Tecniche Algoritmiche per Grafi e Reti

1. TecnicheAlgoritmiche per Grafi e Reti Equilibridi Nash e Selfish Routing Patrizio Angelini Dipartimento di Informatica e Automazione Università degli Studi Roma Tre

3. Gioco a premi (come promesso) • Scegliete un numero intero tra 0 e 100 • Vince chi si avvicina di più ai 2/3 della media dei numeri scelti • Chi vince prende un +!

4. Gioco a premi • Non ha senso scegliere un numero superiore a 66, perché non potrà mai essere i 2/3 della media • Se tutti fanno questo ragionamento, e nessuno sceglie un numero maggiore di 66, non ha senso scegliere un numero maggiore di 44 • … • Se tutti ragionassero bene, il numero migliore da scegliere sarebbe 0

5. Game Theory Game theory attempts to mathematically capture behavior in strategic situations, or games, in which an individual's success in making choices depends on the choices of others Myerson, 1991

6. Game Theory • Zero-sum / Non-zero-sum games • Un giocatoreguadagna a spesedell’altro • Le sommedeiguadagni e delleperditedeigiocatoripotrebberoesseredifferenti • Cooperative / Non-cooperative games • I giocatoripossonocooperareoppure no

7. Oursetting • Strategic Game: • A set ofplayers • Foreach player, a set ofstrategies • Foreach player, preferencesover the set ofactionprofiles (the listofall the player’s actions) • Preferences are ordinal (Player 1 prefersatob)

8. Oursetting • Timeisabsentfrom the model • All the playerschoosesimultaneously • Rationalityassumption • Each player makesher best choice • Non-zero sum game • Non-cooperative game

9. Prisoner’s Dilemma • Two suspects are held in separate cells. • There is enough evidence to convict each of them of a minor offense, but not enough to convict either of them of the major crime, unless one of them finks. • If they both stay quiet, each will be convicted of the minor offense and spend 1 year in prison. • If one and only one of them finks, she will be freed and used as a witness against the other, who will spend 4 years in prison. • If they both fink, each will spend 3 years in prison.

10. Prisoner’s Dilemma • Players: the twosuspectsS1 and S2 • Strategies: EitherQuietor Fink, forbothplayers • Preferences: • S1: {F,Q} (payoff 3) – {Q,Q} (2) – {F,F} (1) – {Q,F} (0) • S2: {Q,F} (3) – {Q,Q} (2) – {F,F} (1) – {F,Q} (0)

11. Prisoner’s Dilemma • S2 • Howwouldyouactifyouweresuspect S1? • Howwouldyouactifyouweresuspect S2? • Whatis the best global solution? • S1

12. Nash Equilibrium • A set of strategies, one for each player, such that no player has incentive to unilaterally change her action • each player is assumed to know the strategies of the other players • A group of players is in Nash equilibrium if each one is making her best decision, taking into account the decisions of the others.

13. Nash Equilibrium • Nash equilibria are used to analyze the outcome of the strategic interaction of several decision makers. • predicting what will happen if several players are making decisions at the same time. • there could be more than one Nash Equilibrium • if it is only one, then the outcome is certain • We cannot predict the result of the choices of multiple decision makers if we analyze those decisions in isolation • we must ask what each player would do, taking into account the decision-making of the others.

14. Nash / Pareto Optimum • Non è detto che l'equilibrio di Nash sia la soluzione migliore per tutti. • In un EN il singolo giocatore non può aumentare il proprio guadagno modificando solo la propria strategia, ma un insieme di giocatori può farlo allontanandosi congiuntamente dall'equilibrio. • L'equilibrio di Nash può non essere un ottimo di Pareto. • Analogamente, l’ottimo di Pareto può non essere un equilibrio.

15. MatchingPennies • Howmany Nash Equilibria? • Whatis the best global solution? • Isit a Nash Equilibrium?

16. Otherexamples • Howmany Nash Equilibria? • Whatis the best global solution? • Isit a Nash Equilibrium?

17. MixedStrategies • Instead of simply choosing an action, players choose probability distributions over the set of available actions. • Such distributions can be represented by a function that assigns a real number to each action profile • von Neumann-Morgenstern utility function • One lottery is preferred to another if it results in a higher expected value of this utility function.

