 F Ford Chevrolet (%) 0.3 Ch 0.4*0.3=0.12 0.3 N 0.4 F 0.2 F Ford 0.3 Ch 0.5 Ch 0.3*0.5=0.15 0.3 N 0.3 N 0.2 F 0.25 Ch 0.3*0.25=0.075 0.5 N n=0 n=1 n=2 0.345 Por lo tanto, la probabilidad de que el propietario de un Ford (S1) en n=0, compre un Chevrolet (S2), 2 pasos después, es igual a 0.345 . INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

6. Utilizando la técnica facilitada por Cadenas de Markov, resolveremos el ejemplo anterior: La pregunta se escribe así: Vi2 que al desglosarlo queda: V12 = (V11) (P1) Para propósitos de notación general,el subíndice indica el vector Vi y el superíndice indica “n” pasos después. 0.40 0.30 0.30 S1 S2 S3 V12= [ 0.40 0.30 0.30 ] 0..20 0.50 0.30 = [ 0.295 0.345 0.360] = S1 = Ford 0.25 0.25 0.50 1 x 3 3 x 3 Ejemplo: Teniendo un Nissan (S3) en n = 0, encontrar las probabilidades de comprar un Ford en n = 3. V33 = (V31) (P2) = (V32) (P1) V31 P2 0.295 0.345 0.360 S1 S2 S3 V33 = [ 0.25 0.25 0.50 ] 0.255 0.385 0.360 = [ 0.2750 0.3450 0.3800 ] 0.275 0.325 0.400 Otra forma de resolverlo: V33 = ( V32) (P1) Verificando Solución: Primero calculamos V32 INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

7. 0.40 0.30 0.30 V32 V32 = [ 0.25 0.25 0.50 ] 0.20 0.50 0.30 = [ 0.275 0.325 0.340 ] 0.25 0.25 0.50 V33 = (V32) (P1) V33 =[ 0.2750 0.3450 0.3800 ] De acuerdo a la notación utilizada, queda demostrado lo siguiente: Vi0= [Pi1 Pi2 Pi3 Pim ], donde Pii=1 Lo anterior significa que en n = 0, se conoce exactamente cual es el estado, por lo tanto la probabilidad de que exista es igual a 1. V10 = [S1], V20 = [S2], V30 = [S3]. Demostración: Un paso después: n = 1 Vi1= Vi0 P1 Dos pasos después: n = 2 Vi2= Vi1 P1= ( Vi0 P1 ) P1 = Vi0 P2 Tres pasos después: n = 3 Vi3= Vi2 P1= ( Vi0 P2 ) P1 = Vi0 P3 “n” pasos despuésVin = Vin-1 P1= ( Vi1 Pn-2 ) P1 = Vi0 Pn Donde cada igualdad es un método distinto de solución, (a, b y c) Por lo tanto, las probabilidades de los sucesos después de n pasos a partir de ahora, puedendeterminarse utilizando el vector de probabilidad Vi y alguna potencia de la matriz de transición P.En forma general n pasos, llamado también condiciones de estado estable o a largo plazo, se utiliza lasiguiente expresión: Vin = Pn Condiciones de estado estable ; Vi0 =1 INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

8. Para asegurar la obtención de condiciones de estado estable, la cadena debe ser ergodica (también llamada irreducible). Una cadena ergodica describe matemáticamente un proceso en el cual es posible avanzar desde un estado “i” hasta cualquier estado "j”. No es necesario que esto se logre en un solo paso pero debe ser posible para que cualquier resultado sea logrado independientemente del estado presente. Por ejemplo: Analicemos un sector de la ciudad compuesto por nueve esquinas. Consideremos a una esquina como un estado, por lo tanto habrá nueve estados posibles. 7 8 9 4 5 6 1 2 3 Cada vez que el conductor llega a una esquina, 2,4, 6 y 8 puede dar vuelta a la izquierda o derecha ó seguir de frente con igual probabilidad de 1/3. Si se encuentra en la esquina 5 tiene 4 posibilidades de avanzar con probabilidad de ¼ . Si esta en la esquina 1, 3, 7 o 9, solo tiene dos posibilidades con probabilidad de ½ .  Con la información anterior se elabora la matriz de transición: CADENAS DE MARKOV ERGODICAS INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

