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Variable aléatoire, estimation ponctuelle et par intervalle

Variable aléatoire, estimation ponctuelle et par intervalle. Professeur E. Albuisson > CHU et Faculté de Médecine. ECHANTILLON(S). Position du problème. Ce que l’on souhaite connaître. POPULATION CIBLE. Ce que l’on connaît (disponible, construit ou imposé).

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Variable aléatoire, estimation ponctuelle et par intervalle

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  1. Variable aléatoire, estimation ponctuelle et par intervalle Professeur E. Albuisson >CHU et Faculté de Médecine

  2. ECHANTILLON(S) Position du problème Ce que l’on souhaite connaître POPULATION CIBLE Ce que l’on connaît (disponible, construit ou imposé)

  3. Comment obtenir un (ou des) échantillon(s) représentatif(s) de la population cible? Représentativité ? POPULATION CIBLE

  4. Représentativité ? POPULATION CIBLE CET ECHANTILLON EST-IL REPRESENTATIF DE LA POPULATION CIBLE?

  5. « Photographie en réduction » de la population cible Equiprobabilité pour chaque individu de la population d’en faire partie. Le tirage au sort est la meilleure méthode pour garantir cette équiprobabilité Equilibrer lescaractères connus et les caractères inconnus Sinon BIAIS avec des résultats (ex: différences constatées) non extrapolables à la population cible. OBTENIR UN (DES)ECHANTILLON(S) REPRESENTATIF(S) ?

  6. Application qui, munie de son argument, permet de connaitre le résultat d’une expérience (épreuve) aléatoire. Ex: Variable aléatoire entière: Application X de Ω dans E qui à ω fait correspondre X(ω). (ex: X correspond à la lecture de la face supérieure d’un dé après le lancé du dé avec X ( face supérieure obtenue ) = 1) Ex: Variable aléatoire réelle: Application Y de Ω dans R qui à ω fait correspondre Y(ω). (ex: Y correspond au dosage de la glycémie avec Y (patient nommé Martin)= 0.90 g/l) Xω) Y(ω) ω ω Ω E Ω R Variable aléatoire X Y

  7. La variable aléatoire permet d’obtenir une valeur mais elle n’est pas cette valeur (X=3). En conséquence, les variables aléatoires (les applications) seront notée en lettres majuscules : X, M, S,…et leurs réalisations (les valeurs prises par l’application une fois celle-ci munie de son argument ) en lettres minuscules: x, m, s, … (ex: La réalisation de X est X(ω)=x=1) Variable aléatoire

  8. LA DIFFERENCE AU SENS STATISTIQUE. A QUEL NIVEAU SE POSER LA QUESTION ? Population 1 Population 2 ECHANTILLON 1 Effectif n1 Valeur observée sur l’échantillon: 47 ECHANTILLON 2 Effectif n2 Valeur observée sur l’échantillon: 61

  9. …SE POSENT AU NIVEAU DES POPULATIONS+++ LES COMPARAISONS SE SITUENT AU NIVEAU DES POPULATIONS… …ET PAS DES ECHANTILLONS (Même si les statistiques des échantillons sont utilisées en pratique) DEUX INTERROGATIONS MAJEURES: 1/LA DISTRIBUTION DU CRITERE (VARIABLE X ETUDIEE) En particulier distribution normale? 2/LA VARIABILITE DU CRITERE (VARIABLE X ETUDIEE) LA STATISTIQUE INFERENTIELLE LES HYPOTHESES…

  10. 1/ LE BUT DE L’ETUDE ? 2/ DEFINIR LA POPULATION CIBLE 3/ CHOIX DU (DES) CRITERE(S) PERTINENCE/BUT, OBJECTIVITÉ 4/DISTRIBUTION DU (DES) CRITERE(S) ET VARIABILITE DU (DES) CRITERE(S) Démarche

