Rozd len spojit ch veli in
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 47

Rozdělení spojitých veličin PowerPoint PPT Presentation


  • 74 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Rozdělení spojitých veličin. Úvod Rovnoměrné spojité rozdělení Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss- Laplaceovo ) Normální normované rozdělení Logaritmicko - normální rozdělení Exponenciální rozdělení rozdělení ( Pearsonovo ) Studentovo t - rozdělení

Download Presentation

Rozdělení spojitých veličin

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Rozd len spojit ch veli in

Rozdělení spojitých veličin

  • Úvod

  • Rovnoměrné spojité rozdělení

  • Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

  • Normální normované rozdělení

  • Logaritmicko - normální rozdělení

  • Exponenciální rozdělení

  • rozdělení (Pearsonovo)

  • Studentovo t - rozdělení

  • Fischerovo - Snedecorovo rozdělení


Rozd len spojit ch veli in vod

Rozdělení spojitých veličin - úvod

  • Budeme zkoumat rozdělení četností (pravděpodobnosti výskytu různých hodnot) u biologických i jiných veličin, např.:

    • tělesná výška dospělých mužů

    • váha novorozených dětí

    • hodnoty cholesterolu pacientů z cévní poradny

    • IQ školních dětí

    • počet slov na potištěných stránkách

    • životnost žárovek

  • Tyto veličiny budeme považovat za spojité a rozdělení pravděpodobnosti výskytu jejich hodnot nazývat NORMÁLNÍ

    • krajní hodnoty (nízké a vysoké) se vyskytují jen zřídka

    • prostřední hodnoty jsou směrem ke střední hodnotě četnější

      • malá četnost – malá pravděpodobnost výskytu

      • velká četnost – vysoká pravděpodobnost výskytu


Norm ln rozd len

Normální rozdělení

  • Normální rozdělení je myšlenkovým modelem a početní pomůckou. Nejedná se o jedinou křivku, ale jednu z mnoha.

  • Normální křivka je jednoznačně určena dvěma parametry:

    • střední hodnotou

    • rozptylem resp. směrodatnou odchylkou

    • Střední hodnota je v tomto případě aritmetický průměr, medián i modus - určuje střed křivky na ose x

    • Rozptyl určuje plochost nebo naopak špičatost křivky (čím je rozptyl větší, tím je křivka plošší )


Pravd podobnostn funkce spojit n hodn veli iny

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

ROZDĚLENÍ NÁHODNÉ VELIČINY neboli ROZLOŽENÍ NÁHODNÉ VELIČINY

je znázorněno PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCÍ nebo FREKVENČNÍ FUNKCÍ,

které také říkáme HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI NV

Př.Hmotnost narozených dětí


Pravd podobnostn funkce spojit nv

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV

Spojitou NV měříme s omezenou přesností:

  • přesnost omezená měřicími přístroji

  • nebo našimi schopnostmi

    a zobrazujeme ji

  • Histogramem četností (sloupcovým grafem)

  • Frekvenční funkcí neboli Hustotou pravděpodobnosti


Frekven n funkce neboli hustota pravd podobnosti

FREKVENČNÍ funkce neboli HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI

Pokud u spojité náhodné veličiny X vynášíme na osu ypravděpodobnost,

dostaneme FREKVENČNÍ FUNKCIneboli HUSTOTU PRAVDĚPODOBNOSTI.


Distribu n funkce spojit nv

DISTRIBUČNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV

Pokud u spojité náhodné veličiny vynášíme na osu y

KUMULATIVNÍ pravděpodobnost, dostaneme DISTRIBUČNÍ FUNKCI.


Distribu n funkce spojit nv1

DISTRIBUČNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV

Distribuční funkce spojité NV má tvar esovité křivky

je nezáporná

neklesající

nejvýše = 1

Pro zvolenou hodnotu p nalezneme na vodorovné ose x hodnotu kvantilu x(p).


Rovnom rn spojit rozd len

Rovnoměrné spojité rozdělení

  • U různých programových produktů (tabulkové procesory, programovací jazyky, statistické a simulační programy) je dostupný tzv. generátor náhodných čísel.