9. S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 0 0 =1 S2 1/3 0 1/3 0 1/3 0 0 0 0 S3 0 ½ 0 0 0 ½ 0 0 0 S4 1/3 0 0 0 1/3 0 1/3 0 0 P = S5 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 S6 0 0 1/3 0 0 1/3 0 0 1/3 S7 0 0 0 ½ 0 0 0 ½ 0 S8 0 0 0 0 1/3 0 1/3 0 1/3 S9 0 0 0 0 0 ½ 0 ½ 0 La manera más sencilla de verificar si una matriz de transición es ergodica, es elaborando una gráfica, como se vio anteriormente. Nos colocamos en cualquier estado y si a partir de éste se puede llegar a todos los demás, no importa que sea en uno o más pasos, entonces es una matriz ergodica. Ejemplo:Verifique si la siguiente matriz de transición es ergodica. S1 S2 S3 S4 S5 S1 X X 0 X X S2 0 X X 0 X P = S3 0 0 0 X X S4 X 0 X 0 X S5 X X 0 0 0 INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

10. Sea X igual a algún valor positivo “p” entre 0 y 1. Por inspección se observa que puedo ir directamente desde S1 a S2, S4 y S5 pero no a S3 Con lo anterior queda demostrado que es posible llegar desde cualquier estado hasta el estado S1 y esto implica que es posible ir a los demás estados. Por lo que se concluye que es una matriz ergodica. CADENA REGULAR Un caso más restringido de cadena ergodica, es una cadena regular. Una cadena regular se definecomo una cadena que tiene una matriz de transición P, que contiene elementos igual a cero y para lacual alguna potencia de P, únicamente tendrá elementos positivos de probabilidad (diferentes a cero. Todas las cadenas regulares pueden ser ergodicas, pero no todas las ergodicas son regulares). Cuando desaparecen los ceros si elevo la matriz de transición a una potencia, es regular y si puedo ir de uno de los estados a todos los demás, es ergodica. Ejemplo: S1 S2 S3 S1 X X 0 X X X P = S2 X 0 X P3 = X X X S3 0 X X X X X Al multiplicar la matriz se busca tener elementos únicamente positivos.  Es una matriz regular, por que al elevar P al cuadrado desaparecen los ceros. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

11. La existencia de condiciones de estado estable en una cadena ergodica regular, se encuentranelevando la matriz de transición “n” veces, también se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones que se desprende de la matriz de transición. A esta cadena de Markov se le conoce como de altoorden y nos indica los cambios futuros en las preferencias de los clientes. • A medida que aumenta el valor de n, los valores Pij tienden hacia un limite fijo y cada vector deprobabilidad V tiende a ser igual para todos tos valores de j. • Para un valor de "n" suficientemente grande, el vector de probabilidad Vin se hace igual paratodas las i-es y no cambia para otros valores mayores a “n” dados. • Puesto que V1n+1 = Vin P y Vin+1 = Vin, existe un vector V* = (V*)(P) • El vector asterisco contiene las probabilidades que existen en condiciones de estado estable. • Utilizando la matriz de transición del ejemplo de los automóviles, se obtienen los siguientesresultados de P para diferentes valores de n: • Valores de P • 0.4 0.3 0.3 0.27343744 0.35156352 0.37499904 • P3 = 0.2 0.5 0.3 P8 = 0.27343488 0.35156608 0.37499904 V* =[ 0.273 0.352 0.375 ] • 0.25 0.25 0.5 0.27344000 0.35155840 0.37500160 • Los elementos de cada columna tienden a ser iguales, cuando esto sucede, se les llamacondiciones de estado estable, donde V* es el vector de estado estable. (Considere un mínimode 5 decimales con calculadora) DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

