Ene 206 matlab laboratory
Download
1 / 20

ENE 206 MATLAB Laboratory - PowerPoint PPT Presentation


  • 81 Views
  • Uploaded on

ENE 206 MATLAB Laboratory. Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ (ต่อ). โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' ENE 206 MATLAB Laboratory' - jennifer-lane


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Ene 206 matlab laboratory

ENE 206 MATLAB Laboratory

Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์(ต่อ)


โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่

พิจารณาระบบรังสีเอกซ์ (X-ray) ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนรังสีไม่คงที่ตัวกลางหนึ่ง ซึ่งตัวกลางดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นเมตริกซ์ที่มีค่าการลดทอนคงที่ได้ดังรูป

ในการหาค่าการลดทอนดังกล่าว กระทำได้โดยการทดลองผ่านกลุ่มของรังสีเอกซ์ขาเข้าในทิศทางต่าง ๆ แล้ววัดค่าความเข้มของกลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกภายหลังตัวกลางในทิศทางนั้น ๆ เทียบกับความเข้มรังสีตั้งต้น

0.2I0

0.3I0

I0

0.4I0

0.1I0


หลักการของรังสีเอกซ์โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่

ก่อนการคำนวณหาค่าการลดทอนที่ซับซ้อนดังกล่าว จึงจำเป็นต้องทราบหลักการลดทอนของรังสีเอกซ์เบื้องต้นก่อน ซึ่งการลดทอนของรังสีเอกซ์จะเป็นไปในแบบเอกซ์โพเนนเชียล กล่าวคือ หากผ่านรังสีเอกซ์ที่มีความเข้มตั้งต้น I0 ผ่านตัวกลางที่มีความยาวเท่ากับ x และค่าการลดทอนคงที่เท่ากับ µ รังสีเอกซ์ขาออกที่เหลือจะมีค่าเท่ากับ I0e–µx ตามรูป

I0

0.2I0 = I0e–µx

← x →


หลักการของรังสีเอกซ์ (ต่อ)

ดังนั้นในกรณีทั่ว ๆ ไปที่รังสีเอกซ์ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนคงที่มากกว่าหนึ่งค่าและมีความยาวในช่วงการลดทอนต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง

จะได้ว่าค่ารังสีเอกซ์ขาออกที่เป็นผลลัพธ์จากการผ่านตัวกลางดังกล่าวมีค่าเท่ากับ

0.2I0 = I0e–(µ1·x1 + µ2·x2 + µ3·x3 + µ4·x4)

เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ กำหนดให้ค่าความยาวของตัวกลางแต่ละช่วงมีค่าเท่า ๆ กัน x ดังนั้นสมการดังกล่าวจะลดรูปเป็น

0.2I0 = I0e–(µ1 + µ2 + µ3 + µ4) · x

I0

0.2I0

← x1 →

← x2 →

← x3 →

← x4 →


ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์

I0

ดังนั้นสมมติให้ตัวกลางมีค่าการลดทอนแบ่ง

เป็น 16 ช่วงเท่า ๆ กันเป็นเมตริกซ์ดังรูปด้านขวา

และได้ทำการทดลองวัดค่าความเข้มของ

กลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกที่ทิศทางต่าง ๆ ตามรูป

จะได้ความสัมพันธ์รังสีเอกซ์ขาเข้าและขาออก เป็น

0.2I0

0.3I0

I0

0.4I0

0.1I0

0.4I0

0.5I0

0.1I0

0.3I0


ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์

จัดรูปสมการใหม่จะได้


ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ (ต่อ)

เห็นได้ว่าในกรณีทั่ว ๆ ไปที่ตัวกลางมีความยาวแต่ละช่วงไม่คงที่ สมการเมตริกซ์จะเป็นดังนี้

ดังนั้น โดยหลักการค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนทั้ง 16 ค่า สามารถหาได้จากการแก้สมการเมตริกซ์ดังกล่าว


การแก้สมการเมตริกซ์ (ต่อ)

การแก้สมการเมตริกซ์ที่กล่าวมาแล้วสามารถกระทำได้หลายรูปแบบ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาค่าจากวิธี Inverse method โดย

