1 / 36

PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK

PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK. OUTLINE. Himpunan Operasi Biner Hukum-hukum aljabar. Himpunan. Himpunan : suatu kumpulan obyek ( kongkrit maupun abstrak ) yang didefinisikan dengan jelas . Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan . Contoh I.1 :

jemima
Download Presentation

PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK

  2. OUTLINE • Himpunan • OperasiBiner • Hukum-hukumaljabar

  3. Himpunan • Himpunan : suatukumpulanobyek (kongkritmaupunabstrak) yang didefinisikandenganjelas. • Obyek-obyekdalamhimpunantersebutdinamakananggotahimpunan. Contoh I.1 : • 1. Himpunanbilangan 0, 1, 2 dan 3. • 2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris. • 3. Himpunan : Negara-negaraanggota ASEAN.

  4. NotasiHimpunan • Secaramatematik, himpunandapatdinyatakandengantandakurungkurawaldandigunakannotasihurufbesar. • Hal ituberarti, himpunandiatasditulissecaramatematikyaitu : 1. A = { 0, 1, 2, 3 }. 2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }. 3. C = { Negara-negara ASEAN }.

  5. Untukmembentukhimpunan, salahsatumetode yang dapatdigunakanadalahmetode Roster (tabelaris) yaitudenganmenyebutataumendaftarsemuaanggota, sepertipadahimpunanAdanBsedangkanmetodelainnyaadalahmetode Rule yaitudenganmenyebutsyaratkeanggotaannya. Sebagaicontoh, penggunaanmetode Rule adalah C = { x | xnegara-negara ASEAN }. Kalimatdibelakanggaristegak ( | ) menyatakansyaratkeanggotaan.

  6. Apabilasuatuobyekmerupakananggotadarisuatuhimpunanmakaobyekitudinamakanelemendannotasi yang digunakanadalah. • Sebaliknyaapabilabukanmerupakananggotadinamakanbukanelemen, dannotasi yang digunakanadalah. • Sebagaicontoh, jikahimpunanA = {0, 1, 2, 3 } maka 2 Asedangkan 4 A. • BanyaknyaelemendarihimpunanAdikenaldengannamabilangan cardinal dandisimbolkandengann(A). Berartipadacontohdiatasn(A) = 4.

  7. HimpunanAdikatakanekuivalendenganhimpunanBjikan(A) = n(B), danbiasadisimbolkandenganAB. • BerartijikaAdanBekuivalenmakadapatdibuatperkawanansatu-satudarihimpunanA kehimpunanBdansebaliknya. • PadacontohdiatashimpunanA = {0, 1, 2, 3 } ekuivalendenganhimpunanE = {2, 4, 6, 8}.

  8. Himpunansemesta (universal set) adalahhimpunansemuaobyek yang dibicarakan. • HimpunansemestadinotasikanSatauU. SebagaicontohjikaA ={0, 1, 2, 3} makadapatdiambilhimpunansemestanyaU = { bilanganbulat } atauU = { himpunanbilangancacah }, dll. • Himpunankosongadalahhimpunan yang tidakmempunyaianggota, dalamhalinidigunakannotasiatau { }. • Sebagaicontohjika D = { bilanganganjil yang habisdibagidua } makaD = atauD = { }.

  9. Diagram Venn : diagram untukmenggambarkansuatuhimpunanataurelasiantarhimpunan. • Himpunan yang digambarkannyabiasanyadalambentuklingkarandananggotanyaberupatitikdalamlingkarandanhimpunansemestanyadalambentukpersegipanjang. • Sebagaicontohjikadiketahuihimpunan E = { 2, 4, 6, 8 } danhimpunansemestanyaadalahhimpunanbilangangenapUdapatdigambarkandengan diagram Venn.