12. Siguiendo con el mismo ejemplo, la matriz de transición es: 0.4 0.3 0.3 P3 = 0.2 0.5 0.3 0.25 0.25 0.5 Transformando renglones por columnas: 0.4 V1 + 0.2 V2 +0.25 V3 = V1 V1 + V2 + V3 = 1 0.3 V1 + 0.5 V2 +0.25 V3 = V2 Igualando a cero -0.6 V1 + 0.2 V2+ 0.25 V3 = 0 0.3 V1 + 0.3 V2 + 0.50 V3= V3 0.3 V1 - 0.5 V2 + 0.25 V3 = 0 V1 + V2 + V3= 1 0.3 V1 + 0.3 V2 - 0.50 V3 = 0 Utilizando el método analítico para resolver el sistema de ecuaciones o utilizando un programa de calculadora, se llega a las probabilidades de estado estable. V1 = 0.2734375 V2 = 0.3515625 V3 = 0.375 Condiciones de estado estable o de equilibrio a largo plazo MÉTODO ANALÍTICO INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

13. CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES • Los estados absorbentes describen procesos que terminan o finalizan después de alcanzardeterminadas condiciones y dan como resultado un caso especial de cadenas de Markov,algunos ejemplos son: • 1.- En control de calidad, después de encontrar un número predeterminado de partes quepueden ser aceptadas o rechazadas, se suspende la inspección secuencial. • 2.- Después de “x” horas de funcionamiento, una máquina se detiene para repararla o reemplazarla. • 3.- Después de que una persona ha trabajado en una empresa, puede jubilarse o recontratarse. • 4.- Después del seguimiento que se hace a una cuenta bancaria esta se paga o se considera perdida • CARACTERÍSTICAS. • Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o seaque una vez comenzado es imposible dejarlo y el proceso se detiene completamente o se detienepara luego comenzar a partir de algún otro estado. • b) Una cadena de Markov es absorbente si: • 1) Tiene por lo menos un estado absorbente. • 2) Es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente.No es necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario alcanzar cada estadoabsorbente a partir de cualquier estado no absorbente. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

14. EJEMPLO. 1 • Los alumnos de una escuela técnica, cursan 4 años para terminar su carrera. De los que ingresan aprimer año, 80% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los que están en segundo año, 85%aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los de tercer año, 80% aprueba, 15% reprueba y restodeserta. Los que están en el último grado, 85% se gradúa, 5% deserta y el resto reprueba. • ¿ Cuántos años se espera que un alumno pase como estudiante? • ¿ Cual es la probabilidad de que un estudiante se gradúe? • Solución:Encontrar cuántos y cuales son los estados ymodelar la matriz de transición. • S0=Ingreso S1 S2 S3 S4 S5 S6 • S1 =Primer año S1 0.10 0.80 0 0 0.10 0 • S2 =Segundo año S2 0 0.10 0.85 0 0.05 0 • S3 =Tercer año P = S3 0 0 0.15 0.80 0.05 0 • S4 =Cuarto año S4 0 0 0 0.10 0.05 0.85 • S5 =Deserta S5 0 0 0 0 1 0 • S6 =Se gradúa S6 0 0 0 0 0 1 • a=Estados absorventes • n=Estados no absorventes m=a+n N A “n” “a” O I “n” “a” INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

15. Una vez alcanzados los estados absorbentes S5 y S6, la probabilidad de que el proceso permanezcaen el respectivo estado es 1. Por lo tanto es imposible (probabilidad cero) ir desde cualquiera deestos estados hasta cualquier otro. En realidad esto se debe a que el alumno tomó la decisión dedejar la escuela voluntariamente o decidió graduarse. A partir del análisis de cadenas de Markov absorbentes, se obtiene la siguiente información: 1.- El número de pasos antes de que el proceso sea absorbido, utilizando (I – N-1)Para el ejemplo los pasos serían años. 2.- El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado no absorbente. Para elejemplo, sería el número de años que el alumno permanece en cada grado. 3.- La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado, por medio de la siguienteexpresión (I-N)-1*A. Para realizar los cálculos anteriores, la matriz de transición se subdivide en cuatro matrices y sonlos estados absorbentes los quedan la pauta para dicha subdivisión, (regresar al ejemplo) Donde N e I son opuestos por el vértice. Estas matrices más pequeñas contienen elementos de probabilidad que nos originan "a” estadosabsorbentes y "n" no absorbentes que en total serían a + n = m estados. Matriz I: Es una matriz identidad de dimensiones a*a y representa las probabilidades de permanecer dentro de unestado absorbente. Matriz O: Es una matriz cero de a*n y nos indica las probabilidades de ir desde un estado absorbente hasta un estado absorbente. Matriz A:Es una matriz de n*a y contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta unestado absorbente. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