µ = A-1b

อย่างไรก็ดี วิธีดังกล่าวมีข้อจำกัดของการหา inverse ของเมตริกซ์ A ซึ่งโดยปกติ rank(A) จำเป็นต้องมีค่าเท่ากับจำนวนตัวแปรของเวคเตอร์ µ

จะเห็นได้ว่าวิธีดังกล่าวอาจไม่สามารถใช้ได้ในทางปฏิบัติ ดังที่โจทย์ปัญหาตัวอย่างที่ตั้งขึ้น เนื่องจากมีรังสีเอกซ์ที่ทำการทดลองเพียง 8 เส้นรังสี ทำให้ได้เพียงแค่ 8 สมการความสัมพันธ์ หรือ rank(A) < 16

การแก้ปัญหาดังกล่าวจึงต้องการอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined


Algebraic reconstruction technique art
เทคนิคการสร้างข้อมูลคืนทางพีชคณิต (Algebraic Reconstruction Technique: ART)

I0

เป็นเทคนิคที่ถูกนำมาใช้ในการคำนวณ

ระบบสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined

ของโจทย์ปัญหารังสีเอกซ์ดังกล่าวด้วยวิธีวนซ้ำ

(iterative algorithm)

0.2I0

0.3I0

I0

0.4I0

0.1I0

0.4I0

0.5I0

0.1I0

0.3I0


หลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนหลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน

หลักการวนซ้ำสำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน จะสมมติค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นค่าตั้งต้น จากนั้นจะมีกระบวนการในการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดตามข้อมูลรังสีเอกซ์ทุกทิศทางไปเรื่อย ๆ โดยในการปรับปรุงแต่ละรอบจะสามารถคำนวณความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดเพื่อเปรียบเทียบกับความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกที่วัดจากโจทย์ได้ กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนวณได้ให้ความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดน้อยกว่าค่าหนึ่งที่ต้องการ


ART1: หลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนกำหนดค่าเริ่มต้น

  • กำหนดค่าเริ่มต้นของเวคเตอร์สัมประสิทธิ์ให้เป็นศูนย์ทั้งหมด

  • ในที่นี้ เพื่อความเข้าใจระยะความยาวของตัวกลาวแต่ละช่วงกำหนดให้เป็น 1 หน่วย (x = 1)

    ***ในกรณีทั่วไปค่าสัมประสิทธิ์ใน A จะเปลี่ยนแปลงตามค่าระยะความยาวของตัวกลางด้วย


ART2: หลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี

  • เลือกกลุ่มทิศทางของรังสีเอกซ์เดียวกันมาหนึ่งทิศทาง (ในที่นี้เลือกแนวนอนก่อน)

  • ทำการปรับปรุง(update) ค่าสัมประสิทธิ์จากค่าที่สมมติไว้ โดยอาศัยหลักการที่ว่า “ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของตัวกลางที่รังสีเอกซ์เส้นเดียวกันจะถูกปรับปรุงด้วยค่าที่เท่ากัน”ในที่นี้ เลือกรังสีI1เป็นตัวอย่าง หากคำนวณค่าปรับปรุงได้เป็น ∆μ1 ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีแถวแรกจะถูกปรับปรุงเป็น

    μ1 → μ1 + ∆μ1

    μ2 → μ2 + ∆μ1

    μ3 → μ3 + ∆μ1

    μ4 → μ4 + ∆μ1

0.2I0 → I1

0.3I0→ I2

0.4I0→ I3

0.1I0→ I4

0.4I0

0.5I0

0.1I0

0.3I0


ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์

ดังนั้น เมื่อประยุกต์หลักการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว เข้าจะทำให้การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์จากรังสีเอกซ์แถวแรกเป็น


ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์

ต่อมา แทนค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่สมมติเบื้องต้นเป็นศูนย์ ดังนั้นในรอบแรกของการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าปรับปรุงในทิศ I1 จะมีค่าเท่า ๆ กันโดยมีค่าเท่ากับ

