第十章
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第十章. 能 量 法. 工程实例. 工程实例. 工程实例. 工程实例. 工程实例. 工程实例. 工程实例. 本章要点. ( 1 )莫尔定理的推导和应用 ( 2 )卡氏定理的应用 ( 3 )图乘法原理. 重要概念. 变形能、莫尔定理、卡氏定理、单位力、虚位移、虚力. 目录. §10-1 概 述. §10-2 杆件变形能的计算. §10-3 莫尔定理. §10-4 图形互乘法. §10-5 卡氏定理. §10-6 功的互等定理和位移互等定理. §10-1 概 述. .上册总结:. 二.本节课所要学习的主要内容及中心内容:.

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Presentation Transcript

第十章

能 量 法









本章要点

(1)莫尔定理的推导和应用

(2)卡氏定理的应用

(3)图乘法原理

重要概念

变形能、莫尔定理、卡氏定理、单位力、虚位移、虚力


目录

§10-1 概 述

§10-2 杆件变形能的计算

§10-3 莫尔定理

§10-4 图形互乘法

§10-5卡氏定理

§10-6 功的互等定理和位移互等定理


§10-1 概 述

  • .上册总结:

二.本节课所要学习的主要内容及中心内容:

1.能量法的概念

2.杆件变形能的计算

3.莫尔定理—— 一种具体的能量方法(本节课的中心内容)


1. 功能原理——W=U

物理意义:弹性体在变形的过程中,外力所做的功全部

转化为储存于弹性体内部的变形能。

2. 能量法——从能量的角度出发,利用功能原理来求解弹

性体变形的方法,即:

变形

能量

三.基本概念:

目录


(1)由于本课位于第二册之首,因此在学习之前对上册进

行简单总结,同时,在总结过程中可自然地引出该章内容。

(2)在阐述功能原理的过程中,必须强调:在功能的转化

过程中,还会有动能的损失,还会产生热能等其它形式的能量

,但由于这些能量同变形能相比,是很小的,故在一般情况下

可以忽略不计,而近似地认为W全部地转化成了U。

(3) 在分析了功能原理和能量法的概念之后,应该指出能

量法的实质,并合乎情理的引出下节内容。


轴向拉压变形

——复习内容。

§10-2 杆件变形能的计算

  • .轴向拉压变形能的计算:


2.

微元法

:微量

相对于

的影响。

而言很小,忽略

(图二)

近似的被看成N=常量的等直杆,从而可用公式

微段

——计算微段内的变形能

图二

方法:微元法


令微段内的变形能为du,则:

——重点学习内容


1

2.

(图三)

(变量)(图四)

——学习内容

扭转变形

方法:微元法。

——复习内容

图三

图四

二.扭转变形能的计算:


三.弯曲变形能的计算:

2.

〈注:其中

(图五)

的角标可略〉

(图六)

1.

——复习内容

图五

受力作用

图六

方法:微元法

——学习内容


4.由于

三种情况下

变形能的计算方法都是一样的,故在此只需对

的情况做细致的讨论,后面两种情况可一带而过,无须多讲。

  • 3.在讨论变形能的计算问题之前,应首先强调:杆件的变 形能

  • 可以分为两种情况:

    内力=常量

    内力=变量

  • 对于内力=常量的情况在第2,3,7三章已经分别研究过。

  • 在本节课上只做简单复习,而着重的讨论内力=变量的情况。

目录


其中:

一.定理:

f —— 线位移

§10-3 莫尔定理

——计算挠度的莫尔定理

——在原始载荷P1、P2、P3作用下,X截面弯矩。

——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具

——在预加单位载荷P0=1 作用下,X截面的弯矩。


图七


时,剪力的影响相对

故可略而不计,而近似地认为梁的

于弯矩的影响来说是很小的,

的影响而产生的。

变形都是由于

  • 在研究莫尔定理之前,首先应明确:在这一章中,我们将学习两种能量方法:1,莫尔定理。2,卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且,在变形能概念的基础上来研究莫尔定理。


—— <a>

图八

—— <b>

图七

二.定理证明:

1.在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下,梁内变形能U

2.在P0=1单独作用下,梁内变形能U0


P1、P2、P3……作用下:

3. 采用先加P0=1,然后再加P1、P2、P3…..的加载方

式时,梁内的变形能

——<c>

P0作用下:

——<b>

图七


图七

图九


4. 采用将P0、(P1、P2、P3……)同时作用于梁上的加

载方式时X截面弯矩:

  • 在产生 f变形过程中,P0做功:

——<d>

——转变成变形能储存于弹性体中,从而可求出梁

内最终所储存的总变形能

——根据叠加原理


  • 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

    上是图六的计算简图,因此,此时梁内的变形能仍应为:

  • 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所改变,因此得出:由于P1、P2、P3…的作用,C点产生的位移

产生的变形能也应等于图七情

应等于f;

况下梁内的变形能。即<c>式。

  • 在进行第二步计算之前应明确:弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关,而与加载方式无关;基于这个道理,在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下,变形能的情况。


4.根据变形能与加载方式无关的道理得: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

——计算挠度的莫尔定理

5.推论:同样的道理,如果我们要求截面的转角,也只需在C截面上施加一个单位力偶,用上述同样的方法可求出:


三.总结: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

四.应用举例:

例1:如图所示:简支梁AB,跨长为L,抗弯刚度为

——计算转角的莫尔定理

。其上受均布载荷作用,载荷集度为q,试求出梁跨中点C的

挠度

1.莫尔定理——单位力法

2.适用范围——线弹性结构

及端面B的转角

图九


解: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质〈一〉求支反力RA,RB

〈二〉求

由对称性:


  • 对于 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质对称结构,在求其某一具体物理量的数值时,只需取其

    一个对称部分来进行计算,其结果再乘以对称部分的个数即可。

    如图十,可沿梁中截面将梁分为两个对称部分,因此

可写成左边的形式。

  • 在材料力学中,由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形,因此,在接到问题,了解了已知条件和要求解的问题之后,紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然,图十为一对称结构。


2 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质.

中的正负号所表示的含义:

,在

  • 为了区别

中的

改写

中的

的形式。

“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。

“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。

例题总结:

1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中,可以看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移,只需在该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截面的转角,也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。


五.莫尔定理在平面曲杆的应用: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆,其弯曲正应力分布规律接近于直梁,如再省略轴力和剪力的影响,可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式:

(10-12)

为了表示出这两种含义,最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位移方向。

注意:

上述内容为一节课(50分钟)内容。整个板面应控制在两个板面左右,以提高“讲”的效果。


式中 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质:S ——代表曲杆轴线的弧长

——载荷作用下,曲杆横截面上的弯矩

——单位力或力偶作用,曲杆横截面上的弯矩

(计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业,请大家课后将它推导出来)

目录


§10-4 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质图形互乘法

在应用莫尔定理求位移时,需计算下列形式的积分:

对于等直杆,EI=const,可以

提到积分号外,故只需计算积分。

直杆的M0(x)图必定是直线或折

线。


  • 顶点 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

  • 顶点

  • 二次抛物线


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—2:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—3:试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—4:试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—5:试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—6:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—7:试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—8:图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求:

(1)集中力作用端挠度为零时的X值;

(2)集中力作用端转角为零时的X值。

解:


例9:图示梁的抗弯刚度为 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质EI,试求D点的铅垂位移。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—10:图示梁的抗弯刚度为EI,试求D点的铅垂位移。


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—11:图示开口刚架,EI=const。求A、B两截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的相对线位移 ΔAB 。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—12:用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。

目录


一.定理: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

对于线弹性结构,变形能对任一外力

的偏导数,

作用点沿

方向的

位移,即:

等于

作用下)

式中:U——弹性体内的变形能(在P2…

——作用在弹性体上一组外力P1、P2…

中,作用在n点处的外力.