16. Matriz N: Es una matriz de n*n que contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un estado no absorbente. Continúa la solución.:Calcular (I-N ) –1 NOTA: La matriz N que se utiliza en esta expresión, debe ser de las mismas dimensiones de I. I N I-N (I-N) -1 1 0 0 0 0.10 0.8 0 0 0.9 -0.8 0 0 1.11 0.99 0.99 0.88 0 1 0 0 0 0.1 0.85 0 = 0 0.9 -0.85 0 0 1.11 1.11 0.99 0 0 1 0 0 0 0.15 0.8 0 0 0.85 -0.8 0 0 1.18 1.05 0 0 0 1 0 0 0 0.1 0 0 0 0.9 0 0 0 1.11 (I-N) –1 = Al número esperado de pasos antes de que el sistema o proceso se detenga (I-N) –1 A (I-N) –1 A 1.11 0.99 0.99 0.88 0.10 0 0.25 0.75 0 1.11 1.11 0.99 0.05 0 = 0.16 0.84 0 0 1.18 1.05 0.05 0 0.11 0.89 0 0 0 1.11 0.05 0.85 0.06 0.94 (I-N) –1 A = Probabilidad INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

17. TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA • La teoría de colas es la técnica de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás lamás difícil aplicar debido a que el modelo utilizado, con frecuencia muy poco se ajusta ala realidad. Muchas de estas dificultades se pueden superar combinando la teoría con laexperiencia del investigador. • Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela y hospitales grandes y pequeños,todos en algún momento tienen problemas de "colas”. • Algunas veces las máquinas permanecen ociosas y en otros momentos, los clientes debenesperar. En algunas ocasiones los inventarios son excesivos y en otros momentos haypedidos que no se satisfacen. A veces la industria funciona a media capacidad, lostrabajadores sufren desempleo y los capitales permanecen ociosos. En otras ocasiones lacapacidad de producción se aprovecha al máximo, la mano de obra escasea losabastecedores tienen grandes listas de pedidos en espera de ser atendidos.Ninguno de estos extremos es conveniente y hay una decisión administrativa básica queimplica un equilibrio entre los recursos humanos, económicos y materiales. • Para tomar decisiones al respecto, deben conocerse los siguientes puntos: • Longitud de las colas. • Porcentaje de utilización de las instalaciones de servicio • Tiempo total que toma al usuario formarse y recibir el servicio. • Disponibilidad de personal. • Ejemplo:Lavado de autos “Daytona” • Para lavar cada auto en las instalaciones, se requieren dos minutos. Hay una sola maquinade lavar que es atendida por una sola persona y sólo se puede acomodar un auto a la vez.Si los clientes llegan exactamente a intervalos de dos minutos, el funcionamiento delnegocio carecería de incertidumbre. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

