A wavelet ek s n h ny alkalmaz s uk
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 27

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk PowerPoint PPT Presentation


  • 97 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk. Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék. Speciálkurzus 2009 tavasz. A kurzus áttekintése. Bevezetés a waveletekhez A wavelet transzformáció (WT) Matematikai előkészítés Folytonos wavelet transzformáció (CWT) Matematikai alapok Alkalmazások

Download Presentation

A wavelet ek és néhány alkalmazás uk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


A waveletekés néhány alkalmazásuk

Tóth Gyula

BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

Speciálkurzus 2009 tavasz


A kurzus áttekintése

  • Bevezetés a waveletekhez

    • A wavelet transzformáció (WT)

    • Matematikai előkészítés

  • Folytonos wavelet transzformáció (CWT)

    • Matematikai alapok

    • Alkalmazások

  • Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)

    • Matematikai alapok

    • Alkalmazások

  • Sokskálás analízis (MRA)

  • Esettanulmányok, további alkalmazások

  • Összefoglalás


A kurzus célja

  • A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni

  • Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz

  • Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni

  • El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat


A szükséges (elő)ismeretek

  • Lineáris algebra, vektortér

  • Függvényterek, ortogonalitás

  • Fourier transzformáció, DFT, FFT

  • Lineáris rendszerek, konvolúció

  • Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD


1. Bevezetés a waveletekhez

Speciálkurzus 2009 tavasz


Meghatározás

A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt:

  • helyzet

  • lépték (skála)

  • irány

    szempontjából is analizáljunk.


Mi a wavelet analízis (WT)?

  • A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska

  • A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából is lokalizáltψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó)

    • A Fourier transzformáció elemző függvénye, eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált

  • A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el

    • Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a hasonlóság mértékét

  • Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása


Idő/tér és frekvencia lokalizáció


Idő – frekvencia határozatlansági elv

f(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja

t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot

Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált

Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei

Idő – frekvencia határozatlansági elv:

s2 ·S2 ≥ ¼

idő-frekvencia sík

δ(t-tk) bázis

eiωkt bázis

wavelet bázis

WFT (STFT) bázis


Wavelet analízis


Előnyök

  • Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel

  • A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan)

  • A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja


Hátrányok

  • Az elemző wavelet megválasztása némiképpen tetszőleges

  • A wavelet analízis erőforrás igényesebb a Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála)

  • A folytonos wavelet transzformáció (CWT) nem ortogonális felbontást ad

  • Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni az analízis eredményeit

  • Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier analízise


Alkalmazások

  • A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és folyamatosan bővül. Néhány terület:

  • Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI)

  • Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán kitöltött mátrixú egyenletrendszerré

  • Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése

  • Szűrés, zajszűrés

  • Időben változó tulajdonságú jelek analízise (EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)


JPEG2000 veszteséges képtömörítés

eredeti kép

wavelet transzformált

rekonstruált kép

a tárigény 236%-al csökkent


Ujjlenyomatok tárolása

  • Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB

  • Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel

  • 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel

  • Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető

egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja


Turbulencia

Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)


EKG

EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)


El Niño SST

Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)


Szűrés (inverz WT)


Nemstacionárius jel analízise 1.

250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek

10% normál eloszlású zaj

mintavételi frekvencia 2·2500 Hz


Nemstacionárius jel analízise 2.

TISA: Time-integral squared amplitude


Haar Alfréd

Gábor Dénes

Haar wavelet (1909)

Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946)

Történet

Jean Morlet

Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984)

Stephane Mallat, Yves Meyer

Diszkrét wavelet transzformáció, DWT

Sokskálás analízis, MRA (1988)


Matematikai alapok

  • Lineáris algebra, lineáris tér

  • Függvényterek, ortogonalitás

  • Fourier transzformáció, DFT, FFT

  • Lineáris rendszerek, konvolúció

  • Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD


Lineáris algebra, vektortér

Vektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y Evektorra két művelet, az összeadás és α R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx

a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn)

E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y M vektorrax + y, illetve tetszőleges α R/C skalárra αxis M-ben van

Ha S  E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σiαixi| αi R/C , xi S }

Az x1, x2, … xnvektorok lineárisan függetlenek, ha Σiαixi= 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus

Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek

E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz


Függvényterek, ortogonalitás

Az E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x>≥ 0)

Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében

A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük.

Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y>= 0

Az x vektor normája az ||x|| = <x,x>skalárszorzat.

Vektorok egy{x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális

Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer

Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa

D. Hilbert


Ortogonális komplementer, Fourier-sor

Ha adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x  E| x ┴ S} elemekből áll.

Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴, hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy

E = S  S┴

azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege.

Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvényekL2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen).

Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2dt.

Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y Evektor felírható

y = Σkαkxk

Fourier-sor alakban. Az αkszámok az yFourier együtthatói, és αk= <xk ,y>


Ortogonális projekció és LKN közelítés

Egy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral

Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y  E-nek az S-re vett ortogonális projekciója

A d különbség vektor merőleges S-re

Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.


  • Login