  10. MisalkandiketahuihimpunanAdanB. Himpunan A dikatakanhimpunanbagian (subset) jikadanhanyajikasetiapelemendariAmerupakanelemendariB. • Notasi yang biasadigunakanadalahABatau BA. NotasiAB dibacaAhimpunanbagiandariBatauAtermuatdalam B, sedangkannotasiBAdibacaBmemuatA. Contoh I.2 : Himpunan { 0 }  { 0, 1, 2, 3 } sedangkan 0  { 0, 1, 2, 3 }.

  11. Duahimpunandikatakansamajikadanhanyajikakeduanyamengandungelemen yang tepatsama. • Hal ituberartibahwaA = BjikadanhanyajikasetiapanggotaAjugamenjadianggotaBdansebaliknyasetiapanggotaBjugamenjadianggotaA. • UntukmembuktikanA = BmakaharuslahdibuktikanbahwaABdanBA. • SebagaicontohA = { 0, 1, 2, 3 } samadenganhimpunanB = { 1, 0, 2, 3 }. PerludicatatbahwahimpunankosongmerupakanhimpunanbagiandarisebaranghimpunansehinggaA.

  12. JikaAdanBhimpunanmaka A dikatakanhimpunanbagiansejati (proper subset) BjikadanhanyajikaABdanA ≠ B. • Notasi yang biasadigunakanadalahAB. Sebagaicontoh {1, 2, 4 }  { 1, 2, 3, 4, 5 }. • HimpunanA = { 0, 1, 2, 3 } bukanhimpunanbagianhimpunanG = {1, 3, 6, 8} atauAGkarenaadaanggotaA (misalnya 2) yang bukananggotaG.

  13. Dari suatuhimpunan A dapatdibuathimpunankuasa (power set) yaituhimpunan yang anggota-anggotanyaadalahhimpunanbagiandarihimpunanAdannotasi yang digunakanadalah 2A. • Sebagaicontoh, himpunanH = { 1, 2 } maka 2H= { , {1}, {2}, {1,2} }. Dalamhalinin(2H) =2n(H) = 22 = 4. • DuahimpunanAdanBdikatakansalingasingjikamasing-masingtidakkosongdanAB = . SebagaicontohhimpunanA = { 0, 1, 2, 3 } salingasingdenganhimpunanE = { 5, 6, 7, 8 }.

  14. KomplemenhimpunanAadalahsemuaanggotadalamsemesta yang bukananggotaA. NotasikomplemenAadalahAC. • Secaramatematikdapatditulissebagai AC={ x | xUdanxA }. • SebagaicontohjikaU = { 1, 2, 3,…, 10 } danA = { 3, 5, 7 } maka AC={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}. • RelasiantarahimpunanAdankomplemennyayaituACdapatdinyatakandalam diagram Venn. • DalamhaliniUC = danC = U.

  15. Gabungan(union)duahimpunanAdanBadalahsuatuhimpunan yang anggota-anggotanyaterdiriatassemuaanggotadarihimpunanAatauB. Notasi yang digunakanadalahAB. • SecaramatematikaAB = { x | x AatauxB }. Sebagaicontohjika A = { a, i, e } danB = { i, e, o, u } makaAB = { a, i, e, o, u }. • DalamhaliniberlakusifatbahwaA (AB} dan B (AB} danjugaAAC = U.

  16. Irisan (intersection) dariduahimpunanAdanBadalahsuatuhimpunan yang anggotanyaterdiriatasanggotahimpunanA yang jugamerupakananggotahimpunanB. • DalamhalinidigunakannotasiAB. SecaramatematikAB = { x | xAdanxB }. SebagaicontohjikaA = { 2, 3, 5, 7} danB ={ 2, 4, 6, 8 } makaAB ={ 2 }. • Dalamoperasiirisanberlakubahwa (AB) Adan (AB) BdanjugaAAC= .

  17. SelisihantarahimpunanAdanhimpunanBadalahanggotaA yang bukanB. • Notasi yang digunakanadalahA-B. SecaramatematikA-B = { x | xAdanxB }. • Sebagaicontohjika A = {0, 1, 2, 3} dan B = { 3, 4, 5 } makaA-B = { 0, 1, 2 }. Diagram Venn untukselisihdapatdigambarkan.