18. Si el sistema compuesto por la máquina de lavado y losclientes que esperan entrar a ella inician operaciones con seis clientes en su interior esposible que durante el día haya clientes siempre esperando. Si el sistema inicia lasoperaciones cuando esta vacío, el primer cliente que llega será atendido inmediatamente yno habrá automóviles en la cola. La mañana del día 1 de junio, cuando Pedro abrió laspuertas a las 9:00 lloras, no había ningún cliente en el sistema de lavado. El primero llegóun minuto después de iniciadas las operaciones. Los tiempos de llagada de los primeros seisclientes se muestran a continuación: Número de cliente tiempo de tiempo desde la tiempo de entrada tiempo de salida tiempo total llegada llegada anterior a la máquina de en el sistema lavado 1 9:01 9;:0l 9:03 0:02 2 9:04 0:03 9:04 9:06 0:02 3 9:06 0;02 9:06 9:08 0:02 4 9:09 0:03 9:09 9:11 002 5 9:10 0:01 9:11 9:13 0:03 6 9:11 0:01 9:13 9:15 0:04 =10  =15 Promedio de llegadas = 0:03 + 0:02 + 0:03 + 0:01 + 0: 01 = 0:10 10 min./5 eventos = promedio de llegada de 2 min. Promedio de tiempo total en el sistema = (0:02 + 0:02 + 0:02 + 0:03 + 0:04) / 6 = 2.5 min. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

19. Sistema Servidor Finita Población Entrada Infinita Linea de Espera Unico o multiple Tasa de Servicio (cuanto dura el servicio) = 2 min. Tasa de llegada en los primeros 11 minutos == 1 coche cada 2 minutos. Tasa de servicio en el sistema = 2.5 min. Tiempo ocioso en el sistema = 3 min. ELEMENTOS PRINCIPALES EN UNA LÍNEA DE ESPERA: Entrada (población infinita o finita). Fila (línea de espera). Servidores (unidad de servicio) Salida CLIENTE:Unidad que llega requiriendo algún servicio. Pueden ser personas, máquinas, refacciones,etc. COLA (línea de espera) :Es el numero de clientes que esperan ser atendidos (la cola no incluye al cliente que estasiendo atendido). UNIDAD DE SERVICIO: Es el proceso, sistema o persona que esta efectuando el servicio al cliente, éste puede sersimple ó múltiple. Se identificará con la letra “k”. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

20. EJEMPLOS: Los aficionados a un encuentro de fútbol son los clientes y el (los) empleado(s) quevende(n) los boletos son las unidades de servicio. En un estacionamiento los automóviles son los clientes y tos espacios de estacionamientolas unidades de servicio. Las tarjetas de crédito serían los clientes y las cajas automáticas de los bancos serian lasunidades de servicio. TASA DE LLEGADA (clientes por periodo de tiempo). (): Es la tasa a la cual tos clientes llegan para ser atendidos. Se supondrá en la mayoría de losproblemas que esta tasa corresponde a una distribución aleatoria de Poisson. TASA DE SERVICIO (clientes por período de tiempo) (): Es la tasa a la cual una unidad de servicio proporciona el servicio a un cliente y puedealcanzarse cuando la unidad de servicio está siempre ocupada. Supondremos que esta tasa está aleatoriamente distribuida según una distribución dePoisson. PRIORIDAD: Esta suposición consiste en que el primero que llega es el primero en ser atendido. Estasuposición afecta la deducción de las ecuaciones utilizada en el análisis. TAMAÑO DE LA POBLACIÓN: Cuando el número de clientes potenciales es mayor a 30 se considera una población esinfinita; cuando es menor a 30, será una población finita. DISTRIBUCIÓN DE TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO: La suposición más frecuente para estos casos, es la distribución de Poisson, donde seconsidera que ambas tasas deban ser completamente independientes y que permanezcanconstantes con el tiempo, aunque esto último puede no ser verdadero debido a un cambiotemporal de la tasa de servicio. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

21. PARAMETRO K=1 K>1 Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P0) Probabilidad de hallar ocupado o trabajando el sistema ( ρ ) Probabilidad de hallar k clientes o más en el sistema Probabilidad de que haya n clientes en la cola Número esperado de clientes en la cola. POBLACIÓN INFINITA INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

