Modelli di decoerenza indotta dall’ambiente in Meccanica Quantistica

1. Modelli di decoerenza indotta dall’ambiente in Meccanica Quantistica

2. Dopo la Meccanica Quantistica non relativistica sono state prodotte teorie con le quali non è possibile costruire un modello non banale; Mancano risultati e sono state elaborate poche idee (tutte qualitative) sui rapporti tra teorie a diverse scale Ad ogni scala si vorrebbe avere: una teoria - un modello - un sistema fisico ben rappresentato dal modello Termodinamica classica - motore ideale - le macchine termiche Meccanica classica - punti materiali in interazione gravitazionale - il sistema solare Meccanica quantistica - punti materiali in interazione coulombiana con un centro fisso - l’atomo Teoria dei Campi Quantici Relativistici - ……………….?

3. LA MECCANICA QUANTISTICA • STATI • Lo stato di un sistema quantistico, di cui si abbia conoscenza massimale (stato puro), è ad ogni istante rappresentato da un vettore unitario Y in uno spazio di Hilbert H • OSSERVABILI • Ad ogni quantità osservabile  è associato un operatore autoaggiunto A. in H • EVOLUZIONE • L’evoluzione dello stato, a partire da uno stato iniziale Y0, è l’evoluzione unitaria generata dall’operatore autoaggiunto associato all’osservabile energia ovvero

4. PREDIZIONI • Se Yt è lo stato del sistema al tempo t e Elè la decomposizione dell’unità relativa • all’operatore autoaggiunto A, allora la probabilità che al tempo t una misura di  dia valori • compresi nell’intervallo I è pari a I I a i

5. L’ ESEMPIO DI UN PUNTO MATERIALE Per il sistema costituito da un punto materiale, in un campo di forze definito dal potenziale V(x), L2(R3) è la rappresentazione dello spazio di Hilbert H in cui l’osservabile , posizione del punto materiale, è associato all’operatore di moltiplicazione per x Il corrispondente proiettore: La probabilità di trovare il punto materiale in Wse lo stato è Y

6. In questa rappresentazione e quindi

7. STATI DI SOVRAPPOSIZIONE ( per esempio con ) invece di:

11. DESCRIZIONE DEI SISTEMI COMPOSTI E DEI SISTEMI APERTI

12. INTERAZIONE CON UN MACROSISTEMA E LA TEORIA INGENUA DELLA DECOERENZA I processi di misura ideale secondo Von Neuman: Se uno strumento di misura M è adatto a misurare l’osservabile A (che può assumere i valori ai relativi agli autovettori Fi) ed è inizialmente nello stato Y0 (“ in attesa” ), l’effetto del processo di misura dovrà essere con stato del misuratore in cui l’indice punta su ai

13. Se la dinamica è lineare e lo stato iniziale del sistema è una sovrapposizione, si dovrà avere

14. Stati macroscopicamente distinguibili risulterebbero sovrapposti nello stato finale. Anche la posizione di parti macroscopiche dell’apparato di misura non sarebbe una quantità fisica dotata di significato oggettivo. E’ a questo punto che ha inizio la storia del problema dell’oggettivazione dei macrosistemi e la saga dei gatti morti e dei gatti vivi.

16. L’effetto granello di sabbia e il meccanismo della decoerenza Una perturbazione comunque piccola dell’ambiente sul sistemaparticella+misuratore rende lo stato di ogni sottosistema una miscela statistica

17. IL MECCANISMO DELLA DECOERENZA Decoherence can be defined as the phenomenon by which quantum mechanical systems behave as though they are described by classical probability theory (C. Anastopoulos) ..e si tiene conto chei sistemi coinvolti in un processo di misura risultano inevitabilmente in interazione con l’ambiente circostante, ci si convince immediatamente che il problema che stiamo analizzando è un problema squisitamente concettuale che ha scarsa rilevanza pratica (G. C. Ghirardi)

18. MODELLI DI DECOERENZA INDOTTA DINAMICAMENTE DALL’INTERAZIONE CON L’AMBIENTE -La formula di Joos e Zeh -Il meccanismo di Mott

19. LA FORMULA DI JOOS E ZEH Y0 = (Fd + Fs) X0 R = posizione di una particella pesante (rossa) R= posizione di una particella leggera (verde-blu)

20. Yt Fd,t Xs,t + Fs,t Xd,t

21. Con M=1, h=2π, m = eM Allora con

23. Il problema di Mott e le probabilità condizionate in Meccanica quantistica Nel 1929 N.F. Mott pubblica The Wave Mechanics of a - Ray Tracks dove prova a derivare proprietà “di tipo particella” osservate nelle camere a nebbia dalla appena nata Meccanica Quantistica …. the a particle is represented by a spherical wave which slowly leacks out of the nucleous. ……… It is a little difficult to picture how it is that an outgoing spherical wave can produce a straight track

25. Mott affronta perturbativamente il problema studiando l’equazione di Schroedinger indipendentemente dal tempo e deduce un risultato estremamente plausibile: se la particella a ionizza ad un qualche istante un atomo della camera la probabilità di ionizzare un secondo atomo è più elevata se quest’ultimo si trova sulla congiungente la sorgente con il primo atomo

26. Per produrre modelli trattabili di “ambiente” o di “camera a nebbia” è necessario avere a disposizione “atomi semplici” e “interazioni risolubili” (interazioni puntuali) Esempi: catene lineari di misuratori: Camera a ionizzazione

27. CONCLUSIONI - Per indagare la transizione tra comportamento quantistico e comportamento classico indotta dall’ambiente sono necessarie conoscenze dettagliate sulla dinamica di una particella in interazione con sistemi complessi almeno in alcuni limiti asintotici - Per dare una stima dei tempi caratteristici della decoerenza e compararli con i tempi caratteristici degli scambi energetici sono necessari modelli risolubili, almeno nell’ambito di approssimazioni quantificabili