1 / 20

ENE 206 MATLAB Laboratory

ENE 206 MATLAB Laboratory. Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ (ต่อ). โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่.

Download Presentation

ENE 206 MATLAB Laboratory

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. ENE 206 MATLAB Laboratory Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์(ต่อ)

  2. โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่ พิจารณาระบบรังสีเอกซ์ (X-ray) ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนรังสีไม่คงที่ตัวกลางหนึ่ง ซึ่งตัวกลางดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นเมตริกซ์ที่มีค่าการลดทอนคงที่ได้ดังรูป ในการหาค่าการลดทอนดังกล่าว กระทำได้โดยการทดลองผ่านกลุ่มของรังสีเอกซ์ขาเข้าในทิศทางต่าง ๆ แล้ววัดค่าความเข้มของกลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกภายหลังตัวกลางในทิศทางนั้น ๆ เทียบกับความเข้มรังสีตั้งต้น 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0

  3. หลักการของรังสีเอกซ์ ก่อนการคำนวณหาค่าการลดทอนที่ซับซ้อนดังกล่าว จึงจำเป็นต้องทราบหลักการลดทอนของรังสีเอกซ์เบื้องต้นก่อน ซึ่งการลดทอนของรังสีเอกซ์จะเป็นไปในแบบเอกซ์โพเนนเชียล กล่าวคือ หากผ่านรังสีเอกซ์ที่มีความเข้มตั้งต้น I0 ผ่านตัวกลางที่มีความยาวเท่ากับ x และค่าการลดทอนคงที่เท่ากับ µ รังสีเอกซ์ขาออกที่เหลือจะมีค่าเท่ากับ I0e–µx ตามรูป I0 0.2I0 = I0e–µx ← x →

  4. หลักการของรังสีเอกซ์ (ต่อ) ดังนั้นในกรณีทั่ว ๆ ไปที่รังสีเอกซ์ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนคงที่มากกว่าหนึ่งค่าและมีความยาวในช่วงการลดทอนต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง จะได้ว่าค่ารังสีเอกซ์ขาออกที่เป็นผลลัพธ์จากการผ่านตัวกลางดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 0.2I0 = I0e–(µ1·x1 + µ2·x2 + µ3·x3 + µ4·x4) เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ กำหนดให้ค่าความยาวของตัวกลางแต่ละช่วงมีค่าเท่า ๆ กัน x ดังนั้นสมการดังกล่าวจะลดรูปเป็น 0.2I0 = I0e–(µ1 + µ2 + µ3 + µ4) · x I0 0.2I0 ← x1 → ← x2 → ← x3 → ← x4 →

  5. ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ I0 ดังนั้นสมมติให้ตัวกลางมีค่าการลดทอนแบ่ง เป็น 16 ช่วงเท่า ๆ กันเป็นเมตริกซ์ดังรูปด้านขวา และได้ทำการทดลองวัดค่าความเข้มของ กลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกที่ทิศทางต่าง ๆ ตามรูป จะได้ความสัมพันธ์รังสีเอกซ์ขาเข้าและขาออก เป็น 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0

  6. ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ จัดรูปสมการใหม่จะได้

  7. ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ (ต่อ) เห็นได้ว่าในกรณีทั่ว ๆ ไปที่ตัวกลางมีความยาวแต่ละช่วงไม่คงที่ สมการเมตริกซ์จะเป็นดังนี้ ดังนั้น โดยหลักการค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนทั้ง 16 ค่า สามารถหาได้จากการแก้สมการเมตริกซ์ดังกล่าว

  8. การแก้สมการเมตริกซ์ การแก้สมการเมตริกซ์ที่กล่าวมาแล้วสามารถกระทำได้หลายรูปแบบ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาค่าจากวิธี Inverse method โดย µ = A-1b อย่างไรก็ดี วิธีดังกล่าวมีข้อจำกัดของการหา inverse ของเมตริกซ์ A ซึ่งโดยปกติ rank(A) จำเป็นต้องมีค่าเท่ากับจำนวนตัวแปรของเวคเตอร์ µ จะเห็นได้ว่าวิธีดังกล่าวอาจไม่สามารถใช้ได้ในทางปฏิบัติ ดังที่โจทย์ปัญหาตัวอย่างที่ตั้งขึ้น เนื่องจากมีรังสีเอกซ์ที่ทำการทดลองเพียง 8 เส้นรังสี ทำให้ได้เพียงแค่ 8 สมการความสัมพันธ์ หรือ rank(A) < 16 การแก้ปัญหาดังกล่าวจึงต้องการอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined

  9. เทคนิคการสร้างข้อมูลคืนทางพีชคณิต (Algebraic Reconstruction Technique: ART) I0 เป็นเทคนิคที่ถูกนำมาใช้ในการคำนวณ ระบบสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined ของโจทย์ปัญหารังสีเอกซ์ดังกล่าวด้วยวิธีวนซ้ำ (iterative algorithm) 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0

  10. หลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนหลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน หลักการวนซ้ำสำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน จะสมมติค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นค่าตั้งต้น จากนั้นจะมีกระบวนการในการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดตามข้อมูลรังสีเอกซ์ทุกทิศทางไปเรื่อย ๆ โดยในการปรับปรุงแต่ละรอบจะสามารถคำนวณความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดเพื่อเปรียบเทียบกับความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกที่วัดจากโจทย์ได้ กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนวณได้ให้ความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดน้อยกว่าค่าหนึ่งที่ต้องการ