22. POBLACIÓN INFINITA INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

23. POBLACIÓN FINITA INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

24. POBLACIÓN FINITA INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

25. INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) Las empresas se enfrentan con frecuencia a problemas en los que se tiene estasucesión de eventos: 1. La empresa decide cuántas unidades pedir. Sea q el número de unidades pedidas 2. Con una probabilidad p(d), se tiene una demanda de d unidades. En esta secciónsupondremos que d debe ser un entero no negativo. Sea D la variable aleatoria que representala demanda. 3. Dependiendo de d y de q, se incurre en el Costo c (d,q). Los problemas que siguen esta secuencia se llaman problemas del vendedor de periódicos. Paraver por que es así, pensemos en un vendedor que debe decidir cuantos periódicos pedirá cadadía a la editorial. Si el vendedor pide demasiados se quedará con muchos sin vender, al fina deldía. Por otro lado, un vendedor que pide muy pocos periódicos perderá ganancias (y enojará asus clientes) que podrían haber sido suyas si hubiera pedido periódicos suficientes para cumplircon la demanda. El vendedor debe pedir el número de periódicos que equilibre en formaadecuada a esos dos costos. En esta sección mostraremos como se puede emplear el análisis marginal, para resolverproblemas de vendedor de periódicos . Cuando la demanda es una variable discreta y c (d,q)tiene la forma siguiente: c(d, q) = Coq + (términos sin q) (d <= q) (2) c(d,q) = -Cuq + (términos sin q) (d >= q + I) (2.1) En la ecuación (2), Co es el costo unitario de comprar demasiado. Si d <= q, hemos pedido másde lo que es la demanda, esto es, estamos sobreabastecidos. Si el tamaño del pedido aumentade q a q+í, la ecuación (2) muestra que el costo se incrementa en Co. Por lo tanto Co es el costodebido a tener 1 unidad de excedente. A Co se le llama costo de sobre abastecimiento.Igualmente, si d >= q + 1, tenemos faltantes hemos pedido una cantidad menor que la demanda. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

26. Si d >= q +1, y aumentamos en 1 el tamaño del pedido, nuestro faltante será una unidadmenor. Entonces (2.1) indica que el costo se reduce en Cu y. por tanto, Cu es el costo unitario detener faltantes. A Cu se le llama costo de sub abastecimiento. Para deducir la cantidad óptima de pedido por medio del análisis marginal, sea E(q ) elcosto esperado si se hace un pedido de q unidades. Suponemos que la meta de quien toma lasdecisiones es encontrar el valor q* que minimiza a E(q). Si c(d,q) se puede describir mediante lasecuaciones (2) y (2.1) y si E(q) es función convexa de q, entonces se puede emplear el análisismarginal para determinar q*. Siguiendo con la ecuación (1),debemos determinar el valor mínimo de q para el cualE(q+1)-E(q)>= 0. Para calcular E(q+1) - E(q) debemos tener en cuenta dos posibilidades: Caso 1 d <= q. En este caso, si se piden q + 1 unidades en lugar de q, se hace que tengamossobrante, o estemos sobreabastecidos en una unidad más. Esto aumenta en Co el costo. Laprobabilidad que se tenga el caso 1 es simplemente P( D <= q), donde D es la variable aleatoriaque representa a la demanda. Caso 2d >= q + 1. En este caso, pedir q + 1 unidades en lugar de q, hace que tengamosescasez de una unidad menos. Esto disminuirá Co nuestro costo. La probabilidad de tener elcaso 2 es: P(D >= q + 1 = 1 – P(D <= q) En resumen, una fracción P(D <= q) de las veces, pedir q + 1 unidades costara Co másque si se piden q unidades, y una fracción 1 - P(D <= q ) de las veces, pedir q + 1 unidadescostara Cu menos que si se piden q unidades. Así, en promedio, pedir q + 1 unidades cuesta: CoP(D <= q) - Cu - P(D <= q) más que si se piden q unidades. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

