La Función Zeta de Riemann

1. La Función Zeta de Riemann Generalidades sobre la Función Zeta

2. Historia Fue utilizada por primera vez por el matemático Leonard Euler al realizar el cálculo de la serie Sin embargo fue generalizada en 1859 por el matemático alemán Georg Friedrich Bernard Riemann

3. Definición Definimos la función zeta de Riemann como donde s es un número complejo s = a + bi Por ejemplo

4. Por ejemplo, para calcular (2) podemos considerar la función f(x)=Sin x y expandirla en su serie de Taylor Si consideramos Sin x = 0, con x 0 se tiene que Si hacemos Como la ecuación original tenía ceros en x=n, entonces la segunda ecuación tiene ceros en y si hacemos w=1/t, obtenemos que por las ecuaciones de Viete la suma de las raices de la ecuación en t es el segundo coeficiente

5. Para calcular (2), por ejemplo por medio de series de Fourier, considérese la función f(x)=x en el intervalo (-, ), entonces Por lo tanto Y por el Teorema de Parseval Y de aqui

6. De manera similar pueden obtenerse los valores de (2n) por medio de la función

7. Si la parte real de s es mayor que 1 la suma converge, de lo contrario diverge

8. Se realiza una extensión continua para definir la función zeta en todo complejo con parte real no negativa con la función zeta alternante

9. Como se mencionó esta es una extensión de la función Zeta al semiplano Re{s}>0 Otra forma de obtener la función Zeta es por medio de la integral

10. Por lo tanto tenemos que

11. Similarmente

12. Por lo tanto

13. En resumen

14. La Función Zeta y Los Números Primos Como todo número se puede escribir como producto de primos Por lo tanto

15. De se desprende un hecho importantísimo La Función Zeta no se anula si Re{s} > 1 Además, si se deriva la expresión anterior logarítmicamente

16. Euler fue el primero en utilizar la función zeta, sin embargo fue Riemann quien la extendió y formuló una relación entre los número primos y la función Zeta Esta relación viene dada por el llamado Teorema de los Números Primos el cual enuncia que Para valores grandes de x, el número de primos menores o iguales a x se aproxima a Si le llamamos (x) al número de primos menores que x, tendríamos que

17. Así por ejemplo Gráfica de la función (x)

18. (x) y x/ln x (x) , x/ln x y Li(x)

19. Cuando x se hace grande, (x) queda encerrada por x/Ln x y Li(x) donde es el Logaritmo Integral de x

20. Se tiene que

21. Pero como Se tiene que Y con el resultado anterior Se tiene que

22. Ceros de la función zeta Se tiene que la función Zeta cumple con la ecuación funcional Donde (s) es la función Gamma Por medio de esto se puede extender la función Zeta a todo el plano complejo

23. Para valores enteros positivos de n se tiene que donde las B son los números de Bernoulli, los cuales aparecen al realizar la expansión en serie de Estos números tienen la propiedad que Por lo que de aquí se deducen los ceros triviales de la función zeta, si n es un entero par,

24. Y para n impar De acuerdo con las relaciones anteriormente vistas (s)  0 si Re (s) > 1, y por la ecuación funcional que satisface, si Re (s) < 0, a excepción de los ceros triviales, deaquí que los únicos ceros complejos de la función Zeta Se encuentran en la Banda Crítica 0< Re (s) < 1 La hipótesis de Riemann afirma que dichos ceros están en la Linea Crítica

25. Aún no se ha podido comprobar la veracidad de dicha afirmación y actualmente es uno de los Siete Problemas del Milenio, además de tener relación con uno de los 23 Problemas de Hilbert, Sobre la distrubución de Los Números Primos

26. Aplicaciones de la Función Zeta La función Zeta posee aplicaciones en estadística, análisis numérico análisis computacional, música, mecánica cuántica y teoría de cuerdas entre otros. En Estadística se aplica por ejemplo en la Ley de Zipf Se trata de una ley experimental. Si los datos de un experimento se encuentran en una relación aproximadamente lineal logarítmica, se dice que se tiene una distribución Zipfiana de frecuencia vs rango

27. Esto es, una distribución obedece a la ley de Zipf si por ejemplo, se ordenan los datos respecto a frecuencias, y el segundo más frecuente, solo aparece ½ de las veces del más frecuente, el tercero 1/3 de las veces, y así el n-ésimo 1/n de las veces del primero Si se toma como población las palabras de un idioma, y se ordenan conforme a frecuencias de utilización, se ha comprobado experimentalmente que la frecuencia de la k-ésima palabra más frecuente es proporcional a Con s ligeramente mayor que 1, es por eso que se utiliza la Zeta para hallar el valor de la suma de frecuencias, tomando el número de palabras que tienda al infinito

28. El efecto Casimir es causado por por el hecho que el espacio es llenado por fluctuaciones de vació, pares de partículas anti-partículas, las cuales continuamente se forman de la nada y regresan a la nada en un instante más tarde. El agujero entre placas restringe el rango posible para las longitudes de onda de estas partículas virtuales, y muy pocas de estas están presentes dentro de este espacio. Como resultado se obtiene una energía de baja densidad entre ambas placas que está presente en espacio abierto, en otras palabras, hay menos “nada” creando energía negativa y presión que hace juntar a las placas. Entre menos sea la distancia entre placas, más la energía entre ellas y la presión y más grande la fuerza atractiva entre las dos. Se obtiene que la Fuerza ejercida es proporcional a la suma 1+2+3+… donde 1,2,3,… son las frecuencias de las ondas estacionarias entre placas, cada onda estacionaria posiblemente actúa como un Oscilador Armónico Cuántico