Mathematical Analysis

1. Mathematical Analysis 数学分析

2. 第六章 微分中值定理及其应用 3

3. 第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理及不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最值 §5 函数的凹凸性与拐点 §6 函数图象的讨论

4. 第一讲 §1 拉格朗日定理和函数的单调性

5. 0 问 题 背 景 Background 5-8

6. 回忆：导数的意义 • 函数在一点处的变化率； • 函数在一点处的局部变化性态。 • 辩证地看问题 • 局部与整体是一个事物的两个方面，二者关系密不可分； • 理论研究和实际应用中，都常常需要通过局部把握整体。

7. 如何实现？ • 中值定理正是对这一问题的理论诠释。 • 中值定理要揭示函数自身在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。 • 中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。

8. 粗略地说：微分中值定理断言： • 函数在指定区间内的平均变化率可以通过区间内某一点的变化率来反映，因此函数在指定区间内某一点的导数可以确定其在该区间上的整体变化量。 • 其核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，罗尔(Rolle)定理是它的特例，柯西(Cauchy)定理是它的推广。

9. 本讲内容 • 罗尔(Rolle)中值定理 • 拉格朗日(Lagrange)中值定理 • 应用举例 • 单调函数的刻画

10. 1 罗尔中值定理 Rolle’s Mean Value Theorem 15-23

11. 定理6.1(罗尔中值定理) (MichelRolle1652 - 1719) 若函数 f满足如下条件: (i) f在闭区间[a, b]上连续; (ii) f在开区间(a, b)内可导; (iii) f (a)  f (b). 则在(a, b)内至少存在一点, 使得

12. 几何意义：条件 (i)f在 [a, b]上连续; (ii)f在(a, b)内可导; (iii) f (a)  f (b). 结论： (a, b), 使得

13. 物理意义： 变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零。

14. (a, b), 使得 • 这是一个存在性问题！ • 存在性问题有两种通用的证明方法： • 反证法 • 构造法（构造、验证） 证明思路分析:

15. 所找的  点应该是函数取到最大值或最小值的点！ 从几何意义看出: • 问题： • 这样的点是否一定在(a,b)内存在？ • 如果存在，这样的点具有什么特征？

16. 分析: 闭区间上连续的函数一定存在最大值M和最小值m！ 端点处函数值相同，不可能同为最大值M和最小值m，除非常值函数。最大值或最小值必定在(a,b)内某点达到。

17. 这样的点一定在(a,b)内存在！ • (a,b)内的最大值或最小值点一定是极值点。 • 极值点的特性可以由费马定理刻画 • 费马定理（定理5.3）可导函数在极值点处的导数为0。 • 这样的点处导数为0 ！

18. 证明 （1）如果 f是常值函数，则f (x)  0.  (2) 一般情况，由于函数 f在闭区间[a,b]上连续，因此一定在[a,b]取到最大值M和最小值m M。 由于f (a) = f (b)，该值不可能同为最大值M和最小值m。因此最大值或最小值必定在(a,b)内某点  达到，该点一定是极值点。 由于 f在（a,b）可导，由费马定理， f () = 0。 

19. 注： 罗尔定理中的三个条件缺少任何一个, 结论将不一定成立。

22. 小辞典——罗尔小传 • 罗尔(Rolle,Michel, 1652-1719)，法国数学家，自学成材。 • 主要成就：代数方面，专长于丢番图方程的研究。 • 反对微积分。认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集”，直到1706年秋，才认识到微积分的价值。 • 建立Rolle定理。1691年出版论著《方程的解法》，证明了：在多项式方程两个相邻的实根之间，至少有该多项式导数的一个实根（当时没有导数概念）。这个定理本来和微分学没有关系，但在1846年Giusto Bellavitis将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为Rolle定理，一直沿用至今。 18

23. 2 拉格朗日中值定理 Lagrange’s Mean Value Theorem 17-40

24. 定理6.1(拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函数 f满足如下条件: (i) f在闭区间[a, b]上连续; 拉格朗日公式 (ii) f在开区间(a, b)内可导. 则在(a, b)内至少存在一点, 使得

25. 问题解读 一点的导数代表一点处的变化率，而上式右端 代表的是函数在整个区间上的平均变化率,它应该介于最大变化率(最大导数)和最小变化率(最小导数)之间,根据导函数的介值定理,它一定等于某一点的导数 其存在性尚不能保证!