27. De modo mas formal, hemos demostrado que: E(q+1)-E(q)=Co P(D<=q) - Cu1- P(D<=q) = (Co + Cu) P(D <= q) - Cu Entonces E(q + 1) - E(q) >= O será valida si (Co + Cu) P(D <= q) >= O o sea P(D <= q) >= Cu (Co- Cu) Sea F(q) = P(D <= q) la distribución de la función de demanda. Como es aplicable el análisismarginal, acabarnos de demostrar que E(q) será reducida al mínimo por el valor mínimo de q(llamémosle q*) que satisface a: F(q*)>= Cu (3) (Co - Cu) El ejemplo siguiente muestra el uso de la ecuación (3). EJEMPLO 1 Walton Bookstore debe decidir en agosto cuantos calendaros dela naturalezapedir para el próximo año. Cada calendario le cuesta 2 dólares y los vende a 4.50 dólares.Después del 12 de enero, cualquier calendario no vendido se regresa al editor y se reciben75 centavos por cada uno. Walton cree que el numero de calendarios vencidos al 12 de enerosigue la distribución de probabilidad mostrada en la Tabla 1. Walton desea maximizar laganancia neta esperada debida a ventas de calendarios. ¿Cuántos calendarios debe pedir enagosto ? *Como p(D - q) aumenta al aumentar q. E(q +1) - E(q) aumentara al aumentar q. Por lo tanto, siCo + Cu >= 0 E(q) es función convexa de q, y se justifica el uso del análisis marginal. *Basado en Barron (1985). INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

28. Tabla 1 Función de masade probabilidad paralas ventas decalendarios No. de calendarios vendidos Probabilidad 100 0.30 150 0.2 200 0.30 250 0.15 300 0.05 Solución .Sean: q = numero de calendarios que se piden en agosto d = numero de calendarios necesitados hasta el 1° de enero Si d <= q, se incurre en los costos de la Tabla 2. La ganancia es costo negativo. De acuerdo conla ecuación (2), Co = 1.25 . Si d >= q +1, se incurre en los costos que aparecen en la Tabla 3. De acuerdo con la ecuación(2), -Cu = -2.5, o sea Cu = 2.5 . Entonces Cu 2.5 2 Co + Cu 3.75 3 De acuerdo con la ecuación (3); Walton debe pedir q* calendarios, donde q* es el menor númeropara el cual P(D <=q*) >= 2/3. Como función de q, P(D <= q) aumenta solo cuando q = 100,150,200, 250 o 300. Nótese también que P(D <= 100) =0 .30 P(D <= 150) =0 .50, P(D <= 200 )= 0.80 . Como P(D <= 200) es mayor o igual que 2/3. Se debe pedir q* = 200 calendarios. = = INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

29. Tabla 2 Cálculo del costo total si d <= qCOSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u 2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5d Devolución de q - d calendarios a 75 centavos c/u -0.75 (q - d) Costo total 1.25q-3.75d Tabla 3 Cálculo del costo total si d >= q + 1COSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5q Costo total-2.5q OBSERVACIONES 1. En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200° calendario que se pide esP(D >= 200) = 50. Esto significa que el 200° calendario vendido tiene probabilidad 1 - 0.50 =0.50 de no ser vendido. Así, el 200° calendario aumentará los costos esperados de Walton en0.50(-2.50) + 0.50(1.25) = - 0.625 dólares. En consecuencia, se debe pedir el 200° calendario.Por otro lado, la probabilidad de vender el 201° calendario es P(D >= 201) = 0.20 y laprobabilidad de que no se venda es 1 - 0.20 = 0.80. Por lo tanto, el 201° calendario aumentarálos costos esperados en 0.20(-2.50) + 0.80(1.25) = 0.50 dólares. Así, el 201° calendarioaumentará los costos esperados y no se debe pedir. INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