    • Je to funkce, jejímž voláním lze získat hodnoty náhodné veličiny, které mají rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Běžně se setkáváme s tím, že tato funkce generuje hodnoty spojité veličiny U z intervalu [0,1).

    • Některé programové produkty dovolují i generování hodnot diskrétní náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením, jinak tyto hodnoty můžeme získat vhodnou transformací (zaokrouhlením) spojité veličiny X.

    • Je nutno mít na paměti, že tzv. generátory náhodných čísel jsou deterministické algoritmy, tzn., že jednou vygenerovanou řadu hodnot jsme schopni při stejném počátečním zadání přesně zopakovat. Vygenerované hodnoty tedy nejsou, přísně vzato, náhodné. Proto se někdy takto vygenerovaným hodnotám říká pseudonáhodná čísla.


Rozd len spojit ch veli in

Rovnoměrné spojité rozdělení - Frekvenční funkce

Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení, jestliže hustota pravděpodobnosti je na intervalu hodnot (a,b) konstantní a mimo tento interval nulová. Plocha pod „frekvenční křivkou“ (úsečkou) = 1

pro a < x < b

f(x) = 0jinak


Rozd len spojit ch veli in

Rovnoměrné spojité rozdělení - Distribuční funkce

Distribuční funkce rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny X je

F(x) = 0pro x ≤ a

pro a < x < b

F(x) = 1pro x ≥ b


Rozd len spojit ch veli in

Rovnoměrné spojité rozdělení - střední hodnota a rozptyl

Matematicky je střední hodnota NV s distribuční funkcí F(x) definovaná pomocí integrálu

je to vlastně součet všech možných hodnot vynásobený jejich pravděpodobností

Rozptyl vypočteme dosazením do vzorce: var(X)=E(X2) - [E(X)]2


Rozd len spojit ch veli in

Rovnoměrné spojité rozdělení – odvození vzorce pro rozptyl

Analogicky:

Zapsáno v jiném tvaru: var(X) = E(X2) - [E(X)]2


Rozd len spojit ch veli in

Rovnoměrné spojité rozdělení – odvození vzorce pro rozptyl


Norm ln rozd len gaussovo gauss laplaceovo

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

  • Obecné normální rozdělení má ve statistice dominantní postavení. Mnohé náhodné veličiny v přírodních vědách i ekonomice mají toto rozdělení nebo lze jejich rozdělení Normálním rozdělením dobře aproximovat.

    Proč?

  • V BIOSTATISTICE je rozdělení hodnot dáno především BIOLOGICKOU VARIABILITOU SLEDOVANÉ VELIČINY – měřenou proměnnou ovlivňuje současně velký počet nepatrných vzájemně nezávislých náhodných vlivů.

    Projevuje se to kolísáním kolem střední hodnoty tak, že na obě strany jsou výsledky stále méně časté a extrémní hodnoty se objevují jen ojediněle.


Norm ln rozd len gaussovo gauss laplaceovo1

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

  • Normální rozdělení N(μ; σ2) je popsáno matematickou funkcí:

  • Frekvenční funkce je symetrická zvonovitá funkce

    jejíž špičatost závisí nepřímo na velikosti rozptylu

  • Normální rozdělení je stejně jako ostatní rozdělení myšlenkovým modelem, nikoli exaktním přírodním zákonem.

    I zde platí, že se může vyskytnout nejméně pravděpodobná hodnota.


Rozd len spojit ch veli in

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

Normální rozdělení platí pro (téměř) všechny výběry

Např. zkoumáme váhu stovky (tisíce, statisíce) havranů. Všichni jsou černí, ale jejich váhy se budou lišit nejen u jednotlivců, ale u různých výběrů.

Pokud jejich váhy jsou rozděleny „normálně“, součet vah výběrů je také rozdělen normálně.

Normálně bude však rozdělena i veličina, která vznikne součtem vlastnosti výběrů, i kdyby původní veličina normální rozdělení neměla.

Normální křivku matematicky popsal poprvé v roce 1733 Abraham de Moivre, francouzský matematik, který utekl do Londýna. Na základě binomického rozdělení uskutečnil myšlenkový skok od sloupečků k hladké křivce. Jenže křivka i rovnice upadly v zapomnění.


