第五节     全 微 分 方 程
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第五节 全 微 分 方 程. 一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后 , 如果它的左端恰好是某一个函数 u=u(x,y) 的全微分 :. 那么方程 (1) 就称为全微分方程. 而方程 (1) 就是 du(x,y)=0 (1 ’ ). 如果 y=φ(x) 是方程 (1) 的解 , 那么这解满足方程 (1 ‘ ), 故有. 这表示方程 (1) 的解 y=φ(x) 是由方程 u[x,φ(x)]=C 所确定的 隐函数. 另一方面 , 如果方程 u(x,y)=c 确定一个可微的隐函数 y=φ(x),

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Presentation Transcript

一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,

如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:

那么方程(1)就称为全微分方程.

而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )

如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有

这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的

隐函数.


另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),

上式两端对x求导,我们得到

这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.

因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么

u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.


由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具

有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是

(2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程

(1) 的通解为

其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.


1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0

分析: 这里

这是全微分方程,可取x0=0

y0=0. 根据公式(3),有

于是,方程的通解为


除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微

分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C

例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0



当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程.

这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0),

使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程

μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0

为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.


要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y)

必须满足方程

这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下,

它比原方程更难求.


下面我们给出一些积分因子的方法:

当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因式x2+y2,则方程可能有积分因子:

当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式

xy则方程可能有积分因子:

当方程(1)的左端含有ydx-xdy的项,这时需要分三种情况

寻找积分因子:

A.若方程中其他的项都只含有x或y的微分表达式,则方程

有积分因子 ,


B.若方程中其他的项含有因式xy,则方程可能有积分因子

1/xy;

C.若方程中其他的项含有因式x2+ y2或x2-y2,则方程可

能有积分因子:


3 求微分方程 xdx+y(1+4y4+4x2y2)dy=0的通解

解:这不是全微分方程,把它改写为

这属于第一种情况,其积分因子为


4 求微分方程 xdy+ydx+x2ydx+xy2dy=0的通解

解: 这不是全微分方程,容易看出它属于第二种情况,

xdy+ydx→d(xy),取积分因子1/xy


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