Metody neline rn ho programov n
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 12

Metody nelineárního programování PowerPoint PPT Presentation


  • 91 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Metody nelineárního programování. RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak @uai.fme.vutbr.cz. Členění metod nelineárního programování. Metody NLP můžeme členit na: metody jednorozměrné optimalizace a metody vícerozměrné optimalizace metody hledání volného extrému a metody hledání vázaného extrému

Download Presentation

Metody nelineárního programování

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Metody neline rn ho programov n

Metody nelineárního programování

RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

[email protected]

Teorie systémů a operační analýza


Len n metod neline rn ho programov n

Členění metod nelineárního programování

Metody NLP můžeme členit na:

  • metody jednorozměrné optimalizace a metody vícerozměrné optimalizace

  • metody hledání volného extrému a metody hledání vázaného extrému

  • metody nevyužívající derivace a metody využívající derivace

  • metody zaručující nalezení nějakého lokálního extrému a metody pro hledání globálního extrému

  • metody přesné a metody heuristické

TSOA: Metody nelineárního programování


Metody jednorozm rn optimalizace

Metody jednorozměrné optimalizace

Předpokládejme, že máme najít minimum funkce () na intervalu [a, b], a že funkce  je na tomto intervalu kvazikonvexní. Pak bod minima můžeme s danou přesností najít postupnou redukcí tohoto intervalu.

  • Metody bez použití derivace: Interval zužujeme na základě porovnání hodnot funkce ve dvou vnitřních bodech (metoda zlatého řezu, Fibonacciho metoda).

  • Metody s použitím derivací: V metodě půlení intervalu se interval redukuje na základě znaménka 1. derivace ve středu intervalu. Newtonova metoda využívá 2. derivaci pro hledání kořene rovnice ´() = 0.

  • Metody založené na aproximaci: V každém iteračním kroku se provádí kvadratická nebo kubická interpolace funkce  .

TSOA: Metody nelineárního programování


V cerozm rn metody hled n voln ch extr m

Vícerozměrné metody hledání volných extrémů

Obvykle se postupuje podle tohoto schématu (předpokládáme minimalizační problém):

1.Nalezneme výchozí řešení x1 a položíme k = 1.

2.Nalezneme vektor dk určující směr dalšího postupu z bodu xk.

3.Přejdeme k dalšímu řešení xk+1 podle vztahu xk+1 = xk + k dk. Koeficient k je často řešením jednorozměrné optimalizační úlohy

4. Postup končí, je-li splněna nějaká podmínka zastavení.

V opačném případě položíme k = k + 1 a vrátíme se na krok 2.

TSOA: Metody nelineárního programování


V cerozm rn metody nevyu vaj c derivace

Vícerozměrné metody nevyužívající derivace

  • Metody souřadnicového hledání: V nejjednodušším případě se provádí postupné hledání ve směru souřadných os. To je pomalé a hrozí nebezpečí uváznutí v neoptimálním bodě. Určité zrychlení přináší metoda Hooka a Jeevese vkládáním urychlujících kroků podél směru xk+1 – xk. Rosenbrockova metoda čelí nebezpečí uváznutí tak, že před každou iterací dojde k pootočení souřadné soustavy.

  • Metody polyedrického hledání: Funkce n proměnných se minimalizuje pomocí polyedrů s n + 1 vrcholy (vrchol s největší hodnotou se projektuje přes těžiště ostatních vrcholů, které pak spolu s takto získaným bodem vytvářejí další polyedr). Příkladem je metoda Neldera a Meada.

  • Metody konjugovaných směrů: Pro kvadratickou funkci n proměnných tyto metody teoreticky zaručují dosažení minima nejvýše po n krocích. Příkladem je Powellova metoda.

TSOA: Metody nelineárního programování


Konjugovan sm ry

Konjugované směry

Nechť D je symetrická matice typu (n, n). Vektory s1, s2, … , sk se nazývají konjugovanými vzhledem k matici D, jestliže jsou lineárně nezávislé a pro všechna i j platí

Obecně platí, že minimum kvadratické funkce s n proměnnými může být nalezeno nejvýše v n krocích při podmínce, že hledání se provádí postupně podél směrů s1, s2, … , sn , konjugovaných vzhledem k Hessově matici této funkce.

