A wavelet ek s n h ny alkalmaz s uk
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 27

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk PowerPoint PPT Presentation


  • 89 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk. Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék. Speciálkurzus 2009 tavasz. A kurzus áttekintése. Bevezetés a waveletekhez A wavelet transzformáció (WT) Matematikai előkészítés Folytonos wavelet transzformáció (CWT) Matematikai alapok Alkalmazások

Download Presentation

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


A wavelet ek s n h ny alkalmaz s uk

A waveletekés néhány alkalmazásuk

Tóth Gyula

BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

Speciálkurzus 2009 tavasz


A kurzus ttekint se

A kurzus áttekintése

  • Bevezetés a waveletekhez

    • A wavelet transzformáció (WT)

    • Matematikai előkészítés

  • Folytonos wavelet transzformáció (CWT)

    • Matematikai alapok

    • Alkalmazások

  • Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)

    • Matematikai alapok

    • Alkalmazások

  • Sokskálás analízis (MRA)

  • Esettanulmányok, további alkalmazások

  • Összefoglalás


A kurzus c lja

A kurzus célja

  • A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni

  • Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz

  • Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni

  • El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat


A sz ks ges el ismeretek

A szükséges (elő)ismeretek

  • Lineáris algebra, vektortér

  • Függvényterek, ortogonalitás

  • Fourier transzformáció, DFT, FFT

  • Lineáris rendszerek, konvolúció

  • Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD


1 bevezet s a waveletekhez

1. Bevezetés a waveletekhez

Speciálkurzus 2009 tavasz


Meghat roz s

Meghatározás

A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt:

  • helyzet

  • lépték (skála)

  • irány

    szempontjából is analizáljunk.


Mi a wavelet anal zis wt

Mi a wavelet analízis (WT)?

  • A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska

  • A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából is lokalizáltψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó)

    • A Fourier transzformáció elemző függvénye, eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált

  • A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el

    • Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a hasonlóság mértékét

  • Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása


Id t r s frekvencia lokaliz ci

Idő/tér és frekvencia lokalizáció


Id frekvencia hat rozatlans gi elv

Idő – frekvencia határozatlansági elv

f(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja

t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot

Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált

Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei

Idő – frekvencia határozatlansági elv:

s2 ·S2 ≥ ¼

idő-frekvencia sík

δ(t-tk) bázis

eiωkt bázis

wavelet bázis

WFT (STFT) bázis


Wavelet anal zis

Wavelet analízis


El ny k

Előnyök

  • Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel

  • A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan)

  • A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja


H tr nyok

Hátrányok

  • Az elemző wavelet megválasztása némiképpen tetszőleges

  • A wavelet analízis erőforrás igényesebb a Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála)

  • A folytonos wavelet transzformáció (CWT) nem ortogonális felbontást ad

  • Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni az analízis eredményeit

  • Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier analízise


Alkalmaz sok

Alkalmazások

  • A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és folyamatosan bővül. Néhány terület:

  • Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI)

  • Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán kitöltött mátrixú egyenletrendszerré

  • Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése

  • Szűrés, zajszűrés

  • Időben változó tulajdonságú jelek analízise (EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)


Jpeg2000 vesztes ges k pt m r t s

JPEG2000 veszteséges képtömörítés

eredeti kép

wavelet transzformált

rekonstruált kép

a tárigény 236%-al csökkent


Ujjlenyomatok t rol sa

Ujjlenyomatok tárolása

  • Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB

  • Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel

  • 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel

  • Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető

egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja


Turbulencia

Turbulencia

Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)


A wavelet ek s n h ny alkalmaz s uk

EKG

EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)


El ni o sst

El Niño SST

Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)


Sz r s inverz wt

Szűrés (inverz WT)


Nemstacion rius jel anal zise 1

Nemstacionárius jel analízise 1.

250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek

10% normál eloszlású zaj

mintavételi frekvencia 2·2500 Hz


Nemstacion rius jel anal zise 2

Nemstacionárius jel analízise 2.

TISA: Time-integral squared amplitude


T rt net

Haar Alfréd

Gábor Dénes

Haar wavelet (1909)

Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946)

Történet

Jean Morlet

Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984)

Stephane Mallat, Yves Meyer

Diszkrét wavelet transzformáció, DWT

Sokskálás analízis, MRA (1988)


Matematikai alapok

Matematikai alapok

  • Lineáris algebra, lineáris tér

  • Függvényterek, ortogonalitás

  • Fourier transzformáció, DFT, FFT

  • Lineáris rendszerek, konvolúció

  • Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD


Line ris algebra vektort r

Lineáris algebra, vektortér

Vektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y Evektorra két művelet, az összeadás és α R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx

a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn)

E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y M vektorrax + y, illetve tetszőleges α R/C skalárra αxis M-ben van

Ha S  E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σiαixi| αi R/C , xi S }

Az x1, x2, … xnvektorok lineárisan függetlenek, ha Σiαixi= 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus

Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek

E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz


F ggv nyterek ortogonalit s

Függvényterek, ortogonalitás

Az E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x>≥ 0)

Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében

A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük.

Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y>= 0

Az x vektor normája az ||x|| = <x,x>skalárszorzat.

Vektorok egy{x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális

Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer

Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa

D. Hilbert


Ortogon lis komplementer fourier sor

Ortogonális komplementer, Fourier-sor

Ha adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x  E| x ┴ S} elemekből áll.

Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴, hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy

E = S  S┴

azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege.

Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvényekL2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen).

Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2dt.

Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y Evektor felírható

y = Σkαkxk

Fourier-sor alakban. Az αkszámok az yFourier együtthatói, és αk= <xk ,y>


Ortogon lis projekci s lkn k zel t s

Ortogonális projekció és LKN közelítés

Egy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral

Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y  E-nek az S-re vett ortogonális projekciója

A d különbség vektor merőleges S-re

Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.


  • Login