Rozd len spojit ch veli in

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

Znovuobjevena byla jako GAUSSOVA – LAPLACEOVA KŘIVKA CHYB.

Proč chyb?

Na přelomu 18. a 19. století získávali astronomové při svých měřením ve vesmíru kvůli nedokonalosti přístrojů stále odlišné hodnoty.

Astronomové – mezi nimi Gauss a Laplace - hledali cestu, jak ze spousty různých výsledků najít pravděpodobně správnou hodnotu. Nejprve chtěli vypočítat aritmetický průměr, ale pak oba došli k závěru, že velmi odlišné hodnoty vyloučí a budou se zabývat jen těmi „podobnějšími“.

Nejčetnější hodnoty byly prostřední a odpovídal jim i aritmetický průměr.

Pro práci s odchylkami (např. +2 a -2, +5 a -5) zvolil každý jinou cestu: Laplace absolutní hodnoty, Gauss chyby umocnil na druhou – tento postup se pak uplatnil při výpočtu rozptylu a směrodatné odchylky.

Pro biometrii – vědu o měření člověka – objevil normální rozdělení belgický vědec Adolphe-Lambert Quételet, jeden ze zakladatelů Královské statistické společnosti v Londýně.


Rozd len spojit ch veli in

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

Quételet zavedl pojem „homme moyen“ – tvrdil, že příroda se snaží vytvořit ideální typ člověka, ale že různě chybuje.

Měl odpůrce i stoupence, např. Francis Galton zavedl do biologie kvantitativní metody a měrné stupnice pro všechny možné tělesné znaky.

Dalším obdivovatelem normální křivky byl Karl Pearson, otec moderní matematické statistiky. Stanovil, že i v přírodě jsou nenormálně rozdělené veličiny. Pokusil se vypracovat specifická schémata rozdělení pro tyto případy a po pečlivém rozboru skutečností zjistil, že se obvykle jedná o „spletence“ dvou nebo více normálních rozdělení.

Výsledkem dohadů o normálním rozdělení je centrální limitní věta, která nám říká asi toto: Jestliže je znak určen působením většího počtu navzájem nezávislých vlivů, výsledkem je alespoň přibližně normální rozdělení, ať už je každý z těchto faktorů rozdělen jakkoliv.


Rozd len spojit ch veli in

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

Platí:

- součet či rozdíl normálních veličin je normální

- tedy i průměr normálně rozdělených veličin je normální

- čím více nezávislých náhodných veličin sčítáme, tím je jejich součet

blíž normálnímu rozdělení a to bez ohledu, jaké měly původní

veličiny rozdělení

Považujeme ho za rozdělení, které vystihuje rozložení SPOJITÝCH KVANTITATIVNÍCH VELIČIN.

Můžeme ho popsat pomocí dvou parametrů μ a σ2.

Tyto parametry jsou mírou polohy a měřítka a jejich přirozeným odhadem je výběrový průměr a výběrový rozptyl.

Matematicky lze dokázat, že pro dostatečně velké n je binomické rozdělení Bi(n; π) „podobné“ normálnímu rozdělení N(nπ; nπ(1-π))


Rozd len spojit ch veli in

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo)

Abraham de Moivre 12. 11. 1733 - první uveřejnění spisku o této křivce

Adolph Quételet - první příklad

obvod hrudi 5738 skotských vojáků


Rozd len spojit ch veli in

Grafy hustoty pravděpodobnosti Normálního rozložení


Rozd len spojit ch veli in

Grafy odpovídajících distribučních funkcí Normálního rozložení


Rozd len spojit ch veli in

Frekvenční funkce a PRAVIDLO TŘÍ SIGMA

-3δ -2δ -1δ 0 δ 2δ 3δ

- odchylky na obě strany jsou stejně pravděpodobné (symetrie, šikmost = 0)

- v úseku –δ a +δ leží 68,26% případů, tj. o něco víc než 2/3 celkové plochy

- v úseku –2δ a +2δ leží 95% případů

- v úseku –3δ a +3δ leží 99,7% případů

Normální křivka se teoreticky rozkládá od -∞ do +∞


Normovan norm ln rozd len n 0 1

Normované normální rozdělení N (0; 1)