——对应于

所发生的n点沿

方向的位移。

§10-5卡氏定理


如图所示: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

为作用于弹性体上的一组载荷,

P1、P2…

而假想

为我们为了求解问题的需要,

在此称为原始载荷。

地施加于弹性体上的一微小增量,其作用方向及作用位置与

相同。

1.在原始载荷作用下(

P1、P2…

作用下)的变形能。令此

两种情况下的变形能为

后,

方向施加

2.在原始载荷作用的基础上,在n点沿

,则变形

弹性体的变形能,由于

处施加了一增量

能U也应产生一增量

故此时弹性体内的变形能应

为:

<a>

二.定理证明:


增加载荷 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

原始载荷

弹性体

卡氏定理


P 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质1、P2…

P1、P2…

P1、P2…

3.先作用

。由于的作用,

而后作用

弹性体内所产生的变形能为:

的作用过程中,由

对弹性体的作用效果并

不因先前作用了

而有所改变, 同时由于 在这一过程中

始终作用在弹性体上,因此该过程中,弹性体内再次

,而总的变形能应为:

产生的变形能应为:

<b>

由<a>=<b>可得:


  • 横力弯曲梁: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

变形能:

略去二阶微量:

,求得:

——卡氏定理。

三.卡氏定理的应用


变形能: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

变形能:

2.平面曲杆(截面高度远小于轴线曲率半径)

3.桁架:


注: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质上述公式中,

为力偶时,

为集中力时,

则为线位移,

分别指广义位移和广义力,即:

则为一转角。

例10—13:如图所示为一外伸梁,其抗弯刚度EI已知,试

和左端截面A的转角

求外伸端C的挠度


解: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质〈一〉求支座反力及内力方程:

1.支反力:由

AB段:

BC段:

2.弯矩方程:


3.求 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

的结果为正,说明位移方向同各自处外

注:此处

力的方向一致。

解:〈一〉在梁的自由端截面处作用附加力

如图:

举例说明卡氏定理的附加力法:

例14:如图所示为一悬臂梁,其抗弯刚度EI为已知,试求自由端截面的垂直位移及截面转角。


〈二〉求 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

此时,


  • 讨论: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质当我们所要求其位移的截面处无集中力作用时,或所要

    求其转角的截面处无集中力偶作用时,为了能够使用卡

    氏定理解 题,我们可以在上述位置处作用上附加力

和附加力偶

然后按照卡氏定理求出结果,并在结果

中令

即可。

目录


  • .定理: 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

1.

缓慢地按相同的比例增加地作用在梁上,如图

——功的互等定理

<c>所示,在线弹性范围之内的情况下,梁内的变形能应为:

——位移互等定理

——<1>

§10-6 功的互等定理和位移互等定理

二.定理证明:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质a

图b

图d

图c


2. 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质按照先作用

方向的位移

作用下,2点沿

方向的位移

3.由于梁内的变形能与加载方式是无关的,故

的方式施加载荷,根据

后作用

作用下,1点沿

——

——

即:

证明莫尔定理同样地道理,可得;梁内的变形能应为:

——<2>


4 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质.在

——功的互等定理

时:

——位移互等定理


例10 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质—15:试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由

端B的挠度。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—16:试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的

挠度。

解:


在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—17:试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原

理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。

解:


F 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质

A

B

L

思考题10—1:轴线为半圆形的平面曲杆,作用于A端的集中

力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位

移。已知GIp、EI为常量。

思考题10—2:试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的

挠度和转角。


思考题 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—3:计算图(a)所示开口圆环在 P力作用下切口

的张开量 ΔAB 。EI=常数。

思考题10—4:半圆形小曲率曲杆的A端固定,在自由端作用

扭转力偶矩m,曲杆横截面为圆形,其直径为

d。试求B端的扭转角。已知E、μ。


思考题 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—5:求图示简支梁C截面的挠度。

思考题10—6:求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移ΔC。


思考题 在求U之前,应将图六和图七进行比较,即可发现图七实质10—8:已知简支梁在均布载荷q作用下,梁的中点挠度为:

求:梁在中点集中力P作用下(见图),梁的挠曲线与梁变形前的

轴线所围成的面积。

思考题10—7:长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用

,求此杆长度的伸长量。已知E和μ。

谢 谢 大 家 !

目录


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