第四章  整数规划
Download
1 / 39

第四章 整数规划 (Integer Programming, IP) - PowerPoint PPT Presentation


  • 432 Views
  • Uploaded on

第四章 整数规划 (Integer Programming, IP). 整数规划的有关概念. 整数规划 ( Integer Programming )主要是指整数线性规划。一个线性规划问题,如果要求部分决策变量为整数,则构成一个整数规划问题。 所有变量都要求为整数的称为 纯整数规划 ( Pure Integer Programming )或称 全整数规划 ( All integer Programming ); 仅有一部分变量要求为整数的称为 混合整数规划 ( Mixed Integer Programming );

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' 第四章 整数规划 (Integer Programming, IP)' - jodie


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

第四章 整数规划

(Integer Programming, IP)


整数规划的有关概念

  • 整数规划(Integer Programming)主要是指整数线性规划。一个线性规划问题,如果要求部分决策变量为整数,则构成一个整数规划问题。

  • 所有变量都要求为整数的称为纯整数规划(Pure IntegerProgramming)或称全整数规划(All integer Programming);

  • 仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划(Mixed Integer Programming);

  • 有的变量限制其取值只能为0或1,这类特殊的整数规划称为0-1规划(0-1Integer Programming )。


第一节 整数规划问题及其数学模型

一、整数规划问题

例4.1某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大?


Maxz=3x1+2x2

2x1+3x2≤14

x1+0.5x2≤4.5

x1、x2≥0, 且为整数

解:设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2,由于是设备台数,则其变量都要求为整数,建立模型如下:

  • 要求该模型的解,不考虑整数约束条件,用单纯形法对相应线性规划求解,其最优解为:

  • x1=3.25 x2=2.5 max z=14.75

  • 凑整得到的(4,2)不在可行域范围内。

  • (3,2)点尽管在可行域内,但没有使目标达到极大化。

  • (4,1)使目标函数达到最大,即z=14。


由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

Max z =CX

AX=b

X≥0,且为整数或部分为整数

若称该整数规划问题为原问题,则线性规划问题:

Max z =CX

AX=b

X≥0

为原问题对应的松驰问题(LP Relaxation)。

显然,原问题与松弛问题有如下关系:

松弛问题可行域包含原问题可行域;

若两者都有最优解,则松弛问题最优解大于原问题最优解;

若松弛问题最优解为整数解,则该最优解就是原问题最优解。

二、整数规划数学模型的一般形式


第二节 整数规划的解法由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

  • 整数规划常用的解法有分枝定界法和割平面法,它们适用于解纯整数规划问题和混合整数规划问题。

    一、分枝定界法

    (1)基本思想 (2)基本原理

    二、割平面法

    (1) 基本思想 (2)基本原理

    三、整数规划的计算机解法

    计算机求解举例


第三节 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0-1整数规划

一、0-1整数规划模型

  • 0-1整数规划在实际中应用较多。因为实际问题中经常碰到大量的决策问题,要求回答“是-否”或“有-无”问题,这类问题可以借助整数规划中的0-1整数变量,使许多复杂的、困难的问题相对变得简单。

  • 0-1变量一般可表示为:


第三节 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0-1整数规划

  • 0-1整数规划的数学模型可表示为:


二、由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0-1整数规划求解

  • 0-1整数规划的求解方法有穷举法、隐枚举法和分枝定界法.

  • 隐枚举法求解举例


  • 解:由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:(1)先用试探的方法找出一个初始可行解,如x1=x2=0,x3=1。满足约束条件,选其作为初始可行解,目标函数z0=2。

    (2)附加过滤条件 以目标函数作为过滤约束:

    4x1+3x2+2x3 >= 2

  • 原模型变为:


由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

过滤条件

约束

z值

4x1+3x2+2x3≥2

(0,0,0)T

×

(0,0,1)T

2

(0,1,0)T

×

(0,1,1)T

5

4x1+3x2+2x3≥5

(1,0,0)T

×

(1,0,1)T

×

(1,1,0)T

7

4x1+3x2+2x3≥7

(1,1,1)T

9

(3)求解 求解过程如表4-6所示。


第四节 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0-1整数规划应用(Applications)

