1 / 26

# Mathematics III TS 4353 Class B - PowerPoint PPT Presentation

Mathematics III TS 4353 Class B. Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1. Operator D . D(e 3x ) = 3e 3x D 2 (e 3x ) = 9e 3x

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

Mathematics III TS 4353 Class B

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

#### Presentation Transcript

Mathematics IIITS 4353Class B

Herlina Setiyaningsih

Civil Engineering Department

Petra Christian University

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Operator D

D(e3x) = 3e3x

D2(e3x) = 9e3x

D(sin 2x) = 2 cos 2x

D(x2+1) = 2x

D2(x2+1) = 2

D3(x2+1) = 0

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Operator D

Dy = y’

D2y = y”

y” + py’ +qy = f(x)

D2y + pDy + qy = f(x)

(D2+pD+q)y = f(x)

F(D)y = f(x)

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 1 Operator D

• F(D)eax = (D2+pD+q)eax

= (a2 + pa + q) eax

= F(a) eax

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1

• y” – 5y’ + 6y = ex

• (D2 – 5D + 6)y = ex

• yc = c1e2x + c2e3x

• PUPD: y = yc + yp

• y = yc + yp = c1e2x + c2e3x + ½ ex

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 2 Operator D

• F(D)(eax V)= (D2+pD+q)(eaxV)

• D(eax V) = aeax V + eax DV = eax (D+a)V

• D2(eax V) = D(aeax V + eax DV)

= a2eax V + aeax DV + aeax DV + eax D2V

= eax (D2 + 2aD + a2)V

= eax (D+a)2V

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

• F(D)(eax V)= (D2+pD+q)(eaxV)

= eax (D+a)2V + p eax (D+a)V + q eax V

= eax [(D+a)2 + (D+a)p + q ] V

= eax F(D+a) V

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 2

• y” – 2y’ + y = xex

• (D2 - 2D + 1)y = xex

• PR : (D2 - 2D + 1)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 – 2k + 1) = 0

• k1 = k2 = m =1

• yc= ex(c1 + c2x)

• PUPD: y = ex(c1 + c2x + 1/6 x3)

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 3 Operator D

• D(cos ax)= -a sin ax

• D2(cos ax) = -a2 cos ax

• F (D2)cos ax= F (-a2)cos ax

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 3

• y” – 9 y = cos 2x

• (D2 - 9)y = cos 2x

• PR : (D2 - 9)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 – 9) = 0

• (k+3)(k-3) = 0

• k1 = 3 dan k2 = -3

• yc= c1 e3x+ c2 e-3x

• PUPD: y = c1 e3x+ c2 e-3x – 1/13 cos 2x

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sifat 4 Operator D

• D(sin ax)= a cos ax

• D2(sin ax) = -a2 sin ax

• F (D2)sin ax= F (-a2)sin ax

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 4

• y” + 9 y = sin 2x

• (D2 + 9)y = sin 2x

• PR : (D2+9)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 + 9) = 0

• (k+3)(k-3) = 0

• k1,2 = ± 3i

• yc= c1cos 3x + c2 sin 3x

• PUPD: y = c1cos 3x + c2 sin 3x + 1/5 sin 2x

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

SummarySifat-sifat Operator D

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 5

• y” -2y’ + y = ex

• (D2 -2D + 1)y = ex

• PR : (D2 -2D + 1)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 – 2k + 1) = 0

• (k-1)(k-1) = 0

• k1,2 = m = 1

• yc= ex (c1 + c2 x)

Gagal!!!

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 5 (Lanjutan)

• PUPD: y = ex(c1 + c2x + 1/2 x2)

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 6

• y” -5y’ + 6y = sin 4x

• (D2 -5D + 6)y = sin 4x

• PR : (D2 -5D + 6)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 – 5k + 6) = 0

• (k-2)(k-3) = 0

• k1 = 2 dan k2 = 3

• yc= c1 e2x + c2 e3x

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 6 (Lanjutan)

PUPD: y = yc + yp

= c1 e2x + c2 e3x – 1/50 sin 4x + 1/25 cos 4x

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 7

• y” -2y’ - 3y = x2

• (D2 -2D - 3)y = x2

• PR : (D2 -2D - 3)y = 0  subs: y=ekx

• PK : (k2 – 2k - 3) = 0

• (k-3)(k+1) = 0

• k1 = 3 dan k2 = -1

• yc= c1 e3x + c2 e-x

PUPD: y = yc + yp

= c1e3x + c2e-x – 1/3x2 + 4/9x – 14/27

How???

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 7 (Lanjutan)

Cukup, karena

Dx2 = 2x

D2x2 = 2

D3x2 = 0

1

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

PD Linier Tingkat n dengan koefisien2 konstan

• Bentuk umum (anDn + an-1Dn-1 + … + a1D + a0)y = f(x)

• P. Reduksi: F(D)y = 0, subs y = ekx PK: F(k) = 0

• Akar-akar karakteristik: k1, k2, k3,…, kn-1, kn

• Jika k1 ≠ k2 ≠ k3 … ≠ kn-1 ≠ kn , maka

yc = c1ek1x + c2ek2x + c3ek3x + … + cn-1ekn-1x + cneknx

• Jika k1 = k2 = k3 = k4 = mdan k5 ≠ k6 ≠ k7 ≠… ≠ kn , maka

yc = emx(c1+ c2x + c3x2 + c4x3)+ c5ek5x +…+ cneknx

• Jika k1 = k2 = k3 = k4 = a+bidan k5 = k6 = k7 = k8 = a-bi, serta k9 ≠ k10 ≠… ≠ kn maka

yc = eax[(c1+ c2x + c3x2 + c4x3)cos bx +(c5+ c6x + c7x2 + c8x3)sin bx] + c9ek9x +…+ cneknx

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1

• y”” – y = e2x

• PD: (D4 – 1)y = e2x

• PR: (D4 – 1)y = 0 subs y = ekx

• PK: k4 – 1 = 0

(k2-1)(k2+1)=0

(k+1)(k-1)(k2+1)=0

k1 = -1, k2 = 1, k3,4 = ±I

yc = c1e-x + c2ex + c3cosx + c4sinx

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan)

• PUPD: y = yc + yp

y = c1e-x + c2ex + c3cosx + c4sinx + 1/15e2x

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

PD Serentak (Simultan)

• f1(D)y + g1(D)z = h1(x)

• f2(D)y + g2(D)z = h2(x)

• PD: ∆y = ∆1 dan ∆z = ∆2

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1

• PD: Dy – z = ex

y + (D+2)z = 0

• Δy = Δ1  (D2 + 2D +1) y= 3ex

yc = e-x(c1+c2x)

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan)

PUPD: y = yc + yp y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex

Δy = Δ1  (D2 + 2D +1)z = ex

zc = e-x(c3+c4x)

PUPD: z = zc + zp y = e-x (c3 + c4x) -1/4ex

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353)

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan)

• y dan z masuk ke PD

D[e-x (c1 + c2x) + ¾ ex]- [e-x (c3 + c4x) -1/4ex]=ex

-e-x (c1 + c2x) + e-x c2 + ¾ ex -e-x c3 - e-x c4x + 1/4ex = ex

e-x x (-c2 - c4) + e-x (-c1 + c2 - c3) = 0

-c2 - c4 = 0  c2 = - c4

-c1 + c2 - c3 = 0  c3 = -c1 + c2

• PUPD: y = yc + yp  y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex

• PUPD: z = zc + zp  y = e-x ((-c1 + c2 ) – c2x) -1/4ex