  11. 1/EQUILIBRE DE L’HTA  SOUS TRAITEMENT A  ? 2/ HYPERTENDUS 3/ PRESSION ART. SYSTOLIQUE PRESSION ART. DIASTOLIQUE TRIGLYCERIDES DISTRIBUTION DE LA P.A.S. ? VARIABILITE DE LA P.A.S. ? DISTRIBUTION DE LA P.A.D. ? VARIABILITE DE LA P.A.D. ? DISTRIBUTION DES TRIGLYCERIDES ? VARIABILITE DES TRIGLYCERIDES ? Démarche (exemple)

  12. 1/ QUALITATIF DISTRIBUTION EFFECTIFS, POURCENTAGES 2/ QUANTITATIF DISTRIBUTION NORMALE (SYMETRIQUE) : MOYENNE ARITHMETIQUE,VARIANCE (ECART-TYPE) DISTRIBUTION NON NORMALE (NON SYMETRIQUE) MOYENNE ARITHMETIQUE, MEDIANE, MIN, MAX. Distribution du (des) critère(s)

  13. Moyenne +/- 1 (table : 0,994) 68,0% Moyenne +/- 2 (table : 1,96 ) 95,0% Moyenne +/- 3 (table : 3) 99,7% -3 - + +3 0 -2 +2 ATTENTION AUX ORDRES DE GRANDEUR DES ECARTS A LA MOYENNE

  14. -3 - + +3 δ -2 +2 ATTENTION AUX VALEURS IMPOSSIBLES !! 0

  15. Théorème Central Limite (TCL) Quelle que soit la distribution d’une variable aléatoire X sa moyenne M sur un échantillon de taille n suit asymptotiquement (pour n infini) une loi normaleN (μ , ) Standard Error = SE = = écart type de la moyenne Asymptotique (pour n infini!)… en fait dés n = 30 (‘grand’ échantillon)

  16. Soit la somme : Sn = X1 + X2 + X 3 + …+ Xn Avec X1, X2, X 3, …, Xn étant n variables aléatoires, indépendantes, de variance finie Si n  infini Alors Sn loi normale Quelle que soit la loi des Xi Théorème central limite Généralisation

  17. DU SUJET LUI-MEME Interaction(s) …Sujet, Pathologie , Traitement, Environnement, Temps,… DE LA MESURE Précision de la mesure, Expérience REPRODUCTIBILITE DE LA MESURE Stabilité de l’instrument de mesure, expérience Référence (ex : lot témoin) VARIABILITE

  18. MOYENNE ARITHMETIQUE (échantillon) VALEURS xi réalisations de la variable aléatoire X dans l’échantillon n VALEURS Effectif de l’échantillon

  19. VARIANCE D’ECHANTILLON VARIANCE = MOYENNE DES CARRES DES ECARTS A LA MOYENNE s: ECART TYPE ou Standard deviation (SD)

  20. VARIANCE D’ECHANTILLON AUTRE FORMULATION DE LA VARIANCE D’ECHANTILLON = MOYENNE DES CARRES - LE CARRE DE LA MOYENNE (FORMULATION PLUS PRATIQUE POUR LES CALCULS)

  21. NOTATIONS POUR MOYENNE ET VARIANCE

  22. Un estimateur Dn du paramètre δ est SANS BIAIS  si E(Dn)= δ Un estimateur Dn du paramètre δ est CONVERGENT  si E(Dn – δ)² tend vers 0 quand n tend vers l’infini La moyenne arithmétique M est un bon estimateur de μ car SANS BIAIS et CONVERGENT Ex: SANS BIAIS E(Mn ) = E ( ) = E ( X1+X2+X3+…Xn ) = (E(X1)+E(X2)+E(X3)+…E(Xn)) = n μ = μ QUALITES D’UN ESTIMATEUR

  23. QUALITES D’UN ESTIMATEUR La variance est-elle un bon estimateur de σ² ? SANS BIAIS ? E(S²n ) = …. = Estimateur biaisé La variance S²n n’est pas un bon estimateur de σ² Nécessité d’une correction Cette expression corrigée par n/(n-1) est un bon estimateur de σ²