一、相互排斥的计划(Mutually exclusive planning)

  • 例4.6某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部,有例7个点Ai(i=1,2,…,7)可供选择,要求满足以下条件:

    1) 在东区,在A1,A2,A3三个点中至多选两个;

    2) 在西区,A4,A5两个点中至少选一个;

    3) 在南区,A6,A7两个点为互斥点。

    4) 选A2点必选A5点。

  • 若Ai点投资为bi万元,每年可获利润为ci万元,投资总额为B万元,试建立利润最大化的0-1规划模型。


解:设决策变量为由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

建立0-1规划模型如下:


二、互排斥的约束条件由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:(Mutually exclusive constraints)

例4.7某产品有A1和A2两种型号,需要经过B1、B2、B3三道工序,单位工时和利润、各工序每周工时限制见表所示,问工厂如何安排生产,才能使总利润最大?(B3工序有两种加工方式B31和B32,产品为整数)。


  • 解:设由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:A1、A2产品的生产数量分别为x1、x2件,在不考虑B31和B32相互排斥的情况下,问题的数学模型为


  • 工序由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:B3只能从两种加工方式中选择一种,那么约束条件(1)和(2)就成为相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中,引入0-1变量

则数学模型为


那么约束条件组


三、固定成本问题 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:(Fixed cost problem)

例4.8某公司制造小、中、大三种尺寸的容器,所需资源为金属板、劳动力和机器设备,制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示:不考虑固定费用,小、中、大号容器每售出一个其利润分别为4万元、5万元、6万元,可使用的金属板有500吨,劳动力有300人/月,机器有100台/月,另外若生产,不管每种容器生产多少,都需要支付一笔固定费用:小号为100万元,中号为150万元,大号为200万元。问如何制定生产计划使获得的利润对大?


资源由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

小号容器

中号容器

大号容器

金属板(吨)

2

4

8

劳动力(人/月)

2

3

4

机器设备(台/月)

1

2

3

解:设x1、x2、x3分别为小号容器、中号容器、大号容器的生产数量。不考虑固定费用,则问题的数学模型为


若考虑固定费用就必须引入由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0—1变量:

则该问题的数学模型为


地区由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:1

地区2

地区3

地区4

地区5

地区6

地区1

0

10

16

28

27

20

地区2

10

0

24

32

17

10

地区3

16

24

0

12

27

21

地区4

28

32

12

0

15

25

地区5

27

17

27

15

0

14

地区6

20

10

21

25

14

0

四、布点问题 (Location Problem)

例4.9某城市消防队布点问题。该城市共有6个区,每个区都可以建消防站,市政府希望设置的消防站最少,但必须满足在城市任何地区发生火警时,消防车要在15 分钟内赶到现场。据实地测定,各区之间消防车行驶的时间见表4-9,请帮助该市制定一个布点最少的计划。

  • 表4-9 消防车在各区间行驶时间表 单位:min


  • 解:引入由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:0-1变量xi作决策变量,令

  • 本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15分钟行程内。如地区1,由表4-9可知,在地区1及地区2内设消防站都能达到此要求,即x1+x2≥1

  • 因此本问题的数学模型为:

    min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6

    x1+x2 ≥1

    x1+x2+x6 ≥1

    x3+x4 ≥1

    x3+x4+x5 ≥1

    x4+x5+x6 ≥1

    x2+x5+x6 ≥1

    xi=1或0 (i=1,…,6)


五、其他案例(数据、模型与决策)由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:

资金预算(Capital budgeting problem)

冰冷电冰箱公司正在考虑4种投资方案,有关数据如下表。

问题:选择投资项目使总现值最大。


引入由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:4个0-1变量:

P=1,工厂扩建通过;P=0,则不选工厂扩建;

W=1,仓库扩建通过;P=0,则不选仓库扩建;

M=1,机器更新通过;P=0,则不选机器更新;

