derivadas de operaciones
Download
Skip this Video
Download Presentation
DERIVADAS DE OPERACIONES

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 10

DERIVADAS DE OPERACIONES - PowerPoint PPT Presentation


  • 160 Views
  • Uploaded on

DERIVADAS DE OPERACIONES. Bloque III * Tema 122. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' DERIVADAS DE OPERACIONES' - jersey


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
derivadas de operaciones

DERIVADAS DE OPERACIONES

Bloque III * Tema 122

Matemáticas Acceso a CFGS

derivadas de funciones polin micas
DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
  • Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función:
  • f (x + h) - f(x) k - k 0
  • f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0
  • h 0 h h h
  • Sea f(x) = x
  • Aplicando la definición de derivada de una función:
  • f (x + h) - f(x) x + h - x h
  • f ‘ (x) = lím ------------------- = -------------- = ------ = 1
  • h 0 h h h
  • 2
  • Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función:
  • 2 2 2 2 2
  • f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x
  • f ‘ (x) = lím ---------------------- = ------------- = ------------------------- =
  • h 0 h h h
  • = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x

Matemáticas Acceso a CFGS

derivadas de funciones polin micas1
DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
  • 3 2
  • Sea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x
  • Resumiendo:
  • f (x) = x  f ‘ (x) = 1
  • 2
  • f (x) = x  f ‘ (x) = 2.x
  • 3 2
  • f (x) = x  f ‘ (x) = 3.x
  • n n - 1
  • Generalizando: f (x) = x  f ‘ (x) = n. x
  • Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos.

Matemáticas Acceso a CFGS

derivada de la suma
DERIVADA DE LA SUMA
  • Sea y = f(x)+g(x)
  • Aplicando la definición de derivada:
  • f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x)
  • y \' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ =
  • x0 x
  • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x)
  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ =
  • x0 x x
  • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x)
  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ =
  • x0 x x0 x
  • y’ = f ’(x) + g ‘(x)

Matemáticas Acceso a CFGS

derivada del producto
DERIVADA DEL PRODUCTO
  • Sea y = f(x). g(x)
  • Aplicando la definición de derivada:
  • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x)
  • y \' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ =
  • x0 x
  • Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando:
  • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x)
  • = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------------------------------
  • x 0 x
  • Sacando factor común :
  • [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x )
  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------------------------------------------------------------
  • x0 x
  • f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x)
  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) =
  • x0 x x0 x
  • y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x)

Matemáticas Acceso a CFGS

derivada de la inversa
DERIVADA DE LA INVERSA
  • Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada:
  • k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)]
  • y \' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x)
  • x0 x x0 x
  • Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada:
  • 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x)
  • y \' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- =
  • x0 x x0 f(x). f(x + x). x
  • - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x)
  • y \' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = -------
  • x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x)

Matemáticas Acceso a CFGS

derivada de la divisi n
DERIVADA DE LA DIVISIÓN
  • Sea y = g(x) / f(x)
  • Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones:
  • g ’(x) - f ‘(x)
  • y \' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). --------
  • f(x) f 2 (x)
  • y sacando mínimo común múltimo resulta:
  • g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x)
  • y ‘ = -------------------------------------
  • f 2 (x)

Matemáticas Acceso a CFGS

otras derivadas muy empleadas
OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS
  • Sea y = √x
  • Siempre se puede poner previamente como y = x1/2
  • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece:
  • y ’ = 1 / 2√x
  • Sea y = 1 / x
  • Siempre se puede poner previamente como y = x – 1
  • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece:
  • y ’ = – 1/ x2
  • Sea y = 1 / f (x)
  • Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es:
  • y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x)
  • Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

Matemáticas Acceso a CFGS

regla de la cadena
REGLA DE LA CADENA
  • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo
  • (fog)(x)) que (gof)(x))
  • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas.
  • Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) (1)
  • Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) (2)
  • Ejemplo 1
  • Sea f(x) = x3 y g(x) = (x – 1)
  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1
  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = 1 ,, f ’(g(x)) = 3x2 – 6x + 3 ,, g ’(f(x)) = 3x2
  • (1) y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) = (3x2 – 6x + 3 ).1 = 3x2 – 6x + 3
  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = x3 – 1
  • (2) y’ = g ’ (f(x)) . f ‘ (x) = 1 . 3x2 = 3x2

Matemáticas Acceso a CFGS

regla de la cadena1
REGLA DE LA CADENA
  • Ejemplo 2
  • Sea f(x) = x3 y g(x) = sen x
  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (sen x)3
  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, f ’(g(x)) = 3.(sen x)2 . cos x
  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = sen x3
  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, g ’(f(x)) = cos x3 . 3. x2
  • Ejemplo 3
  • Sea f(x) = x2 y g(x) = ln x
  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (ln x)2
  • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, f ’(g(x)) = 2.(ln x) . (1 / x)
  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = ln x2 = 2.ln x
  • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, g ’(f(x)) = 2. (1 / x) = 2 / x

Matemáticas Acceso a CFGS

ad