  24. NOTATIONS POUR MOYENNE ET VARIANCE

  25. ESTIMATION PONCTUELLE Population ------------- μ ------------- μ1 μ2 μ3 μ4 k échantillons μ5 μ6 . . . μk PLUS ni PLUS μi = mi sera proche de μ ESTIMATION PONCTUELLE Population ------------ σ² ------------- σ1² σ2² σ3² k échantillons σ4² σ5² . . . σk² PLUS ni PLUS σi² = sera proche de σ² Interprétation graphique moyenne variance

  26. ESTIMATION PONCTUELLE Population ------------ П ------------ П1 П2 П3 П4 k échantillons П5 П6 . . . Пk PLUS ni PLUS Пi = pi sera proche de П Π est le paramètre de la population Π est l’estimation ponctuelle de Π Π = p avec p étant le pourcentage observé sur l’échantillon Interprétation graphique proportion (variable qualitative)

  27. Dire qu’un estimateur représente un paramètre Quel est le risque de se tromper en disant cela ? Quel est le risque acceptable de se tromper en disant cela ? L’effectif ne suffit pas. Notion de risque de première espèce : Le risque α Risque de première espèce ou risque α Risque choisi à 5 % sauf Indication contraire Risque acceptable : Convention, Contexte Ce que l’on dit Réalité  : VraiFaux 1- αα La confianceLe risque Notion de risque dans l’estimation

  28. L’estimation du paramètre par un intervalle L’intervalle de confiance (1- ) Symétrique (en général) de part et d’autre de l’estimateur ponctuel Exemple pour la moyenne arithmétique: [----μ----] Comment tenir compte de ce risque ?

  29. Il faut connaître : La nature et la distribution de la variable Le risque α consenti : (1- α) de confiance Il faut obtenir L’estimateur ponctuel du paramètre (calcul sur l’échantillon) La variance de (l’estimateur - le paramètre) en utilisant un (autre) paramètre ou en utilisant l’estimateur ponctuel de ce (ou cet autre) paramètre calculé sur l’échantillon Estimation par intervalle (de confiance) d’un paramètre

  30. Variable quantitative X (ex : dosage) de distribution normale N (μ , σ) Le risque α consenti (5%) donne 95% de confiance Il faut obtenir L’estimateur ponctuel du paramètre ( μ = m avec m calculée sur l’échantillon) La variance de (M – μ) soit en utilisant le paramètre σ² si il est connu soit en utilisant son estimation ponctuelle avec s² calculée sur l’échantillon. Estimation par intervalle (de confiance) de la moyenne μ

  31. Principe général pour le calcul de l’intervalle de confiance S’intéresser à la différence : D = L’estimateur - le paramètre LA CENTRER (- sa moyenne) ET LA REDUIRE (div. par son écart-type)

  32. CALCUL DE L’INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNE μ Différence : (M – μ) Sa moyenne : E(M- μ) = E(M) – E(μ) = E(M) – μ = μ – μ = 0 Sa variance : Var(M - μ) = Var(M) + Var(μ) = Var(M) + 0 = + 0 =

  33. La différence M-μsuit une loi normale N (0, ) Si σ² connue On a la probabilité (1- α) pour que Loi Normale

  34. Réalisation sur un échantillon : L’estimation par intervalle de μ est : Conditions: M suit une loi normale σ² connue

  35. Sur un échantillon de 35 sujets, on a dosé une substance sérique. On observe une moyenne m = 24 UI/l On sait par la littérature : article de référence σ² = 14 (UI/l)² Quel est l’intervalle de confiance à 95% de μ ? ( Table: uα = 1.96 pour =5% ) En appliquant les formules précédentes, on obtient: 24 – 1.96 = 22.76 UI/l 24 + 1.96 = 25.24 UI/l Il y a 95 chances sur 100 pour que : 22.76 UI/l ≤ μ ≤ 25.24 UI/l Exemple

  36. La différence M-μsuit une loi normale N (0, ) Si σ² inconnue On a la probabilité (1- α) pour que avec (n-1) ddl Loi de Student

  37. Réalisation sur un échantillon : L’estimation par intervalle de μ est : avec (n-1) ddl Conditions: M suit une loi normale