R=1,新产品研究通过;P=0,则不选新产品研究;

则问题的0-1规划数学模型为:

Max Z=90P+40W+10M+37R

15P+10W+10M+15R ≤40

20P+15W +10R ≤50

20P+20W +10R ≤40

15P+ 5W+ 4M+10R ≤50

P,W,M,R=0,1


案例 固定成本(由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:Fixed cost problem)

生产三种产品需要用三种原料,生产这些产品需要配置成本,若不需要,则无配置成本。有关数据如下表。

问题:各产品应生产多少总利润最大。


设:由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:F=添加剂生产量;S=溶剂生产量;C=清洁剂生产量;

引入3个0-1变量:

若生产添加剂,SF=1,否则SF=0;

若生产溶剂,SS=1,否则SS=0;

若生产清洁剂,SC=1,否则SC=0;

则问题的0-1规划数学模型为:

Max Z=40F+30S+50C – 200SF – 50SS – 400SC

0.4F+0.5S+0.6C ≤20

0.2S +0.1C ≤5

0.6F+0.3S+0.3C ≤21

F - 50SF ≤0

S - 25SS ≤0

C - 40SC ≤0

F,S,C ≥0, SF,SS,SC=0,1


案例 分销系统设计由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式:(Distribution system design problem)

马丁贝克公司在圣路易斯经营一家生产量为30000件产品的工厂。产品被运输到位于波士顿、亚特兰大和休斯敦的地区分销中心。由于预期将有需求增长,公司计划在底特律、托来多、丹佛和堪萨斯中一个或多个城市建立新工厂以增加生产力。有关数据如下表。

问题:各选择哪个或哪些工厂使总成本最小。


在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题.

若用xij表示从产地i到分销中心j的运量,则其数学模型为:

Minf=5x11+2x12+3x13+4x21+3x22+4x23+…+ 4x52+3x53

x11+x12+x13 ≤10

x21+x22+x23 ≤20

x31+x32+x33 ≤30

x41+x42+x43 ≤40

x51+x52+x53 ≤30

x11+x21+x31+x41+x51=30

x12+x22+x32+x42+x52=20

x13+x23+x33+x43+x53=20

xij≥0,所有i,j


若考虑固定成本和生产地的选择需要引入在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题0-1变量.

若在底特律建立工厂, y1=1, 否则 y1=0;

若在托来多建立工厂, y2=1, 否则 y2=0;

若在丹佛建立工厂, y3=1, 否则 y3=0;

若在堪萨斯建立工厂, y4=1, 否则 y4=0;

若用xij表示从产地i到分销中心j的运量,则其数学模型为:

minf=5x11+2x12+3x13+…+4x52+3x53+175y1+300y2+375y3+500y4

x11+x12+x13 -10y1 ≤0

x21+x22+x23 -20y2 ≤0

x31+x32+x33 -30y3 ≤0

x41+x42+x43 -40y4 ≤0

x51+x52+x53 ≤30

x11+x21+x31+x41+x51 =30

x12+x22+x32+x42+x52 =20

x13+x23+x33+x43+x53 =20

xij≥0,所有i,j; y1,y2,y3,y4=0,1


2在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题

1

12

3

4

16

5

9

10

13

15

6

7

8

11

14

18

20

17

19

案例 银行选址(Location problem)

  • 俄亥俄州信托投资公司的远期计划正在考虑在俄亥俄州东北部20个郡的地区开展业务.该投资公司目前在这20个郡还没有主营业处.根据该州法律:如果一个银行在任一个郡建立主营业处,即可在该郡及所有毗邻郡建设分行. 该计划的第一步是:投资公司需要确定为了在这20个郡完全营业一共要建立的主营业处的最小数目.


若在第在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题i郡建立主营业处, 则xi=1, 否则 xi=0

这样, 目标函数为:min z = x1+x2+ …+x20

每个郡要满足一个约束条件:该郡或与该郡相毗邻的郡中至少有一个需要建立主营业处.