  • Normované normální rozdělení značíme někdy místo N(0; 1) symbolem U nebo Z

    Má střední hodnotu μ = 0 a směrodatnou odchylku σ = 1

    Je popsáno matematickou funkcí:

    která vznikla zjednodušením rovnice

    dosazením za μ = 0 a σ = 1


Normovan norm ln rozd len n 0 11

Normované normální rozdělení N (0;1)

  • Normování je účelná konvence: vzorec pro přepočet hodnot normovaného rozdělení je:

    Důvody:

    • pro střední hodnotu = 0 je rozložení symetrické (šikmost = 0)

    • pro směrodatnou odchylku = 1 je špičatost = 0

    • pro testování hypotéz potřebujeme mít k dispozici kritické hodnoty – převod na Normované rozdělení nám umožní použít statistické tabulky, v nichž jsou tabelovány hodnoty pouze pro μ = 0 a σ2 = 1

      Poznámka:

    • statistické programy už umí pracovat i s obecným normálním rozdělením


P klad

Příklad

  • O rozdělení IQ obyvatel je známo, že má normální rozdělení se střední hodnotou 100 a směrodatnou odchylkou 10, tj. N(100; 100)

  • Jaká je pravděpodobnost, že vaše kamarádka má

    • IQ > 85

    • IQ > 125

    • IQ mezi 90 a 110

    • IQ = 100

Vypočteme z - skóry pro N(0; 1)

  • 85:

  • 125:

  • 90:

    110:


P klad e en

Příklad - řešení

  • IQ > 85 … -1,5

  • IQ > 125 … 2,5

  • IQ mezi 90 a 110

    -1 a 1

  • IQ = 100

  • 0,933: 93,3%

  • 0,006: 0,6%

  • 0,841: 84,1-15,9=

    68,2%

  • 0%


Logaritmicko norm ln rozd len

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

Příklad 1: Koncentrace látek

Příklad 2: Hmotnost dospělého muže

  • U normálního rozdělení se chyby sčítají, zajímá nás o kolikse změní sledovaná veličina (aditivní).

  • U logaritmicko-normálního se ptáme kolikrátse změní sledovanáveličina (multiplikativní) – vytváří násobek skutečné veličiny, třeba blízký jedné. Tento násobek můžeme ještě názorněji vyjádřit procentuelně.

    • zvýšení hmotnosti člověka s 50 kg o 5 kg je 10%, tj. násobek 1,1

    • zvýšení hmotnosti člověka se 100 kg o 5 kg je 5% tj. násobek 1,05

      Proto je vhodnější počítat tyto veličiny v logaritmicko normálním rozložení.


Logaritmicko norm ln rozd len1

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

  • Pokud si nakreslíme histogram s rozdělením váhy v normálních hodnotách, histogram není symetrický, ale zešikmený kladně -

    v pravé části se bude objevovat více odlehlých hodnot

    • Pokud by průměrná hmotnost dospělého muže byla 80 kg, pak najdeme daleko víc mužů, kteří váží přes 100 kg než mužů, kteří váží méně než 60. Zároveň odchylka 50 kg se ve vyšších hodnotách bude zcela jistě vyskytovat (váha 130 kg), ale v nižších hodnotách (30 kg) se skoro jistě nevyskytne vůbec.

  • Pokud stejné rozdělení zobrazíme jako logaritmy hodnot, rozdělení se bude jevit symetrické.

  • Mají-li tyto logaritmy normální rozložení, mluvíme o logaritmicko-normálním rozdělení.

  • Charakteristikou polohy je geometrický průměr, který vypočteme odlogaritmováním průměru logaritmů.

  • Testy a výpočty intervalů počítáme také z logaritmů naměřených hodnot. Meze intervalů jsou nesymetrické.


Rozd len spojit ch veli in

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

Vyznačuje se kladným zešikmením

Příklady:

- koncentrace

- hmotnost postavy


Exponenci ln rozd len

EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ

Používá se nejčastěji pro analýzu doby přežití v biologii nebo

ve fyzice pro modelování rychlosti rozpadu izotopů.

