Modellierung von Zellstrukturen

1. Modellierung von Zellstrukturen Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Modellierung von Zellstrukturen

2. Modellierung von Zellstrukturen Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

3. Mathematische Ansätze • stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen • 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen • 6 Materialgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

4. F F a b Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen Virtueller Schnitt Modellierung von Zellstrukturen

5. Stoffunabhängige Gleichungen F dFn dF dFt Gleichgewichtsgleichungen Normalspannungen =dFn/dA dA Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Modellierung von Zellstrukturen

6. Stoffunabhängige Gleichungen z zy zx yz xz y xy yx x Gleichgewichts- gleichungen Modellierung von Zellstrukturen

7. Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Modellierung von Zellstrukturen

8. Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Modellierung von Zellstrukturen

9. Modellierung von Zellstrukturen In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Modellierung von Zellstrukturen

10. Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen: x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

11. Modellierung von Zellstrukturen xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0 xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

12. Modellierung von Zellstrukturen In den Beltrami-Gleichungen sind: x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2 y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2 z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Modellierung von Zellstrukturen

13. Stoffunabhängige Gleichungen S-  ü= 0 Spannungstensor Bechleunigungsvektor Modellierung von Zellstrukturen

14. Stoffunabhängige Gleichungen • Tensordarstellung: • x xy xz • S = yx y yz • zx zy z Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez+ zez SSpannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

15. Modellierung von Zellstrukturen 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

16. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Modellierung von Zellstrukturen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Modellierung von Zellstrukturen

17. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Modellierung von Zellstrukturen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Modellierung von Zellstrukturen

18. u(x+dx,y,dy,z) D u(x,y+dy,z) u(x+dx,y,z) A A1 B1 u(x,y,z) Modellierung von Zellstrukturen C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Modellierung von Zellstrukturen

19. Kinematisches Gleichgewicht x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Modellierung von Zellstrukturen

20. Kompatibilitäts- bedingung: iklm= 0 Modellierung von Zellstrukturen Riemann Tensor 4. Stufe Modellierung von Zellstrukturen

21. Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren Modellierung von Zellstrukturen σ 5 4 3 2 1 6 7 ε Modellierung von Zellstrukturen

22. Stoffgesetze: Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

23. Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungstensor Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

24. plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

25. viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

26. Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel: Nichtlinear, anisotrop, inhomogen Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen Modellierung von Zellstrukturen Zellen sind dynamische Systeme Aggregationsprozesse Dis Modellierung von Zellstrukturen

27. Modellierung von Zellstrukturen Zellen, Zellstrukturen  dynamische Strukturen Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix Frequenzabhängige Materialeigenschaften Versuche zwingend erforderlich Modellierung von Zellstrukturen

28. Modellierung von Zellstrukturen Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Modellierung von Zellstrukturen