例如第10个郡有: x3+x9+x8+x11x10+x12+x13 ≥1

因此,该问题的数学模型为:

min z = x1+x2 + … + x20

x1+x2 +x12 +x16 ≥1 (第1个郡)

x1+x2+x3 +x12 +x16 ≥1 (第2个郡)

x2+x3+x4+x9+x10 +x12+x13 ≥1 (第3个郡)

. .

. .

. .

x11+ x14+ x19+x20 ≥1 (第20个郡)

xi=0,1 I=1,2,… , 20


案例 产品设计和市场份额的优化(在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题Product design and market share optimization problem)


决策变量在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题:

xij=1, 表示赛伦pizza 在属性j上选择i, 否则xij=0

yk=1, 顾客i选择赛伦pizza, 否则yk=0

这样, 目标函数为:选择赛伦pizza的顾客数最大, 即

max z = y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7+ y8

约束条件:

(1)若果顾客i选择赛伦, 则他认为赛伦的效用比他目前中意的品牌的效用还要大. 例如第1个顾客, 目前中意的pizza是安东尼奥, 效用为52, 因此:

11x11+2x21+6x12+7x22+3x13+17x23+26x14+27x24+8x34 ≥1+52y1

(2)赛伦在每中属性中只能选择一种, 即

x11+x21=1

x12+x22=1

x13+x23=1

x14+x24+x34=1


因此在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题, 该问题的数学模型为:

max z = y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7+ y8

11x11+ 2x21+ 6x12+ 7x22+ 3x13+17x23+26x14+27x24+ 8x34 ≥1+52y1

11x11+ 7x21+15x12+17x22+16x13+26x23+14x14+ 1x24+10x34 ≥1+58y2

7x11+ 5x21+ 8x12+14x22+16x13+ 7x23+29x14+16x24+19x34 ≥1+56y3

13x11+20x21+20x12+17x22+17x13+14x23+25x14+29x24+10x34 ≥1+83y4

2x11 +8x21+ 6x12+11x22+30x13+20x23+15x14+ 5x24+12x34 ≥1+58y5

12x11+17x21+11x12+ 9x22+ 2x13+30x23+22x14+12x24+20x34 ≥1+70y6

9x11+19x21+12x12+16x22+16x13+25x23+30x14+23x24+19x34 ≥1+79y7

5x11+ 9x21+ 4x12+14x22+23x13+16x23+16x14+30x24+ 3x34 ≥1+59y8

x11+x21=1

x12+x22=1

x13+x23=1

x14+x24+x34=1

xij ,yk=0,1 对于所有i,j,k

求解结果:x11=x22= x23=x14=1, y1= y2=y3= y6= y7=1


五、指派问题(在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题Assignment problem)(P223)

  • 指派问题是一种特殊的整数规划问题。在实践中经常会遇到一种问题:某单位有m项任务要m个人去完成(每人只完成一项工作),在分配过程中要充分考虑各人的知识、能力、经验等,应如何分配才能使工作效率最高或消耗的资源最少?这类问题就属于指派问题。引入0-1变量xij


案例:福尔市场营销调查指派问题在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题(P223)

  • 福尔市场营销调查公司有3个新客户需要进行市场调查,目前正好有3个人没有其他工作,由于他们的对不同市场的经验和能力不同,估计他们完成不同任务所需时间如下表。公司面临的问题是如何给每个客户指派一个项目主管(代理商),使他们完成市场调查的时间最短。


在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题xij=1表示指派主管i完成第j项市场调查,

否则 xij=0

则问题的数学模型为:

min f= 10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+14x32+3x33

x11+x12+x13 = 1

x21+x22+x23 = 1

x31+x32+x33 = 1

x11+x21+x31 = 1

x12+x22+x32 = 1

x13+x23+x33 = 1

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3


整数规划小结在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题:

1. 整数规划的提出是解决实际的需要;

2. 0-1 变量的引入使得整数规划的应用非常广泛;

3. 整数规划的求解对计算机软件要求较篙.


第四章 结束在不考虑固定成本和生产地选择的情况下,此问题是一个运输问题


ad