Nejjednodušší model pravděpodobnosti přežití je založen na myšlence, že pravděpodobnost úmrtí je v každém okamžiku stejná, tj. pravděpodobnost, že sledovaná osoba zemře v daném okamžiku za předpokladu, že se tohoto okamžiku dožila, je konstantní – nezávisí na čase.

Hustota exponenciálního rozdělení je popsána vzorcem:

Základní charakteristiky jsou: E(X) = a

var(X) = a2


V b rov rozd len veli in

Výběrová rozdělení veličin

  • Mějme náhodnou veličinu o které předpokládáme, že má Normální rozdělení s parametry μ a σ.

  • V praxi často neznáme skutečné hodnoty těchto parametrů a musíme je nahradit jejich odhady. Tato „transformace“ změní rozložení zkoumané veličiny.

  • Proto byla odvozena jiná (výběrová) rozdělení, která slouží jako vzor pro porovnávání s výběrovým rozdělením.

  • V kapitole o Statistických testech budeme hledat způsob, jak určit shodu mezi naší náhodnou veličinou a teoretickým rozdělením, o kterém předpokládáme, že je modelem pro naše data.


V b rov rozd len veli in1

Výběrová rozdělení veličin

Jinými slovy:

Při testování veličiny vypočteme testovací statistiku, o které víme, že za platnosti testované hypotézy, má nějaké výběrové rozdělení, např.:

  • rozdělení (používá se pro popis výběrového rozptylu)

  • Studentovo t - rozdělení (nejčastěji se používá k porovnání průměrů)

  • Fisherovo F rozdělení (použití pro porovnání rozptylů ve dvou souborech nebo při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi)


Rozd len pearsonovo

rozdělení (Pearsonovo)

  • Mějme n nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením N(0; 1): U1, U2, …, Un

  • Potom náhodná veličina X má rozdělení

    sn-stupni volnosti.

    Je to rozdělení součtu n druhých mocnin normálně rozdělených veličin.

  • Hodnota n je jediný parametr tohoto rozdělení.

  • Základní charakteristiky: E(X) = n, D(X) = 2n

  • Hustota rozdělení je pro hodnoty x ≤ 0 nulová (viz obrázek dále).


Rozd len pearsonovo1

rozdělení (Pearsonovo)

S rostoucím n se rozdělení blíží normálnímu rozdělení

―› N(n, 2n)

s parametry μ = n

σ2=2n


Rozd len pearsonovo2

rozdělení (Pearsonovo)

  • Distribuční funkci, stejně jako hustotu rozdělení, nelze vyjádřit jednoduchým výrazem, proto je tabelována, podobně jako kvantily rozdělení chí kvadrát.

  • Tabelované hodnoty najdeme ve statistických tabulkách, kde jsou obvykle v levém sloupci stupně volnosti a v horním řádku najdeme hladinu významnosti α (vysvětlení najdete v kapitole o statistických testech).

  • V Excelu pro určení kvantilů rozdělení můžeme použít funkci CHISQ.INV, jejíž parametry jsou p, tj. levostranná pravděpodobnost a počet stupňů volnosti, takže např. zadáním CHISQ.INV(0,95;10) dostaneme hodnotu 0,95-kvantilu rozdělení pro 10 stupňů volnosti = 18,307

  • nebo analogickou funkci CHISQ.INV.RT, která se počítá zprava.


Rozd len pearsonovo3

rozdělení (Pearsonovo)

  • Distribuční funkci rozdělení najdete v Excelu jako CHISQ.DIST s parametry x a počet stupňů volnosti.Třetím parametrem je určení, zda chcete získat hodnotu distribuční funkce (kumulativní pravděpodobnost) nebo hodnotu hustoty pravděpodobnosti - frekvenční funkce.

  • analogicky funkce CHISQ.DIST.RT vrátí hodnotu distribuční funkce zprava. Třetí parametr nemá.

  • Pokud zvolíme hladinu významnosti α = 0,05, pak funkcí CHISQ.INV.RT(0,05; n), kde n je počet stupňů volnosti, najdeme hodnotu x, pro kterou platí, že pod touto hodnotou leží 95% hodnot. Stejný výsledek dostaneme použitím funkce CHISQ.INV(0,95; n).


Rozd len pearsonovo4

rozdělení (Pearsonovo)

  • Používá se nejčastěji pro popis výběrového rozptylu.