  18. JumlahanhimpunanAdanBadalahhimpunanAsajaatauhimpunanBsajatetapibukananggotaAdanB. DalamhalinidigunakannotasiA + B. • Secaramatematikdapatdinyatakansebagai A + B = { x | x (AB) tetapix (AB) }. SebagaicontohjikaA = { 1, 2, 3, 4, 5 } danB ={ 2, 4, 6 } makaA + B = { 1, 3, 5, 6 }. Diagram Venn darioperasipenjumlahandapatdigambarkan. Catatanbahwa : A + B = (AB) - (AB) atauA + B = (A - B)  (B - A).

  19. Hukumkomutatif : AB = BA, AB = BA. Bukti: KarenaAB = { x | x AdanxB } maka AB = { x | x BdanxA } = BA. KarenaAB = { x | x AatauxB } maka AB = { x | x BatauxA } = BA.

  20. Hukumassosiatif: A (BC) = (AB) C, A (BC) = (AB) C. Hukumidempoten: AA = A, AA = A.

  21. Hukumdistributif : A (BC) = (AB)  (AC), A (BC) = (AB)  (AC). Hukum de Morgan : (AB)c = AcBc, (AB)c = AcBc. JikaABmakaAB = AdanAB = B.

  22. Himpunanbilangan Himpunanbilanganasli (natural number) N = { 1, 2, 3, 4, 5, …. }. Himpunanbilangan prima (prime number) P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }. HimpunanbilangancacahC = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }. Himpunanbilanganbulat (integer) Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, …. }. Himpunanbilangan real (real number) Radalahhimpunan yang memuatsemuabilangananggotagarisbilangan. Himpunanbilanganrasional (rational number) Q = { a/b | a, bZdanb 0 } HimpunanbilanganirrasionalR – Q = Qc = { xR | xQ }.

  23. OperasiBiner Definisi I.1 • MisalkanAhimpunantidakkosong. • Operasibiner * padaAadalahpemetaandarisetiappasanganberurutanx, ydalamAdengantepatsatuanggotax * ydalamA. • HimpunanbilanganbulatZmempunyaiduaoperasibiner yang dikenakanpadanyayaitupenjumlahan (+) danpergandaan (.). • DalamhaliniuntuksetiappasanganxdanydalamZ, x+ydanx.ydikawankansecaratunggaldengansuatuanggotadalamZ.

  24. Operasibinermempunyaiduabagiandaridefinisiyaitu: • terdefinisikandenganbaik (well-defined) yaituuntuksetiappasanganberurutanx, ydalamAdikawankandengantepatsatunilaix*y. • A tertutupdibawahoperasi * yaituuntuksetiapx, ydalamAmakax*ymasihdalamA.

  25. Contoh I.3: • DiketahuiNhimpunansemuabilanganbulatpositif. • Didefinisikan * denganaturanx*y = x-y. • Karena 3, 5 dalamNdan 3*5 = 3-5 = -2 tidakberadadalamNmakaNtidaktertutupdibawahoperasi * sehingga * bukanoperasibinerpadaN.

  26. Contoh I.4: • Didefinisikanoperasi # denganaturanx # y = x +2ydenganx, ydalam N = {1, 2, 3, … }. • Akanditunjukkanbahwa # merupakanoperasibiner. • Jelasbahwa # terdefinisikandenganbaikkarenarumusx+2ymemberikanhasiltunggaluntuksetiapx, ydalamN. • Untuksebarang x, ydalamNmakajelasbahwax+2ymasihmerupakanbilanganbulatpositif. • Lebihjauh 2y + x > 0 jikax > 0 dany > 0. • Berartihasildarix+2ymasihmerupakanbilanganpositifdanakibatnyaN tertutupdibawahoperasi #.

