250 likes | 716 Views
HIMPUNAN. Standart kompetensi : Menggunakan konsep himpunan dan diagram venn dalam pemecahan masalah Kompetensi dasar : Memahami pengertian dan notasi himpunan serta penyajiannya. HIMPUNAN. Pengertian Himpunan.
E N D
Standartkompetensi : Menggunakan konsep himpunan dan diagram venn dalam pemecahan masalah Kompetensidasar : Memahamipengertiandannotasihimpunan sertapenyajiannya
HIMPUNAN Pengertian Himpunan Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas Himpunandilambangkandenganhurufkapitalmisalnya A, B, C, D, …,Z danobjek-objekdarihimpunanituditulisdiantaraduakurungkurawaldandipisahkandengantandakoma Yang dimaksudditerangkandenganjelasadalahbendaatauobjeknyajelasmana yang merupakananggotadanmana yang bukananggotadarihimpunanitu Contoh: A adalahhimpunanbilanganaslikurangdari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Soal : Nyatakanhimpunanberikutdalambentuknotasipembentukhimpunan • B adalahbilanganAsli yang lebihdari 3 dankurangatausamadengan 15 2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10 3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban : 1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x A} 2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x B } 3. D = { x | x < 20 , x L }
Contohsoal : Nyatakansoaldiatasdengancaramendaftaranggotanya Jawaban: 1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x A} = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } 2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x B } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. D = { x | x < 20 , x L } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }
Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 2 B 2 A 1 A 1 B 4 B 4 A 3 A 3 B 6 B 6 A 5 A 5 B 8 B 8 A 7 A 7 B 10 B 10 A 9 A 9 B 12 B 12 A Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 Lambang dibaca “elemen” atau anggota Catatan: Lambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal
D = { x | x orang yang tingginyalebihdari 5 m} HIMPUNAN KOSONG DEFINISI: Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau Contoh : F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 } Padacontohdiatasadakahsaatiniorang yang tingginyalebihdari 5 meter danadakahbilangan prima diantara 7 dan 11 ? (cobapikir) Sekarang cobalah kalian membuat notasi himpunan yang mendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)
Himpunan Lepas Definisi: Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Contoh : Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G Himpunan Tidak Saling Lepas Definisi: Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Q
HimpunanSemesta Definisi : Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} D = { 2,3,5,7,11 } B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } E = { 0, 2, 4, 6 } C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E 1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ? Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E
HIMPUNAN BAGIAN Definisi: A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A B Contoh: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 } a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C • Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B A • Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C A
Rumus Banyaknya Himpunan Bagian Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A) Contoh: Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut • A = { a, b, c } • B = { 1, 2, 3, 4, 5 } • C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Jawab: • n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8 • n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 • n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
Himpunan Sama Definisi: Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya Contoh : A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e } Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B Himpunan Ekuivalen Definisi: Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )
Irisan Dua Himpunan (Interseksi) Definisi: Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q Jawab : P Q = { d, e } Gabungan Dua Himpunan ( Union) Definisi: Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h } Jawab :
Diagram Venn Langkah-langkah menggambar diagram venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah • Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi • Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan • Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu • Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap
Contoh: Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab: 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C S 0 A 7 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C 1 9 3 5 12 6 4 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B 2 C 14 8 10 13 11 B
Contoh 2: Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. • Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab: N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21 B = {siswa gemar menari} n(B) = 16 A B = {siswa gemar keduanya} n(A B) = 10 Perhatikan Diagram Venn berikut a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis S A B b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari 11 10 6 c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya 5
Contoh 3: Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x B } M = { x | x > 15, x S } N = { x | x > 12, x S } Gambarlah diagram vennya Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { x | x > 15, x S } = { 16,17,18,19,20} N = { x | x > 12, x S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M N = { 16,17,18,19,20 } Diagram Vennya adalah sbb: S N 16 18 M 20 19 17 11 13 14 12 15
Contoh 4: Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya. • Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay? Jawab: N(S) = 60 Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20 B = {siswa suka siomay} n(B) = 46 (A B)c = {tidak suka keduanya} n((A B)c) = 5 Maka A B = {suka keduanya} n(A B)= x n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 {siswa suka bakso saja} = 20 - x 60 = 71 - x {siswa suka siomay saja} = 46 - x X = 71 – 60 = 11 Perhatikan Diagram Venn berikut • Yang suka keduanya adalah x = 11 orang S • Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang A 20 - x x 46 - x B • Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang 5