Protože libovolná funkce může být v okolí bodu minima dostatečně dobře nahrazena její kvadratickou aproximací, je pojem konjugovanosti užitečný i při minimalizaci nekvadratických funkcí.

TSOA: Metody nelineárního programování


Gradientn metody pro voln extr my

Gradientní metody pro volné extrémy

V gradientních metodách se směry dalšího postupu určují pomocí gradientů. Tyto metody vlastně pracují s lineární aproximací účelové funkce pomocí vztahu

V metodě největšího spádu (Cauchyho metodě) je směr z bodu xk dán výrazem . V blízkosti stacionárního bodu hrozí nebezpečí pomalé konvergence.

Tento nedostatek odstraňuje např. metoda Fletchera a Reevese, která směr největšího spádu odklání pomocí směru z předchozí iterace. Tato metoda patří k metodám sdružených (konjugovaných) směrů, které pro kvadratickou funkci n proměnných teoreticky zaručují dosažení minima nejvýše po n krocích.

TSOA: Metody nelineárního programování


Newtonova metoda a kvazinewtonovsk metody

Newtonova metoda a kvazinewtonovské metody

  • Newtonova metoda: Tato metoda používá kvadratickou aproximaci účelové funkce pomocí prvých tří členů Taylorova rozvoje. Směr dk dalšího postupu z bodu xk je dán pomocí inverzní Hessovy matice takto:

    Obecně tato metoda nemusí konvergovat. Rychle konverguje dostatečně blízko minima.

  • Kvazinewtonovské metody: V těchto metodách se inverzní Hessova matice aproximuje pomocí jisté symetrické pozitivně definitní matice Dk. K těmto metodám patří metoda Davidona, Fletchera a Powella, která generuje konjugované směry.

TSOA: Metody nelineárního programování


Metody hled n v zan ch extr m

Metody hledání vázaných extrémů

  • Metody založené na transformaci úlohy hledání vázaného extrému na úlohu hledání volného extrému:

    • penalizační a bariérové metody

    • metoda využívající Lagrangeovu funkci rozšířenou o kvadratický penalizační člen

  • Linearizační metody:

    • metody spočívající v řešení posloupnosti úloh LP, aproximujících danou úlohu NLP

    • metody výběru směru založené na linearizaci

  • Metody řešení speciálních úloh:

    • metody kvadratického programování

    • metody separovatelného programování

TSOA: Metody nelineárního programování


Penaliza n metody

Penalizační metody

Úloha

se řeší pomocí posloupnosti úloh hledání volného extrému funkce F(x) = f(x) + k P(x) pro rostoucí kladné hodnoty koeficientů k .

P(x) je penalizační funkce, která penalizuje porušení omezujících podmínek. Tato funkce musí být volena tak, že pro přípustná x má nulovou hodnotu a pro nepřípustná x nabývá kladných hodnot.

Obvyklý tvar penalizační funkce (p je celé kladné číslo) :

TSOA: Metody nelineárního programování


Bari rov metody

Bariérové metody

Úloha

se řeší pomocí posloupnosti úloh hledání volného extrému funkce F(x) = f(x) + k B(x) pro klesající kladné hodnoty koeficientů k .

B(x) je bariérová funkce zabraňující porušení omezujících podmínek. Jestliže se x blíží k hranici množiny přípustných řešení, bariérová funkce konverguje k nekonečnu.

Příklady tvarů bariérové funkce:

TSOA: Metody nelineárního programování


Metody v b ru sm ru zalo en na linearizaci

Metody výběru směru založené na linearizaci

V těchto metodách se pro výběr vhodného směru dalšího postupu používá linearizace pomocí prvých dvou členů Taylorova rozvoje.

  • Metody přípustných směrů vybírají vhodný směr z těch směrů, které nevybočují z množiny přípustných řešení. Příklady těchto metod jsou Zoutendijkova metoda a metoda Topkise a Veinotta, v nichž se vhodný směr určuje řešením úlohy LP.

  • Metody projekce gradientu (např. Rosenova metoda) získávají vhodný směr projekcí gradientu –f(x) na aktivní omezení.

  • Metody redukovaného gradientu (např. Wolfeho metoda) určují vhodný směr pomocí gradientu účelové funkce v podprostoru nezávislých proměnných.

TSOA: Metody nelineárního programování


  • Login