  27. Ferry K (math 2003, University of Twente)

  28. Hukum-hukumAljabar • Suatusistimaljabarterdiridarihimpunanobyekdengansatuataulebihoperasi yang didefinisikanpadanya. Bersamadenganhukum-hukum yang dibutuhkandalamoperasi. Definisi I.2 Misalkan * operasibinerpadahimpunanA. (1) operasi * assosiatifjika (a*b)*c = a*(b*c) untuksemuaa, b, cdalamA. (2) operasi * komutatifjikaa*b = b*auntuksemuaa, bdalamA. Dalampembahasanselanjutnyahukum-hukumdasaraljabaruntukpenjumlahandanpergandaan yang didefinisikanpadabilanganbulatZdanbilangan real Rsebagaiaksioma (axioms) yaituditerimatanpabukti.

  29. Contoh I.5: • Operasi * didefinisikanpadahimpunanbilangan real R dengana*b = (1/2)ab. • Akanditunjukkanbahwa * assosiatifdankomutatif.

  30. UntukselanjutnyadalamtulisaniniR2 dimaksudkanhimpunansemuapasanganberurutandaribilangan real R2 = { (a,b) | a, bdalamR }. Contoh I.7: • Misalkanmempunyaiaturan (a,b)  (c,d) = (a+c, b+d). • AkanditunjukkanbahwaR2tertutupdibawahoperasi . • Untuksebarang (a,b) dan (c,d) dalamR2 berlaku (a,b)  (c,d) = (a+c,b+d) dengana+cdanb+ddalamRsehingga (a+c,b+d) dalamR2. • Olehkarenaituhasilnyamerupakanpasanganberurutandantertutupdibawahoperasi.

  31. Definisi I.3: • < A,* > memenuhihukumidentitasasalkanA mengandungsuatuanggotaesehinggae*a = a*e = auntuksemuaadalamA. AnggotaA yang mempunyaisifatdemikiandinamakanidentitasuntuk < A,* >. • < A, * > memenuhihukuminversasalkanAmengandungsuatuidentitaseuntukoperasi * danuntuksebarangadalamAterdapatsuatuanggotaadalamA yang memenuhia*a = a*a = e. • Elemena yang memenuhisifatdiatasdinamakaninversdaria.

  32. Sebagaicontoh, Zmengandungidentitas 0 untukoperasipenjumlahandanuntuksetiapadalamZ, anggota –amemenuhia+(-a) = (-a)+a = 0 sehinggaamempunyaiinversterhadapoperasipenjumlahandan < Z, + > memenuhihukuminvers. • Di sampingituZmengandungidentitas 1 terhadapoperasipergandaantetapiZtidakmengandunginversterhadappergandaankecuali 1 dan -1.

  33. Untukmembuktikanhukumidentitasdilakukandenganmendugaanggotatertentu e dalamhimpunan yang berlakusebagaiidentitasdankemudianmengujiapakah e*a = a dan a*e = a untuksebarang a dalamhimpunan. • Untukmembuktikanhukuminversdilakukandengansebaranganggota x dalamhimpunan yang mempunyaiidentitas e danmendugainversdari x yaitu xdalamhimpunandankemudianmengujiapakah x*x = e dan x*x = e.

  34. Contoh I.8: • BilaoperasididefinisikansepertipadaContoh I.6 makaakandibuktikanbahwahukuminversdanhukumidentitasberlaku. • Didugabahwa (0,0) merupakananggotaidentitas. • Karenauntuksebarang (a,b) dalamR2berlaku (0,0)+(a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b) dan (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b) maka (0,0) identitasdalamR2. • Biladiberikansebarang (a,b) dalamR2 makaakanditunjukkan (-a,-b) dalamR2merupakaninversnya. Karena –adan –bdalamRmaka (-a,-b) dalamR2. Lebihjauhlagi, (a,b)  (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan (-a,-b)  (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0) sehingga (-a,-b) merupakaninversdari (a,b) dalamR2 .

  35. Mega math’2005 KGU Japan

More Related