  • Tvar rozložení je závislý na počtu sčítanců n, ale toto číslo musíme v případě, že pro výpočet použijeme odhad jednoho nebo více parametrů, zmenšit o příslušný počet odhadovaných parametrů.

  • Příklad: pro výpočet odhadu ROZPTYLU, kdy použijeme odhad průměru, je počet stupňů volnosti (n – 1) místo n (odhadovali jsme 1 parametr).

  • Ve složitějších případech bývá počet odhadovaných parametrů větší a počet stupňů volnosti se tím zmenší.


Studentovo t rozd len

Studentovo t - rozdělení

  • Také Studentovo t-rozdělení patří mezi rozdělení odvozená od Normálního rozdělení a můžeme ho popsat funkcí:

    kde veličina U má standardizované normální rozložení

    a veličina chí-kvadrát rozdělení o n - stupních volnosti

    Statistické charakteristiky: E(T) = 0, D(T) =


Studentovo t rozd len1

Studentovo t - rozdělení

S rostoucím n se t-rozdělení blíží normovanému normálnímu rozdělení a pro n > 40 ho můžeme nahradit normovaným rozdělením N (0; 1)

Název získalo rozdělení podle pseudonymu chemika pivovaru Guiness v Dublinu Williama Sealy Gosseta, jednoho ze zakladatelů aplikací induktivní statistiky v oblasti nesporně významné - v zabezpečení kvality piva.

Nejčastěji se používá k porovnání průměrů.

Kvantily t-rozdělení jsou tabelovány nebo je můžeme určit pomocí software.


Studentovo t rozd len2

Studentovo t - rozdělení

V Excelu existuje funkce TINV analogická funkci CHIINV. Funkce TINV má parametry α = 1 – p a počet stupňů volnosti

a vrací hodnotu p-kvantilu, např. TINV(0,01; 40)= 2,704

Na rozdíl od funkce chí-kvadrát a Normálního rozdělení je pro Studentovo rozdělení definována hladina významnosti αoboustranně: P{|T|≥ t(α)} = α,

tj. ve výše uvedeném příkladu je 2,704 hraniční (kritická) hodnota pro 0,5% hodnot vyšších a -2,704 pro 0,5% hodnot nižších.

Distribuční funkce TDIST v Excelu obsahuje kromě volby parametrů x a stupňů volnosti také zda se jedná o jednostranné nebo oboustranné rozdělení.


Studentovo t rozd len3

Studentovo t - rozdělení


Studentovo t rozd len4

Studentovo t - rozdělení

  • Tabelování hodnot studentova rozdělení:

    P{|T| ≥ t(α)} = α

  • Tabelování hodnot Normálního normovaného rozdělení:

    P{X ≥ u(α)} = α

    Absolutní hodnota u Studentova rozdělení zdvojnásobí hladinu významnosti pro stejnou hodnotu nezávisle proměnné (testovací statistiky): Z(α) ~ t(2α),

    např. Z = 2,576 pro α = 0,005

    a t = 2,576 pro 2α = 0,01 (pro nekonečně velký počet stupňů volnosti)

    V Excelu použijeme funkce:

    NORMSINV (1-α) … pro Normální normované rozdělení

    TINV (2α; počet stupňů volnosti) … pro Studentovo rozdělení


Fischerovo snedecorovo f rozd len

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení

  • Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny s rozdělením

    Veličina má Fischerovo - Snedecorovo rozdělení

    s nam stupni volnosti.

    Na pořadí parametrů záleží.

    Statistické charakteristiky: E(F) = D(F) =

    Používá se především pro testování rozdílnosti rozptylů a při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi


Fischerovo snedecorovo f rozd len1

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení


Fischerovo snedecorovo f rozd len2

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení

V Excelu kvantily počítá funkce FINV s parametry 1-p, n, m, např. FINV(0,05; 10; 20) vrátí hodnotu 2,3478,

což je 0,95-kvantil

Vzhledem k tomu, že náhodná veličina F je podílem veličin X a Y, pro kvantily F-rozdělení platí

FINV(0,25;100;20) = 1,31

FINV(0,75;20;100) = 0,76 1/0,76 = 1,31


  • Login