26. 证明思想分析 与罗尔定理相比，这里仅缺少条件f (a) = f (b)，而定理的结论 相当于

27. 这意味着：要构造一个函数 F 满足 且满足罗尔定理的三个条件 (i) F在闭区间[a, b]上连续; (ii) F在开区间(a, b)内可导; (iii) F (a)  F (b)。 从而对函数 F 应用罗尔定理即可。

28. 事实上定义 则显然F满足条件(*)及罗尔定理条件 (i)(ii)，并且 故F满足罗尔定理条件 (i)-(iii)。

29. 几何意义：条件 (i)f在 [a, b]上连续; (ii)f在(a, b)内可导。 结论： (a, b), 使得

30. 拉格朗日公式的等价形式 注: 拉格朗日公式无论对于a  b, 还是a  b都成立, 而 则是介于a与b之间的某一定数.

31. 小辞典——拉格朗日小传 • 在数学、力学和天文学三个学科领域有历史性贡献，数学成就最突出。 • 使数学分析与几何和力学脱离开来。 • 18岁写出第一篇论文，奠基变分法。 • 变分法、微分方程、数论、函数和无穷级数等 • 1791年，被选为英国皇家学会会员。 • 1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，4月11日，拉格朗日逝世。 拉格朗日（Joseph-Louis  Lagrange  1735~1813）法国数学家、物理学家。 28

32. 3 应 用 举 例 Application Examples 18-58

33. 函数零点的分布 例1证明方程ex+ax2+bx+c=0至多有三个实根。

34. 证明不等式 例2证明对一切 h  1, h  0成立不等式

35. 常值函数的刻画 推论1 若函数 f在区间I上可导, 且 f '(x) 0, xI, 则 f 为I上的一个常量函数. 推论2 若函数 f和g均在区间I上可导, 且 f '(x) g'(x), xI, 则在区间I上 f (x)与g(x)只相差一个常数, 即 (c为某一常数).

36. 导数极限定理 推论3 (导数极限定理) 设函数 f在点x0的某邻域 U(x0)内连续, 在U (x0)内可导, 且导函数f'在点x0极限存在,则 f在点x0可导, 且

37. 应用: 分段函数的导数 例3 求分段函数 的导数.

38. 4 单调函数的刻画 Characterization of Monotone Function 20-78

39. 定理6.3 设 f (x)在区间I上可导, 则 f (x)在区间I上 单调递减的充要条件是 单调递增的充要条件是

40. 用导数研究可导函数单调区间的步骤： （1）求函数的导函数； （2）求导函数的零点； （3）用导函数的零点把函数的定义区间划分为若干个小区间（可列表）； （4）判断导函数在各个小区间上的符号，由此判断函数在相应区间上的单调情况。

41. 例4 设 试讨论函数 f 的单调区间.

42. 定理6.4 若函数 f在(a, b)内可导, 则 f在(a, b) 内严格单调递增(减)的充要条件是: (i) 对一切x(a, b), 有 (ii) 在(a, b)内的任何子区间上

43. 设函数 f在区间I上可微, 若 推论 则 f在I上严格递增(严格递减). 注 若 f在(a, b)上(严格)递增(减), 且在点a右连续, 则 f在[a, b)上亦为(严格)递增(减).

44. 证明不等式 例5

45. 小结 本节课我们利用上一章学习的费马定理证明了罗尔中值定理，在此基础上，通过构造辅助函数证明了更一般的拉格朗日中值定理，给出了相应的几何解释并应用它们研究了函数的一些性质。

46. 除了讲授中介绍的具体知识点之外，同学们应当重点体会以下三点：除了讲授中介绍的具体知识点之外，同学们应当重点体会以下三点： （1）体会局部与整体的辩证关系。 （2）体会从特殊到一般的数学思维方法，体会如何把一般问题转化为特殊问题去处理。 （3）注意数形结合的思想，体会几何直观对于解释数学理论以及寻找证明方法的意义。 （4）注意存在性问题的一般证明方法。

47. 习 题 P124-125, 习题 2，4，5，6（1,2）,7（2,3）,12,15,

48. Thank You ! zwj@szu.edu.cn

49. 第二讲 §2 柯西中值定理及不定式极限

50. 1 柯西中值定理 Cauchy’s Mean Value Theorem