Derivadas de operaciones
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DERIVADAS DE OPERACIONES. Bloque III * Tema 122. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = kAplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0

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DERIVADAS DE OPERACIONES

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Derivadas de operaciones

DERIVADAS DE OPERACIONES

Bloque III * Tema 122

Matemáticas Acceso a CFGS


Derivadas de funciones polin micas

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS.

  • Sea f(x) = kAplicando la definición de derivada de una función:

  • f (x + h) - f(x) k - k 0

  • f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0

  • h 0 h h h

  • Sea f(x) = x

  • Aplicando la definición de derivada de una función:

  • f (x + h) - f(x) x + h - x h

  • f ‘ (x) = lím ------------------- = -------------- = ------ = 1

  • h 0 hh h

  • 2

  • Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función:

  • 2 2 2 2 2

  • f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x

  • f ‘ (x) = lím ---------------------- = ------------- = ------------------------- =

  • h 0 hh h

  • = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x

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Derivadas de funciones polin micas1

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS.

  • 3 2

  • Sea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x

  • Resumiendo:

  • f (x) = x  f ‘ (x) = 1

  • 2

  • f (x) = x  f ‘ (x) = 2.x

  • 3 2

  • f (x) = x  f ‘ (x) = 3.x

  • n n - 1

  • Generalizando:f (x) = x  f ‘ (x) = n. x

  • Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos.

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Derivada de la suma

DERIVADA DE LA SUMA

  • Sea y = f(x)+g(x)

  • Aplicando la definición de derivada:

  • f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x)

  • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ =

  • x0 x

  • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x)

  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ =

  • x0 x x

  • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x)

  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ =

  • x0 x x0 x

  • y’ = f ’(x) + g ‘(x)

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Derivada del producto

DERIVADA DEL PRODUCTO

  • Sea y = f(x). g(x)

  • Aplicando la definición de derivada:

  • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x)

  • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ =

  • x0 x

  • Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando:

  • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x)

  • = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------------------------------

  • x 0 x

  • Sacando factor común :

  • [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x )

  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------------------------------------------------------------

  • x0 x

  • f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x)

  • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) =

  • x0 x x0 x

  • y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x)

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Derivada de la inversa

DERIVADA DE LA INVERSA

  • Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada:

  • k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)]

  • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x)

  • x0 x x0 x

  • Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada:

  • 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x)

  • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- =

  • x0 x x0 f(x). f(x + x). x

  • - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x)

  • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = -------

  • x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x)

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Derivada de la divisi n

DERIVADA DE LA DIVISIÓN

  • Sea y = g(x) / f(x)

  • Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones:

  • g ’(x) - f ‘(x)

  • y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). --------

  • f(x) f 2 (x)

  • y sacando mínimo común múltimo resulta:

  • g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x)

  • y ‘ = -------------------------------------

  • f 2 (x)

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Otras derivadas muy empleadas

OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS

  • Sea y = √x

  • Siempre se puede poner previamente como y = x1/2

  • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece:

  • y ’ = 1 / 2√x

  • Sea y = 1 / x

  • Siempre se puede poner previamente como y = x – 1

  • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece:

  • y ’ = – 1/ x2

  • Sea y = 1 / f (x)

  • Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es:

  • y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x)

  • Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

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Regla de la cadena

REGLA DE LA CADENA

  • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo

  • (fog)(x)) que (gof)(x))

  • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas.

  • Sea y = f(g(x))y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x)(1)

  • Sea y = g(f(x))y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x)(2)

  • Ejemplo 1

  • Sea f(x) = x3 y g(x) = (x – 1)

  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1

  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = 1 ,, f ’(g(x)) = 3x2 – 6x + 3 ,, g ’(f(x)) = 3x2

  • (1) y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) = (3x2 – 6x + 3 ).1 = 3x2 – 6x + 3

  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = x3 – 1

  • (2) y’ = g ’ (f(x)) . f ‘ (x) = 1 . 3x2 = 3x2

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Regla de la cadena1

REGLA DE LA CADENA

  • Ejemplo 2

  • Sea f(x) = x3 y g(x) = sen x

  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (sen x)3

  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, f ’(g(x)) = 3.(sen x)2 . cos x

  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = sen x3

  • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, g ’(f(x)) = cos x3 . 3. x2

  • Ejemplo 3

  • Sea f(x) = x2 y g(x) = ln x

  • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (ln x)2

  • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, f ’(g(x)) = 2.(ln x) . (1 / x)

  • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = ln x2 = 2.ln x

  • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, g ’(f(x)) = 2. (1 / x) = 2 / x

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