30. 2. En el ejemplo 1 se podrían haber calculado fácilmente Co y Cu sin recurrir a las ecuaciones (2) y(2.1). Por ejemplo, si hay una unidad mas que la demanda real, se aumentan los costos deWalton en 2- 0.75 = 1.25 dólares. Así, Co = 1.25 dólares. Igualmente, con una unidad menos quéla demanda real, le costara 4.50- 2.00 = 2.50 dólares a Walton, en términos de ganancias. Porlo tanto, Cu = 2.50 dólares. Si podemos calcular Co y Cu sin emplear las ecuaciones (2) y (2.1), lodeberíamos hacer. Sin embargo, en problemas más difíciles las ecuaciones pueden ser demucha utilidad. A continuación veremos el caso del vendedor de periódicos cuando la demanda D esvariable aleatoria continua que tiene una función de densidad f(d). Al modificar el argumento deanálisis marginal visto anteriormente o mediante la regla de Leibniz para diferenciar una integralse puede demostrar que el costo esperado por el tomador de decisiones se reduce al mínimocuando pide q* unidades, donde q* es el número mínimo que satisface a: P ( D <= q*) >= Cu (4) Co-Cu Como la demanda es una variable aleatoria continua, podemos determinar un número q*para el cual la expresión (4) sea válida como igualdad. Por lo tanto en este caso, la cantidadóptima por pedir se puede obtener al determinar el valor de q* que satisfaga: Cu Cu P(D<=q')= Co + Cu o P(D>=q*)>= Co + Cu (5) INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

31. Según esta ecuación, vemos que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la últimaque se pida tenga una probabilidad: Cu Co + Cu de venderse. EJEMPLO 1 La American Bar Association (ABA) efectúa su convención anual en Las Vegas. Seis mesesantes de que inicie la convención, la ABA debe decidir cuantas habitaciones debe reservar en elhotel sede. En este momento, la ABA puede reservar habitaciones a un costo de 50 dólarescada una, pero seis meses antes de la convención, la ABA no sabe con certeza cuanta genteasistirá a la convención. La ABA cree, sin embargo, que el número de habitaciones necesariastiene una distribución normal con promedio 5000 y desviación estándar 2000. Si el númeronecesario de habitaciones es mayor que el reservado en el hotel sede, se tendrán que pagarhabitaciones en los hoteles cercanos a un costo de 80 dólares por habitación. Para losparticipantes en la convención es incomodo alojarse en hoteles vecinos. Se mide laincomodidad al estimar un costo adicional de 10 dólares por cada habitación ocupada en unhotel vecino. Si la meta es reducir al mínimo el costo esperado por la ABA y sus miembros,¿Cuántas habitaciones debe reservar la ABA en el hotel sede? Solución Definimos q = número de habitaciones reservadas d = número de habitaciones necesarias en realidad Si d <= q, entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones reservadas conanterioridad y, por lo tanto, el costo total es 50q. Así, Co = 50. Si d >= q + 1, se incurre en lossiguientes costos: INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

32. Costo de reservación de q habitaciones = 50q. Costo de renta de d - q habitaciones en hoteles vecinos = 80(d- q). Costo de incomodidad a los participantes adicionales = 10(d -q) Costo total = 90d-40q y Cu=40 Como Cu / (Co + Cu) = 40/90 = 4/9, según la ecuación (5), el número óptimo de habitacionesque se debe reservar es el numero q* que satisfaga P(D <= q*) = 4/9 (6) Como D tiene distribución normal con promedio 5 000 y desviación estándar 2000, podemosnormalizar la ecuación (6) con respecto a la variable aleatoria D y obtener: P(D P (D-5000 <= q*-5000) = .444 2000 2000 P (Z <= q*- 5 000) = .444 2000 En la Fig. 2 vemos que (q* - 5000) / 2000 debe ser igual al número que tenga unárea 0.444 ala izquierda de él en las tablas de distribución normal estándar. Según esa tabla , vemos que P(Z<=-0.14) =0.4443. Entonces q*-5000 =-0.14 2000 q*= 5000-2000(0.14) =4720 INICIO ANTERIOR SIGUIENTE

33. Figura 2 Determinación deq* para el ejemplode reservación dehabitaciones enhotel. -0.14 = q* - 5000 2000 Por lo tanto, la ABA debe reservar 4 720 habitaciones. ANTERIOR INICIO

34. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERIA APUNTES DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ELABORADOS POR: ING.RUFINO CRUZ SORIANO INICIO SIGUIENTE