  38. Sur un échantillon de 17 sujets, on a dosé une substance sérique. (Loi normale). On observe une moyenne m = 24 UI/l et une variance s² = 19 (UI/l)² Quel est l’intervalle de confiance à 95% de μ ? (Table tα,16 ddl = 2.12) En appliquant les formules précédentes, on obtient: 24 – 2.12 = 21.69 UI/l 24 + 2.12 = 26.31 UI/l Il y a 95 chances sur 100 pour que : 21.69 UI/l ≤ μ ≤ 26.31 UI/l Exemple

  39. PARAMETRE (VALEUR VRAIE) POPULATION  ECHANTILLONS Echant 1 [ m1 ] OK Echant 2 [ m2 ] OK Echant 3 [ m3 ] Perdu Echant 100 [ m100 ]OK INTERVALLE DE CONFIANCE IC:Si =5% il y a 5 intervalles sur 100 qui ne contiendront pas 

  40. Estimation par intervalle (de confiance) de la proportion П Variable qualitative (ex : pile ou face) Le risque α consenti (5%) donne 95% de confiance Il faut obtenir L’estimateur ponctuel du paramètre ( П = p avec p calculé sur l’échantillon) La variance de (P - П) en utilisant son estimateur ponctuel calculé sur l’échantillon Var(p)= avec p calculé sur l’échantillon

  41. CALCUL DE L’INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA PROPORTION П Différence : (P – П) Sa moyenne : E(P - П ) = E(P) – E(П) = E(P) – П = П – П = 0 Sa variance : Var(P- П) = Var(P) + Var(П) = Var(P) + 0 = + 0 =

  42. La différence (P – П) suit une loi normale N (0, ) Loi Normale On a la probabilité (1- α) pour que

  43. Réalisation sur un échantillon : L’estimation par intervalle de П est : avec Borne inférieure (Binf.) = = Borne supérieure (Bsup.) Conditions: n=effectif, Binf. et Bsup. bornes de l’intervalle n Binf. ≥ 5 ; n(1-Binf.) ≥ 5; n Bsup. ≥ 5; n(1-Bsup.) ≥ 5

  44. En appliquant les formules précédentes, on obtient: = 0.29 = 0.54 Il y a 95 chances sur 100 pour que : 29 % ≤ п ≤ 54 % Sur un échantillon de 60 sujets on a observé 25 sujets porteurs du génotype G29. p = 41.7 % Quel est l’intervalle de confiance à 95% de П ? Exemple Avec 60×0.29 et 60×0.71et 60×0.54 et 60×0.46 tous ≥ 5

  45. ATTENTION DANS LA LITTÉRATURE m  ? S’agit-il de m  SD ? m  SE ? IC = m u SE ? (|u |ou |t|) La différence n’est pas négligeable

  46. ua 5 mSD mSE m t,49ddlSE ATTENTION DANS LA LITTÉRATURE m  ? Exemple : m = 5 ua n = 50 s² = 30 ua² m  SD  5  5,48 (en ua) m  SE  5  0,78 (en ua) m t,49ddlSE  5  1,53 (en ua)

  47. ATTENTION DANS LA LITTÉRATURE m  ? A noter que m  SD donne 5  5,48 soit borne inf. -0.48 borne sup. 10.48 Une valeur négative est-elle possible /contexte ? Loi normale ?

  48. Lecture critique d’articles médicaux Quelle taille pour l’échantillon ? Calcul du nombre de sujets nécessaires. POPULATION ECHANTILLON LE NOMBRE DE SUJETS NECESSAIRES (n) = f ( VARIABILITE, …) SI VARIABILITE ALORS n Conséquences dans les études cliniques Problèmes: Hétérogénéité Variabilité EFFECTIF SUFFISANT ?

  49. Précision ex: But : estimer la moyenne μ du dosage de la protéine A chez des sujets diabétiques avec une précision de ± 0.10 et avec une confiance de 95% ? On connaît σ² = 2 UI² (loi normale) Taille de l’échantillon ? Exemple: Nombre de sujets nécessaires pour avoir une précision voulue

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