18. Teorema di Nash (J.F. Nash Jr.) Ogni gioco finito con strategie miste ammette almeno un equilibrio di Nash • Gioco finito: numero finito di giocatori e strategie

19. MatchingPennies - Mixed • A mixedstrategy in whichbothplayerschoose A withprobability ½ and B withprobability ½ is a Nash Equlibrium

20. CommutingProblem • Come scegli la mattina la strada da fare per andare a lavoro? • La più corta? • La più veloce? • Quella con meno semafori? • Quella che passa davanti al bar o al tabaccaio? • Quella con meno traffico? • Tenendo in considerazione quanto traffico aggiuntivo puoi causare agli altri? • Sei non lo fai, sei egoista (selfish)

21. SelfishRouting • In una rete, spesso è difficile (impossibile) imporre strategie centralizzate • Gli utenti fanno le proprie scelte in modo selfish • In generale, il risultato di una ottimizzazione locale degli utenti selfish è peggiore dell’ottimo globale quando gli utenti cooperano

22. Pigous’s Example l(x) = x • Una strada corta ma stretta • Una strada larga ma lunga • x è la percentuale di traffico che passa in una strada s t l(x) = 1

23. Pigous’s Example l(x) = x • Se tutti fanno la strada corta, ci mettono tutti 1 ora • Se la metà fa la strada corta, quelli ci mettono ½ ora e gli altri 1 ora, quindi tempo medio ¾ d’ora s t l(x) = 1 • Price ofAnarchy = 4/3

24. Braess’s Paradox l(x) = x l(x) = 1 • Metà del traffico passa sopra e metà sotto • Tempo medio pari a 1 ora e mezza s t l(x) = 1 l(x) = x

25. Braess’s Paradox l(x) = x l(x) = 1 • Viene costruita una strada di raccordo larghissima e cortissima, con costo 0 Che succede? l(x) = 0 s t l(x) = 1 l(x) = x

26. Braess’s Paradox l(x) = x l(x) = 1 Passano tutti per quella strada e… Ci mettono 2 ore! l(x) = 0 s t l(x) = 1 l(x) = x • Price ofAnarchy = 4/3

27. Braess’s Paradox • Non è detto che avere più alternative sia meglio • Chiudiamo qualche strada per diminuire il traffico? • Una decisione centralizzata può portare ad un migliore outcome per tutti i giocatori • Nel caso di Pigou solo la metà dei giocatori andava meglio, per gli altri era uguale

28. SelfishRouting - Model • Grafo diretto con tante coppie (sorgente-destinazione), ognuna delle quali deve trasportare una certa quantità di flusso • Ad ogni arco è associata una funzione di latenza che dipende dal flusso totale che passa su quell’arco • Si sceglie il cammino con latenza totale minima • Ogni utente controlla una parte minima del traffico • Per questo si modella con il flusso

29. How bad isSelfishRouting? • Quale è il rapporto nel caso peggiore tra la latenza totale/media di un Equilibrio di Nash e la latenza ottima di un flusso sulla rete? • The Price ofAnarchy

30. How bad isSelfishRouting? • Se le funzioni di latenza sugli archi sono lineari, allora il prezzo dell’anarchia è al massimo 4/3 • Pigou e Braessmatchano il caso peggiore • Se le funzioni di latenza sono polinomi di grado d, allora il prezzo dell’anarchia è [1 − d・(d+1)−(d+1)/d] −1 • d -> ∞ implica PoA -> ∞

31. How bad isSelfishRouting? d -> ∞ implica PoA -> ∞ l(x) = xd s t 1-ε ε l(x) = 1

32. How bad isSelfishRouting? • Se le funzioni di latenza sono continue e non decrescenti, la latenza totale di un EN è al massimo pari alla latenza totale ottima nel caso in cui ogni coppia sorgente-destinazione trasporti il doppio del traffico • In mancanza di controllo centralizzato, è sufficiente aumentare la banda di un fattore costante

33. The PoAisindependentof the Topology • Il prezzo dell’anarchia non cambia al variare della complessità della topologia della rete • Esempi worst-case si ottengono sempre anche su reti con 2 nodi e archi paralleli tra loro • Pigou • Quello che conta sono solo le funzioni di latenza

34. CopingwithSelfishRouting E’ possibile progettare reti su cui un atteggiamento selfish da parte dei router induca un’efficienza del routing vicina a quella ottima? Il paradosso di Braess suggerisce di partire da una rete e togliere archi

35. CopingwithSelfishRouting • Risultati di inapprossimabilità • Con latenze non decrescenti e continue, non esiste un’approssimazione migliore di n/2, anche con solo una sorgente e una destinazione • Con latenze lineari, non esiste un’approssimazione migliore di 4/3, anche con solo una sorgente e una destinazione Le approssimazioni ottime sono quelle triviali Non rimuovere nessun arco