  11. ART1: กำหนดค่าเริ่มต้น • กำหนดค่าเริ่มต้นของเวคเตอร์สัมประสิทธิ์ให้เป็นศูนย์ทั้งหมด • ในที่นี้ เพื่อความเข้าใจระยะความยาวของตัวกลาวแต่ละช่วงกำหนดให้เป็น 1 หน่วย (x = 1) ***ในกรณีทั่วไปค่าสัมประสิทธิ์ใน A จะเปลี่ยนแปลงตามค่าระยะความยาวของตัวกลางด้วย

  12. ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • เลือกกลุ่มทิศทางของรังสีเอกซ์เดียวกันมาหนึ่งทิศทาง (ในที่นี้เลือกแนวนอนก่อน) • ทำการปรับปรุง(update) ค่าสัมประสิทธิ์จากค่าที่สมมติไว้ โดยอาศัยหลักการที่ว่า “ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของตัวกลางที่รังสีเอกซ์เส้นเดียวกันจะถูกปรับปรุงด้วยค่าที่เท่ากัน”ในที่นี้ เลือกรังสีI1เป็นตัวอย่าง หากคำนวณค่าปรับปรุงได้เป็น ∆μ1 ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีแถวแรกจะถูกปรับปรุงเป็น μ1 → μ1 + ∆μ1 μ2 → μ2 + ∆μ1 μ3 → μ3 + ∆μ1 μ4 → μ4 + ∆μ1 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0

  13. ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ดังนั้น เมื่อประยุกต์หลักการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว เข้าจะทำให้การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์จากรังสีเอกซ์แถวแรกเป็น

  14. ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ต่อมา แทนค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่สมมติเบื้องต้นเป็นศูนย์ ดังนั้นในรอบแรกของการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าปรับปรุงในทิศ I1 จะมีค่าเท่า ๆ กันโดยมีค่าเท่ากับ ใช้วิธีเดียวกันคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงกับรังสีเอกซ์ในทิศทางเดียวกันที่เหลือ I2, I3, และI4 ได้เป็น ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ตามลำดับ

  15. ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หลังจากคำนวณค่าปรับปรุงของสัมประสิทธิ์ในทิศทางที่เลือกไว้แล้ว ให้นำค่าเหล่านี้กลับไปปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกับรังสีเอกซ์ทิศนั้น ๆ ดังนั้นจึงนำค่า∆μ1, ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ไปบวกเข้ากับ μ ของรังสี I1, I2, I3, และI4 ตามลำดับ 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4

  16. ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หลังจากปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทาง I1, I2, I3, และI4 จะมีค่าเท่ากับค่าที่ให้ในโจทย์เสมอ ดังนั้นให้คำนวณค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทางของรังสีที่เหลือคือ I5, I6, I7, และI8 ซึ่งจะไม่ตรงกับค่าความเข้มรังสีขาออกตามที่โจทย์ให้ และคำนวณความผิดพลาดของความเข้มรังสีขาออกโดยเฉลี่ยจากทุกทิศทาง 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4 0.22I0 0.22I0 0.22I0 0.22I0

  17. การคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกการคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออก • คำนวณโดยใช้ค่าความผิดพลาดยกกำลังสองที่ต่ำที่สุดต่อหนึ่งหน่วยเซล หรือพิกเซล (Minimized Square Error per pixel) ดังนี้ MSE/pixel = [(0.2I0– 0.2I0)2 + (0.4I0– 0.4I0)2 + (0.3I0– 0.3I0)2 + (0.1I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.3I0)2 + (0.22I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.5I0)2 + (0.22I0– 0.4I0)2 +] / 8 MSE/pixel = 0.0325I02

  18. ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หากค่าความผิดพลาดยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ทำการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ด้วยวิธีเดียวกัน กับกลุ่มรังสีเอกซ์ในทิศทางถัดไป ในที่นี้คือกลุ่มรังสี I5, I6, I7, และI8 ซึ่งอยู่ในกลุ่มทิศแนวดิ่งเดียวกัน (หากมีกลุ่มรังสีที่มีทิศทางมากกว่าสองทิศทางให้แบ่งการปรับปรุงเป็นกลุ่ม ๆ ตามลำดับใดก็ได้) MSE/pixel = 0.005I02 0.25I0 0.38I0 0.5I0 0.12I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0

  19. ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • คำนวณความผิดพลาดโดยเฉลี่ยใหม่ หากยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ย้อนกลับไปเริ่มปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในทิศที่เคยทำมาแล้ว (ตามลำดับเดิมที่เคยได้ทำมาตั้งแต่ข้อ 1) กระทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนค่าความผิดพลาดเฉลี่ยอยู่ในระดับที่น้อยมาก จึงหยุดการคำนวณและถือว่าค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้เป็นคำตอบของตัวกลางดังกล่าว

  20. แบบฝึกหัด • จงประยุกต์ใช้ ART ตามที่ได้อธิบายมาแล้วกับการทดลองวัดรังสีเอกซ์ในทิศทางต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง โดยให้แสดงผลลัพธ์ของเมตริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้จากการปรับปรุงด้วยอัลกอริทึม ART ภายหลังจากค่า MSE/pixel มีค่าน้อยกว่า 0.00001I02และ plot กราฟค่า MSE/pixel เทียบกับจำนวนรอบ (iteration) จนกระทั่งอัลกอริทึม ART จบการคำนวณ I0 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0

More Related