ใช้วิธีเดียวกันคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงกับรังสีเอกซ์ในทิศทางเดียวกันที่เหลือ I2, I3, และI4 ได้เป็น ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ตามลำดับ


ART2: ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี

  • หลังจากคำนวณค่าปรับปรุงของสัมประสิทธิ์ในทิศทางที่เลือกไว้แล้ว ให้นำค่าเหล่านี้กลับไปปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกับรังสีเอกซ์ทิศนั้น ๆ ดังนั้นจึงนำค่า∆μ1, ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ไปบวกเข้ากับ μ ของรังสี I1, I2, I3, และI4 ตามลำดับ

0.2I0 → I1

0.3I0→ I2

0.4I0→ I3

0.1I0→ I4


ART2: ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี

  • หลังจากปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทาง I1, I2, I3, และI4 จะมีค่าเท่ากับค่าที่ให้ในโจทย์เสมอ ดังนั้นให้คำนวณค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทางของรังสีที่เหลือคือ I5, I6, I7, และI8 ซึ่งจะไม่ตรงกับค่าความเข้มรังสีขาออกตามที่โจทย์ให้ และคำนวณความผิดพลาดของความเข้มรังสีขาออกโดยเฉลี่ยจากทุกทิศทาง

0.2I0 → I1

0.3I0→ I2

0.4I0→ I3

0.1I0→ I4

0.22I0

0.22I0

0.22I0

0.22I0


การคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกการคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออก

  • คำนวณโดยใช้ค่าความผิดพลาดยกกำลังสองที่ต่ำที่สุดต่อหนึ่งหน่วยเซล หรือพิกเซล (Minimized Square Error per pixel) ดังนี้

    MSE/pixel = [(0.2I0– 0.2I0)2 + (0.4I0– 0.4I0)2 + (0.3I0– 0.3I0)2 + (0.1I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.3I0)2 + (0.22I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.5I0)2 + (0.22I0– 0.4I0)2 +] / 8

    MSE/pixel = 0.0325I02


ART2: การคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี

  • หากค่าความผิดพลาดยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ทำการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ด้วยวิธีเดียวกัน กับกลุ่มรังสีเอกซ์ในทิศทางถัดไป ในที่นี้คือกลุ่มรังสี I5, I6, I7, และI8 ซึ่งอยู่ในกลุ่มทิศแนวดิ่งเดียวกัน (หากมีกลุ่มรังสีที่มีทิศทางมากกว่าสองทิศทางให้แบ่งการปรับปรุงเป็นกลุ่ม ๆ ตามลำดับใดก็ได้)

    MSE/pixel = 0.005I02

0.25I0

0.38I0

0.5I0

0.12I0

0.4I0

0.5I0

0.1I0

0.3I0


ART2: การคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี

  • คำนวณความผิดพลาดโดยเฉลี่ยใหม่ หากยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ย้อนกลับไปเริ่มปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในทิศที่เคยทำมาแล้ว (ตามลำดับเดิมที่เคยได้ทำมาตั้งแต่ข้อ 1) กระทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนค่าความผิดพลาดเฉลี่ยอยู่ในระดับที่น้อยมาก จึงหยุดการคำนวณและถือว่าค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้เป็นคำตอบของตัวกลางดังกล่าว


แบบฝึกหัดการคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออก

  • จงประยุกต์ใช้ ART ตามที่ได้อธิบายมาแล้วกับการทดลองวัดรังสีเอกซ์ในทิศทางต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง โดยให้แสดงผลลัพธ์ของเมตริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้จากการปรับปรุงด้วยอัลกอริทึม ART ภายหลังจากค่า MSE/pixel มีค่าน้อยกว่า 0.00001I02และ plot กราฟค่า MSE/pixel เทียบกับจำนวนรอบ (iteration) จนกระทั่งอัลกอริทึม ART จบการคำนวณ

I0

0.2I0

0.3I0

I0

0.4I0

0.1I0

0.4I0

0.5I0

0.1I0

0.3I0


ad