第 6 章 内力和内力图

1. §6-1 平面桁架的内力 §6-2 轴力和轴力图 §6-3 扭矩和扭矩图 §6-4 剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 第 6 章 内力和内力图

2. 外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。 内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。 内力必然成对存在，它们是大小相等、指向相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。 为了求得物体内部各部分之间的相互作用 力，需将物体假想地截开，取其一部分来研究；对于系统，也须截取某一部分来研究。

3. P §6-1 平面桁架的内力 6.1.1 桁架的概念 1. 什么是桁架 桁架是由一些直杆组成的几何形状不变的结构。 所有杆件的轴线都在 同一平面内的桁架称为 平面桁架。 2. 工程实例

4. 例：地面卫星接收系统

5. 例：海洋石油钻井平台

6. 例：埃菲尔铁塔

7. P 3. 分析桁架内力的目的： (1)截面形状和尺寸设计； (2)材料选取； (3) 强度校核。

8. 节点 上弦杆 下弦杆 斜杆 跨度 6.1.2 模型的建立 1. 屋架结构的简化

9. 2. 桁架简化的几个假设 (1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 桁架中各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点 上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。 根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。

10. 杆件 节点 3. 平面简单桁架的构成 在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。

11. 节点 杆件 平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为 ： m=3+2(n-3)=2n-3 平衡方程数：2n 未知力数目：m+3 在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。

12. FE K E a A a a a B C D FC 6.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法 例题 6-1 如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。求各杆内力。

13. FE E K FB FAy a A a a a B FAx C D FC 例题 6-1 解： 先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程 联立求解得 FAx= －2 kN, FAy= 2 kN FB = 2 kN

14. FAF A FAC FAx FAy FE E K FB FAy a A a a a B FAx C D 解得 FC 例题 6-1 取节点A，受力分析如图, 设所有杆件均为拉杆。由平衡方程

15. FE E K FFE FB FAy K a FFA A a a a B 解得 FAx C D FFC FC 例题 6-1 取节点K，受力分析如图。由平衡方程

16. FCF FCE C FCD FCA FC FE E K FB FAy a A a a a 解得 B FAx C D FC 例题 6-1 取节点C，受力分析如图。由平衡方程

17. FDE FE E K FB FAy 解得 a A a D a a B FAx C D FDC FDB FC 例题 6-1 取节点D，受力分析如图。由平衡方程

18. FB FBE 解得 B FBD FE E K FB FAy a A a a a B FAx C D FC 例题 6-1 取节点B，受力分析如图。由平衡方程

19. FE K E a A a a a B C D FC 2. 截面法 例题 6-2 如图平面桁架，已知铅垂力FC = 4 kN，水平力FE = 2 kN。求FE，CE，CD杆内力。

20. FE E K FB FAy a A a a a B FAx C D FC 例题 6-2 解： 先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程 联立求解得 FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN

21. K FE E m FB FAy a a a a FAx B D C A FC m FFE K E FAy FCE A a D FAx C FCD 联立求解得 FC 例题 6-2 作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。 由平衡方程

22. 2 1 1 1 F 3 2 2 F3= 0 F2= 0 F1= F2= 0 (a) (b) (c) 3. 零力杆件 意义：简化计算, 问题：能否去掉零杆?

23. (1) 荷载改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何荷载作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。 注意： (2) 实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。

24. F B C F A D D C F E G H A B (a) (b) 思考题6-1 试判断下列各桁架中的零杆

25. F1 F1 B C A D D C E F G H A B (a) (b) 思考题6-1参考答案：

26. 4. 小 结 (1) 节点法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 逐个取各节点为研究对象； (c) 求杆件内力； (d) 所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。 (2) 截面法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 根据待求内力杆件，恰当选择截面； (c) 分割桁架，取其一进行研究，求杆件内力； (d) 所截杆件的未知力数目一般不大于3。

27. F a 2 F 3 1 4 a F a A B a 思考题6-2 试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。

28. I F a 2 F I II II 3 1 4 a F a A B a 思考题6-2参考答案： F1= F F2= - 2F F3= 2.828F F4= - 3F

29. F1 H G D F2 a C 2 F E 1 a B A a 思考题6-3 试计算图示桁架中1、2杆的内力。

30. F1 Ⅱ H G D F2 a ∑MF (F)=0 C 2 F E FS1=F1/2- 2F2 Ⅱ 1 a Ⅰ Ⅰ B A ∑MD (F)=0 FS2= F2 - F1 /4 a 思考题6-3参考答案： I—I截面： Ⅱ—Ⅱ截面：

31. A B F1 F1 (a) C D F2 F2 (b) §6-2 轴力和轴力图 如上图中轴向受力的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。

32. m A B F F A m FN F B FN F m 拉压杆横截面上的内力，由截面一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的力，此力称为轴力。用符号FN表示。

33. m A B F F A m FN F B FN F 习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。 当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。

34. 30 kN 20 kN 20 kN A B C D 3 2 30 kN 20 kN 1 20kN x 1 2 A D B C 3 20kN FN1 D 作轴力图。 解：要作ABCD杆的轴力图，则需分别将AB、BC、CD杆的轴力求出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。 例题 6-3 1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设其轴力为正。则 ∑Fx= 0，-FN1 - 20 = 0 FN1 = -20 kN 负号表示轴力的实际指向与所设指向相反， 即为压力。

35. 3 2 30 kN 20 kN 1 20kN 1 2 A D B C 3 FN3 20kN 30 kN 20 kN D B C 20kN FN2 20kN C D 于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体，设轴力为正值。则 例题 6-3 ∑Fx= 0，-FN2 + 20 - 20 = 0 FN2 = 0 ∑Fx= 0， -FN3 + 30 + 20 - 20 = 0 FN3 = 30 kN 轴力与实际指向相同。

36. 30 kN. 20 kN 20 kN D A B C FN/kN 30 x O 20 作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力FN。 例题 6-3

37. 30 kN. 20 kN 20 kN D A B C 例题 6-3 当然此题也可以先求A处的支座反力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。

38. 40 kN 20 kN 30 kN C A B D 0.5m 0.5m 1m 思考题 6-4 试作图示杆的轴力图。

39. 40 kN 20 kN 30 kN FN/kN C A B D 20 0.5m 0.5m 1m 10 x O 20 思考题6-4参考答案：

40. B l C F 思考题6-5 考虑图示杆的自重,作其轴力图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r ，杆的自重为P。

41. x B F+Argl l FN(x) Ag x x C F FN F F FN(x)= F+Arg x 思考题6-5参考答案：

42. A B l §6-3 扭矩和扭矩图

43. 如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab′, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度∠bO'b′。 为了分析横截面上的内力，取m--m截面。

44. 由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号T表示。

45. 由 ∑Mx（F）= 0 T – Me = 0 即 T=Me 取(c)图列方程可得相同的计算结果。

46. 扭矩的正负号由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。 扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。

47. 例题 6-4 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kN·m , MB=3.5kN·m , MC =1 kN·m , MD = 0.5 kN·m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。 解：只要求出AB、BC、CD段中任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。

48. 得 MA + T1 = 0 例题 6-4 分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。 考虑1-1截面 1-1截面： ∑Mx（F）= 0 T1=MA= -2 kN·m

49. 同理得 T2=1.5kN·m , T3 = 0.5 kN·m 例题 6-4

50. 思考题6-6 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？